北師大版八上第7章 測試卷（1）

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第七章 章末測試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列語句中，是命題的是（　　） A．直線AB和CD垂直嗎 B．過線段AB的中點C畫AB的垂線 C．同旁內角不互補，兩直線不平行 D．連接A，B兩點 2．如圖，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，則∠ABC的大小是（　　） A．25° B．35° C．50° D．65° 3．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=（　?。? A．90° B．100° C．130° D．180° 4．如圖，已知△ABC中，點D在AC上，延長BC至E，連接DE，則下列結論不成立的是（　?。? A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 5．如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分∠BEF，交CD于點G，∠1=50°，則∠2等于（　　） A．50° B．60° C．65° D．90° 6．如圖，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．150° B．130° C．120° D．100° 7．如圖，直線a∥b，∠A=38°，∠1=46°，則∠ACB的度數(shù)是（　　） A．84° B．106° C．96° D．104° 8．適合條件∠A=∠B=∠C的△ABC是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 9．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（　?。? A．150° B．210° C．105° D．75° 10．已知：直線l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠1=25°，則∠2等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．命題“對頂角相等”的條件是　　，結論是　　． 12．如圖，DAE是一條直線，DE∥BC，則x=　?。? 13．如圖，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度數(shù)是　?。? 14．如圖，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，則∠ABD=　　，∠CED=　　． 15．已知如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，則∠BAC=　?。? 16．用等腰直角三角板畫∠AOB=45°，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點M逆時針方向旋轉22°，則三角板的斜邊與射線OA的夾角α為　　度． 17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，則該等腰三角形頂角為　　°． 18．如圖所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，則∠A=　　度． 三、解答題（共66分） 19．（8分）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點G．求證：AB∥CD． 　 20．（8分）一天，爸爸帶著小剛到建筑工地去玩，看見有如圖所示的人字架，爸爸說“小剛，我考考你，這個人字架的夾角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少嗎？”小剛馬上得到了正確答案，他的答案是多少？請說明理由． 21．（8分）如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求證：AE=FC． 22．（10分）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度數(shù)． 23．（10分）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，BA，AC上的點，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度數(shù)． 24．（10分）如圖所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關系，并對結論進行說理． 25．（12分）【問題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，則∠BEC=　130°?。蝗簟螦=n°，則∠BEC=　90°+n°　． 【探究】 （1）如圖②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC=　60°+n°?。? （2）如圖③，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關系？請說明理由； （3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明） 參考答案 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列語句中，是命題的是（　?。? A．直線AB和CD垂直嗎 B．過線段AB的中點C畫AB的垂線 C．同旁內角不互補，兩直線不平行 D．連接A，B兩點 【考點】命題與定理． 【分析】根據(jù)命題的定義，對一件事情做出判斷的語句叫做命題，進行判斷． 【解答】解：A、是問句，不是命題； B、是作圖，沒有對一件事情做出判斷，所以不是命題； C、對一件事情做出了判斷，是命題； D、是作圖，沒有對一件事情做出判斷，所以不是命題． 故選C． 【點評】命題分為真命題和假命題，注意假命題也是命題． 　 2．如圖，AB∥CD，CB⊥DB，∠D=65°，則∠ABC的大小是（　?。? A．25° B．35° C．50° D．65° 【考點】平行線的性質；垂線． 【分析】先根據(jù)三角形內角和定理求出∠C的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行內錯角相等即可求出∠ABC的大小． 【解答】解：∵CB⊥DB， ∴∠CBD=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠D=65°， ∴∠C=25°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠C=25°． 故選A． 【點評】此題考查了平行線的性質，解題的關鍵是：熟記兩直線平行同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行同旁內角互補． 3．一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50°，則∠1+∠2=（　?。? A．90° B．100° C．130° D．180° 【分析】設圍成的小三角形為△ABC，分別用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三個內角，再利用三角形的內角和等于180°列式整理即可得解． 【解答】解：如圖，∠BAC=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1， ∠ABC=180°﹣60°﹣∠3=120°﹣∠3， ∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2， 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴90°﹣∠1+120°﹣∠3+120°﹣∠2=180°， ∴∠1+∠2=150°﹣∠3， ∵∠3=50°， ∴∠1+∠2=150°﹣50°=100°． 故選：B． 【點評】本題考查了三角形的內角和定理，用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三個內角是解題的關鍵，也是本題的難點． 　 4．如圖，已知△ABC中，點D在AC上，延長BC至E，連接DE，則下列結論不成立的是（　?。? A．∠DCE＞∠ADB B．∠ADB＞∠DBC C．∠ADB＞∠ACB D．∠ADB＞∠DEC 【考點】三角形的外角性質． 【分析】根據(jù)三角形外角的性質對各選項進行逐一判斷即可． 【解答】解：∵∠ADB是△BDC的外角， ∴∠ADB＞∠DBC，∠ADB＞∠ACB，故B、C正確； ∵∠ACB是△CDE的外角， ∴∠ACB＞∠DEC， ∵∠ADB＞∠ACB， ∴∠ADB＞∠DEC，故D正確； ∠DCE與∠ADB的大小無法比較． 故選A． 【點評】本題考查的是三角形外角的性質，熟知三角形的外角大于與之不相鄰的任何一個內角是解答此題的關鍵． 　 5．如圖，AB∥CD，直線EF交AB于點E，交CD于點F，EG平分∠BEF，交CD于點G，∠1=50°，則∠2等于（　?。? A．50° B．60° C．65° D．90° 【考點】平行線的性質；角平分線的定義． 【分析】由AB∥CD，∠1=50°，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補，即可求得∠BEF的度數(shù)，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度數(shù)，然后根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可求得∠2的度數(shù)． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠1=180°， ∵∠1=50°， ∴∠BEF=130°， ∵EG平分∠BEF， ∴∠BEG=∠BEF=65°， ∴∠2=∠BEG=65°． 故選C． 【點評】此題考查了平行線的性質與角平分線的定義．此題比較簡單，注意掌握兩直線平行，同旁內角互補與兩直線平行，內錯角相等定理的應用． 　 6．如圖，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（　?。? A．150° B．130° C．120° D．100° 【考點】平行線的性質；角平分線的定義． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】先根據(jù)平行線及角平分線的性質求出∠CDB=∠CBD，再根據(jù)平角的性質求出∠CDB的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質求出∠C的度數(shù)即可． 【解答】解：∵直線AB∥CD，∴∠CDB=∠ABD， ∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°， ∴∠ABD=30°， ∵BE平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°， ∵AB∥CD， ∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°． 故選C． 【點評】此題比較簡單，考查的是平行線及角平分線的性質，比較簡單． 　 7．如圖，直線a∥b，∠A=38°，∠1=46°，則∠ACB的度數(shù)是（　?。? A．84° B．106° C．96° D．104° 【考點】平行線的性質． 【分析】根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠ABC=∠1，再根據(jù)三角形的內角和定理列式計算即可得解． 【解答】解：∵a∥b， ∴∠ABC=∠1=46°， ∵∠A=38°， ∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠ABC=180°﹣38°﹣46°=96°． 故選：C． 【點評】本題考查了平行線的性質，三角形的內角和定理，熟記性質是解題的關鍵． 　 8．適合條件∠A=∠B=∠C的△ABC是（　?。? A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 【考點】三角形內角和定理． 【分析】此題隱含的條件是三角形的內角和為180°，列方程，根據(jù)已知中角的關系求解，再判斷三角形的形狀． 【解答】解：∵∠A=∠B=∠C， ∴∠B=2∠A，∠C=3∠A， ∵∠A+∠B+∠C=180°，即6∠A=180°， ∴∠A=30°， ∴∠B=60°，∠C=90°， ∴△ABC為直角三角形． 故選B． 【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°． 　 9．如圖，在折紙活動中，小明制作了一張△ABC紙片，點D、E分別是邊AB、AC上，將△ABC沿著DE折疊壓平，A與A′重合，若∠A=75°，則∠1+∠2=（　　） A．150° B．210° C．105° D．75° 【考點】三角形內角和定理；翻折變換（折疊問題）． 【分析】先根據(jù)圖形翻折變化的性質得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根據(jù)三角形內角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度數(shù)，然后根據(jù)平角的性質即可求出答案． 【解答】解：∵△A′DE是△ABC翻折變換而成， ∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°， ∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°， ∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°． 故選A． 【點評】本題考查的是圖形翻折變換的性質，即折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等． 　 10．已知：直線l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠1=25°，則∠2等于（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【考點】平行線的性質． 【專題】探究型． 【分析】先根據(jù)三角形外角的性質求出∠3的度數(shù)，再由平行線的性質得出∠4的度數(shù)，由直角三角形的性質即可得出結論． 【解答】解：∵∠3是△ADG的外角， ∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°， ∵l1∥l2， ∴∠3=∠4=55°， ∵∠4+∠EFC=90°， ∴∠EFC=90°﹣55°=35°， ∴∠2=35°． 故選B． 【點評】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等． 　 二、填空題（每小題3分，共24分） 11．命題“對頂角相等”的條件是　兩個角是對頂角　，結論是　這兩個角相等?。? 【考點】命題與定理． 【分析】命題是判斷一件事情，由條件和結論組成，都能寫成“如果…那么…”的形式，此命題可寫成：如果是對頂角，那么這兩個角相等． 【解答】解：此命題可寫成：如果是對頂角，那么這兩個角相等．因此條件是“兩個角是對頂角”結論是“這兩個角相等” 故答案為：兩個角是對頂角；這兩個角相等． 【點評】本題考查找命題里面的條件和結論，寫成“如果…那么…”的形式可降低難度． 　 12．如圖，DAE是一條直線，DE∥BC，則x=　64°?。? 【考點】平行線的性質． 【分析】兩直線平行，內錯角相等，據(jù)此進行計算即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DAC=∠ACF， 即70°+x=134°， 解得x=64°． 故答案為：64°． 【點評】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內錯角相等． 　 13．如圖，已知AB∥CD，∠DEF=50°，∠D=80°，∠B的度數(shù)是　50°?。? 【考點】平行線的性質；三角形內角和定理． 【分析】先根據(jù)三角形內角和定理，求得∠DFE度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質，求得∠B的度數(shù)． 【解答】解：∵∠DEF=50°，∠D=80°， ∴∠DFE=50°， 又∵AB∥CD， ∴∠B=∠DFE=50°． 故答案為：50° 【點評】本題主要考查了平行線的性質以及三角形內角和定理的綜合應用，解題時注意：兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等． 簡單說成：兩直線平行，內錯角相等． 　 14．如圖，已知∠A=∠F=40°，∠C=∠D=70°，則∠ABD=　70°　，∠CED=　110°?。? 【考點】平行線的判定與性質． 【分析】根據(jù)平行線的判定得出DF∥AC，根據(jù)平行線的性質求出∠D=∠ABD=70°，根據(jù)平行線的性質得出∠CED+∠C=180°，代入求出即可． 【解答】解：∵∠A=∠F=40°， ∴DF∥AC， ∵∠D=70°， ∴∠D=∠ABD=70°， ∵DF∥AC， ∴∠CED+∠C=180°， ∵∠C=70°， ∴∠CED=110°， 故答案為：70°，110°． 【點評】本題考查了平行線的性質和判定的應用，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵，注意：平行線的性質有：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補，反之亦然． 　 15．已知如圖，在△ABC中，D為BC上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠DAC=100°，則∠BAC=　120°?。? 【考點】三角形內角和定理；三角形的外角性質． 【分析】利用外角的性質可得∠3=∠4=2∠2，在△ADC中利用內角和定理可列出關于∠2的方程，可求得∠2，則可求得∠2+∠DAC，即∠A． 【解答】解： ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠4=∠1+∠2=2∠2， ∵∠3+∠4+∠DAC=180°， ∴4∠2+100°=180°， ∴∠2=20°， ∴∠BAC=∠2+∠DAC=20°+100°=120°， 故答案為：120°． 【點評】本題主要考查三角形內角和定理及外角的性質，由條件得到關于∠2的方程求出∠2是解題的關鍵． 　 16．用等腰直角三角板畫∠AOB=45°，并將三角板沿OB方向平移到如圖所示的虛線處后繞點M逆時針方向旋轉22°，則三角板的斜邊與射線OA的夾角α為　22　度． 【考點】平移的性質；同位角、內錯角、同旁內角． 【分析】由平移的性質知，AO∥SM，再由平行線的性質可得∠WMS=∠OWM，即可得答案． 【解答】解：由平移的性質知，AO∥SM， 故∠WMS=∠OWM=22°； 故答案為：22． 【點評】本題利用了兩直線平行，內錯角相等，及平移的基本性質：①平移不改變圖形的形狀和大?。虎诮涍^平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等． 　 17．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是40°，則該等腰三角形頂角為　50或130　°． 【考點】等腰三角形的性質；三角形內角和定理． 【分析】讀到此題我們首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當為等腰直角三角形時不可能出現(xiàn)題中所說情況所以舍去不計，我們可以通過畫圖來討論剩余兩種情況． 【解答】解：①當為銳角三角形時可以畫圖， 高與右邊腰成40°夾角，由三角形內角和為180°可得，頂角為50°； ②當為鈍角三角形時可畫圖為， 此時垂足落到三角形外面，因為三角形內角和為180°， 由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為50°，所以三角形的頂角為130°； 故填50°或130°． 【點評】此題考查了等腰三角形的性質及三角形內角和定理；做題時，考慮問題要全面，必要的時候可以做出模型幫助解答，進行分類討論是正確解答本題的關鍵． 　 18．如圖所示，AB=BC=CD=DE=EF=FG，∠1=130°，則∠A=　10　度． 【考點】三角形的外角性質；等腰三角形的性質． 【分析】設∠A=x．根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的外角的性質，得∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FCE=∠FEC=5x，則180°﹣5x=130°，即可求解． 【解答】解：設∠A=x． ∵AB=BC=CD=DE=EF=FG， ∴根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的外角的性質，得 ∠CDB=∠CBD=2x，∠DEC=∠DCE=3x，∠DFE=∠EDF=4x，∠FGE=∠FEG=5x， 則180°﹣5x=130°， 解，得x=10°． 則∠A=10°． 【點評】此題考查了等腰三角形的性質和三角形的外角的性質的運用；發(fā)現(xiàn)并利用∠CBD是△ABC的外角是正確解答本題的關鍵． 　 三、解答題（共66分） 19．（8分）已知：如圖，∠C=∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于點G．求證：AB∥CD． 【考點】平行線的判定． 【專題】證明題． 【分析】首先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C=∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C=∠2，從而證得AB∥CD． 【解答】證明：∵BE⊥FD， ∴∠EGD=90°， ∴∠1+∠D=90°， 又∠2和∠D互余，即∠2+∠D=90°， ∴∠1=∠2， 又已知∠C=∠1， ∴∠C=∠2， ∴AB∥CD． 【點評】此題考查的知識點是平行線的判定，關鍵是由BE⊥FD及三角形內角和定理得出∠1和∠D互余． 　 20．（8分）一天，爸爸帶著小剛到建筑工地去玩，看見有如圖所示的人字架，爸爸說“小剛，我考考你，這個人字架的夾角∠1等于130°，你能求出∠3比∠2大多少嗎？”小剛馬上得到了正確答案，他的答案是多少？請說明理由． 【考點】三角形的外角性質． 【分析】根據(jù)鄰補角定義求出∠1的鄰補角的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和求出∠3﹣∠2等于∠1的鄰補角的度數(shù)． 【解答】解：小剛的答案為50°． 理由如下：如圖， 設∠1的鄰補角為∠4， ∵∠1=130°， ∴∠4=180°﹣130°=50°， ∵∠3是人字架三角形的外角， ∴∠3=∠2+∠4， ∴∠4=∠3﹣∠2=50°， ∴∠3比∠2大50°． 【點評】本題主要利用兩個鄰補角的和等于180°，三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和求解． 　 21．（8分）如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD．求證：AE=FC． 【考點】全等三角形的判定與性質；平行線的性質． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)BE∥DF，可得∠ABE=∠D，再利用ASA求證△ABC和△FDC全等即可． 【解答】證明：∵BE∥DF， ∴∠ABE=∠D， 在△ABE和△FDC中， ∠ABE=∠D，AB=FD，∠A=∠F ∴△ABE≌△FDC（ASA）， ∴AE=FC． 【點評】此題主要考查全等三角形的判定與性質和平行線的性質等知識點的理解和掌握，此題的關鍵是利用平行線的性質求證△ABC和△FDC全等． 　 22．（10分）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB，∠BDC=∠BCD，∠1=∠2，求∠3的度數(shù)． 【考點】等腰直角三角形． 【分析】根據(jù)已知求得∠ACB=45°，進而求得∠BDC=∠BCD=45°+∠1，根據(jù)三角形內角和定理求得2（45°+∠1）+∠1=180°，即可求得∠1=30°，然后根據(jù)三角形內角和180°，從而求得∠3的度數(shù)． 【解答】解∵∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB， ∴∠ACB=45°， ∵∠BDC=∠BCD，∠BCD=∠ACB+∠2， ∴∠BDC=∠BCD=45°+∠2， ∵∠1=∠2， ∴∠BDC=∠BCD=45°+∠1， ∵∠BDC+∠BCD+∠1=180°， ∴2（45°+∠1）+∠1=180° ∴∠1=30°， ∴∠3==75°． 【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，三角形內角和定理，熟練掌握性質和定理是解題的關鍵． 　 23．（10分）如圖，△ABC中，D，E，F(xiàn)分別為三邊BC，BA，AC上的點，∠B=∠DEB，∠C=∠DFC．若∠A=70°，求∠EDF的度數(shù)． 【考點】平行線的判定與性質；三角形內角和定理． 【分析】先根據(jù)三角形內角和定理，求得∠B+∠C=110°，再根據(jù)∠B=∠DEB，∠C=∠DFC，求得∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°，最后根據(jù)三角形內角和，求得∠EDF即可． 【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠B+∠C=110°， ∵∠B=∠DEB，∠C=∠DFC， ∴∠B+∠DEB+∠C+∠DFC=220°， ∵∠B+∠DEB+∠C+∠DFC+∠EDB+∠FDC=360°， ∴∠EDB+∠FDC=140°， 即∠EDF=180°﹣140°=40° 【點評】本題主要考查了三角形內角和定理的運用，解題時注意：三角形內角和是180°． 　 24．（10分）如圖所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關系，并對結論進行說理． 【考點】平行線的性質． 【專題】探究型． 【分析】由圖中題意可先猜測∠AED=∠C，那么需證明DE∥BC．題中說∠1+∠2=180°，而∠1+∠4=180°所以∠2=∠4，那么可得到BD∥EF，題中有∠3=∠B，所以應根據(jù)平行得到∠3與∠ADE之間的關系為相等．就得到了∠B與∠ADE之間的關系為相等，那么DE∥BC． 【解答】證明：∵∠1+∠4=180°（鄰補角定義） ∠1+∠2=180°（已知） ∴∠2=∠4（同角的補角相等） ∴EF∥AB（內錯角相等，兩直線平行） ∴∠3=∠ADE（兩直線平行，內錯角相等） 又∵∠B=∠3（已知）， ∴∠ADE=∠B（等量代換）， ∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行） ∴∠AED=∠C（兩直線平行，同位角相等）． 【點評】本題是先從結論出發(fā)得到需證明的條件，又從所給條件入手，得到需證明的條件．屬于典型的從兩頭往中間證明． 　 25．（12分）【問題】如圖①，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，若∠A=80°，則∠BEC=　130°　；若∠A=n°，則∠BEC=　90°+n°　． 【探究】 （1）如圖②，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB．若∠A=n°，則∠BEC=　60°+n°　； （2）如圖③，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC和∠A有怎樣的關系？請說明理由； （3）如圖④，O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明） 【考點】三角形的外角性質；三角形內角和定理． 【分析】問題：利用三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分線的定義求出∠EBC+∠ECB，然后根據(jù)三角形的內角和等于180°列式計算即可得解；將∠A的度數(shù)換成n°，然后求解即可； 探究：（1）利用三角形的內角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后根據(jù)三角形的內角和等于180°列式計算即可得解； （2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠ACD和∠OCD，再根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD，然后整理即可得解； （3）根據(jù)平角的定義以及角平分線的定義表示出∠OBC和∠OCB，然后根據(jù)三角形的內角和定理列式表示出∠BOC，然后整理即可得解． 【解答】【問題】解：∵∠A=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣80°=100°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， ∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣50°=130°； 由三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°， ∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=90°﹣n°， ∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（90°﹣n°）=90°+n°； 探究：解：（1）由三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣n°， ∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB， ∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB， ∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣n°）=120°﹣n°， ∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）=180°﹣（120°﹣n°）=60°+n°； （2）∠BOC=∠A． 理由如下：由三角形的外角性質得，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠OCD=∠BOC+∠OBC， ∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點， ∴∠ABC=2∠OBC，∠ACD=2∠OCD， ∴∠A+∠ABC=2（∠BOC+∠OBC）， ∴∠A=2∠BOC， ∴∠BOC=∠A； （3）∵O是外角∠DBC與外角∠BCE的平分線BO和CO的交點， ∴∠OBC=（180°﹣∠ABC）=90°﹣∠ABC，∠OCB=（180°﹣∠ACB）=90°﹣∠ACB， 在△OBC中，∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣（90°﹣∠ABC）﹣（90°﹣∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）， 由三角形的內角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A． 故答案為：130°，90°+n°；（1）60°+n°． 【點評】本題考查了三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵． 第27頁（共27頁）