《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》浙江大學(xué)第四版課后習(xí)題答案.doc

_ 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案 第四版 盛驟 (浙江大學(xué))浙大第四版（高等教育出版社）第一章 概率論的基本概念1.一 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（一 1），n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一 2）S=10，11，12，n，（4）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。（一 (3)）S=00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2.二 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：或A (AB+AC)或A (BC)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生，表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為：或S (A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：。（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：（8）A，B，C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故 表示為：AB+BC+AC6.三 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (B) = 0.7即知AB，（否則AB = 依互斥事件加法定理， P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1與P (AB)1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)（1）從0P(AB)P(A)知，當(dāng)AB=A，即AB時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為 P(AB)=P(A)=0.6，（2）從(*)式知，當(dāng)AB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為 P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：P (A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 8.五 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞” 從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè) 9. 在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0，1，29）記A表“后四個(gè)數(shù)全不同” 后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有10.六 在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。（1）求最小的號(hào)碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A 10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有（2）求最大的號(hào)碼為5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼小于5，選法有種11.七 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故12.八 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件A 在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種（2）至少有2個(gè)次品的概率。記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種 且B0，B1互不相容。13.九 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則表“4只人不配對(duì)” 從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有15.十一 將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)” i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能對(duì)A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2種。 (選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。(從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種)16.十二 50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對(duì)E：鉚法有種，每種裝法等可能對(duì)A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有×10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對(duì)E：鉚法有種，每種鉚法等可能對(duì)A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種17.十三 已知。解一： 注意. 故有P (AB)=P (A)P (A)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P (A)= P (A)+ P ()P (A)=0.7+0.60.5=0.8于是18.十四 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得19.十五 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果（x, y）等可能。A=擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故方法二：（用公式S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則，故20.十六 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母親得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父親得病|母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.從而P (AB)= P (AB) · P(|AB)=0.3×0.6=0.18.21.十七 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做 在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。法二：用排列做 在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。（2）二只都是次品（記為事件B）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一：法二：法三： （4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二：法三： 22.十八 某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號(hào)不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號(hào)能接通。注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。 如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。 24.十九 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔柸〉剑磸囊掖腥〉剑┌浊虻母怕适嵌嗌?？（此為第三?9題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2) =十九(2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。 C2為“從第一盒子中取得2只白球”。 C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1C2C3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3) 26.二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，顯然A1A2=S，A1 A2=由已知條件知由貝葉斯公式，有二十二 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B=至少有一次及格所以 （2）（*）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有 將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得28.二十五 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:455:49到家”，由題意,AB=,AB=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B)=0.5由貝葉斯公式有29.二十四 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品” i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品”j=1,2，顯然A1A2=SA1A2=（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。（2） （先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解）312LR32.二十六（2） 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。54記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。 A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥 P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+ (A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2， A3， A4，A5互相獨(dú)立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4 +p4 +p4 +p4 +p5 +p4 + p5 + p5+ p5+ p5p5=2 p2+ 3p35p4 +2 p5二十六（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1，2，3，4，2413A表示系統(tǒng)正常。 A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨(dú)立)34.三十一 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面”=Br “任取一只是正品”=A由全概率公式，有 （條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，三種情況互斥。 三種情況互斥又 B1，B2，B2獨(dú)立。 + 0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3)=0.4×0.5×0.7=0.14又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3) =0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.45836.三十三設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3) =0.8×(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)3=0.862437.三十四 將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是(1)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。）解：設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1, 2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā)) =，同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) = =二十九 設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍(lán)球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D=有一只藍(lán)球，一只白球，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3）三十 A，B，C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話，求（3）這3個(gè)電話打給同一人的概率；（4）這3個(gè)電話打給不同人的概率；（5）這3個(gè)電話都打給B，而B卻都不在的概率。解：記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話 D1、D2、D3分別表示A，B，C外出注意到C1、C2、C3獨(dú)立，且 （1）P（無人接電話）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3) =（2）記G=“被呼叫人在辦公室”，三種情況互斥，由有限可加性與乘法公式（3）H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”（4）R為“這3個(gè)電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個(gè)電話，每種情況的概率為于是（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為，且各次情況相互獨(dú)立于是 P（3個(gè)電話都打給B，B都不在的概率）=第二章 隨機(jī)變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為 也可列為下表X： 3， 4，5P：3.三 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0，1，2個(gè)。Px12O再列為下表X： 0， 1， 2P： 4.四 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(0<p<1)（1）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。（此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。（此時(shí)稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解：（1）P (X=k)=qk1pk=1,2, （2）Y=r+n=最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功其中 q=1p，或記r+n=k，則 PY=k= （3）P (X=k) = (0.55)k10.45k=1,2P (X取偶數(shù))=6.六 一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？五 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去 =， n=1，2，（2）Y的可能取值為1，2，3 P Y=1=P 第1次飛了出去= P Y=2=P 第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去 = P Y=3=P 第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去 = 同上， 故8.八 甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7，令各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3) = P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3) = (0.4)3× (0.3)3+ （2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。 P (X>Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= 9.十 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）解：（1）P (一次成功)=（2）P (連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)= 。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)， 由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從）（1）P X=0=0.9100.349（2）P X2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 50.590（4）P 0<X2，Y=0(0<X2與 Y=2獨(dú)立) = P 0<X2P Y=0 =0.581×0.5900.343（5）P X=0+ P 0<X2，Y=0 0.349+0.343=0.69212.十三 電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率法一：（直接計(jì)算）法二：P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查= 4泊松分布表）。 = 0.0511340.021363=0.029771（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。 P (X>10)=P (X 11)=0.002840（查表計(jì)算）十二 (2)每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。十六 以X表示某商店從早晨開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘解：（1）P至多3分鐘= P X3 = （2）P 至少4分鐘 P (X 4) = （3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3<X4= （4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘 = （5）P恰好2.5分鐘= P (X=2.5)=018.十七 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求（1）P (X<2), P 0<X3, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2， P (0<X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）20.十八（2）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形。解：當(dāng)1x1時(shí)：當(dāng)1<x時(shí)：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)x0F (x)21x01222.二十 某種型號(hào)的電子的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度： 現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則，23.二十一 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此 24.二十二 設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率 K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)24×4× (K+2)0。解不等式，得K2時(shí)，方程有實(shí)根。25.二十三 設(shè)XN（3.22）（1）求P (2<X5)，P (4)<X10)，P|X|>2，P (X>3)若XN（，2），則P (<X)=P (2<X5) =(1)(0.5) =0.84130.3085=0.5328P (4<X10) =(3.5)(3.5) =0.99980.0002=0.9996P (|X|>2)=1P (|X|<2)= 1P (2< P<2 ) = =1(0.5) +(2.5) =10.3085+0.0062=0.6977P (X>3)=1P (X3)=1=10.5=0.5（2）決定C使得P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=0.5又P (XC )= C =326.二十四 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì)）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求（1）P (X105)，P (100<X 120). （2）確定最小的X使P (X>x) 0.05.解:27.二十五 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長(zhǎng)度為XPX不屬于(10.050.12, 10.05+0.12) =1P (10.050.12<X<10.05+0.12) =1 =1(2)(2) =10.97720.0228 =0.045628.二十六 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？ P (120X200)=又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(x)=1(x) 上式變?yōu)?解出 再查表，得30.二十七 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為： X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布律 Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2 P： 再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為： Y： 0 1 4 9 P： 31.二十八 設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度 X的分布密度為：Y=g (X) =eX是單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1 maxg (0), g (1)=max(1, e)= e Y的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度。 Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0 =maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= + Y的分布密度為：32.二十九 設(shè)XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度 X的概率密度是 Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 = ming (), g (+)=min(0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y) =當(dāng)y<1時(shí)：FY ( y)=0當(dāng)y1時(shí)：故Y的分布密度( y)是：當(dāng)y1時(shí)：( y)= FY ( y)' = (0)' =0當(dāng)y>1時(shí)，( y)= FY ( y)' = =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函數(shù)為 FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y ( y)=0當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |y )=P (yXy)= Y的概率密度為：當(dāng)y0時(shí)：( y)= FY ( y)' = (0)' =0當(dāng)y>0時(shí)：( y)= FY ( y)' =33.三十 （1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)，又X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= + Y的分布密度為： ( y)= f h ( h )·| h' ( y)| = （2）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。xOy=x2y法一： X的分布密度為： Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng) x<0時(shí) y=x2 ' 反函數(shù)是當(dāng) x<0時(shí) y=x2 & Y fY (y) = =法二： Y fY (y) =34.三十一 設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy) = P (sinXy)當(dāng)y<0時(shí)：FY ( y)=0當(dāng)0y1時(shí)：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX) =當(dāng)1<y時(shí)：FY ( y)=1 Y的概率密度( y )為：y0時(shí)，( y )= FY ( y)' = (0 )' = 00<y<1時(shí)，( y )= FY ( y)' = =1y時(shí)，( y )= FY ( y)' = = 036.三十三 某物體的溫度T (oF )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有TN（98.6，2），試求()的概率密度。已知法一： T的概率密度為 又 是單調(diào)增函數(shù)。 反函數(shù)存在。 且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= + 的概率密度()為 法二：根據(jù)定理：若XN（1， 1），則Y=aX+bN (a1+b, a2 2 )由于TN（98.6, 2）故 故的概率密度為：第三章 多維隨機(jī)變量及其分布1.一 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只。考慮兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101（2）不放回抽樣的情況P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =或?qū)懗蒟Y01013.二 盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求P X<1, Y<3（3）求P (X<1.5（4）求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化為累次積分，其中解：（1），（2）（3）y（4）6（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。 （2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。2解：（1） 放回抽樣（第1題）XY0x+y=4110xo1邊緣分布律為X01Y01Pi·P·j 不放回抽樣（第1題）XY0101邊緣分布為X01Y01Pi·P·j（2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解： X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X0123 Y13Pi· P·j7 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為解：8.六 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。xo解: 10七 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l=yo y=x2x15. 第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。解：放回抽樣的情況P X=0, Y=0 = P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨(dú)立的不放回抽樣的情況：P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 =P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0 X和Y不獨(dú)立16.十四 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布。Y的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實(shí)根的概率。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDyo且知X, Y相互獨(dú)立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實(shí)跟根，從而判別式 即： 記 23 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量 設(shè)第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：z0 當(dāng)z<0時(shí)，fz (z) = 0當(dāng)z>0時(shí)，由和的概率公式知 （2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為 設(shè)表示第三周需要量，其概率密度為：z與相互獨(dú)立= z +表示前三周需要量則：0，當(dāng)u<0，f(u) = 0 當(dāng)u>0時(shí)所以的概率密度為30 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=minX1，X2，X3，X 4 P N>180=P X1>180, X2>180, X3>180, X4>180 =P X>1804=1pX<1804= (0.1587)4=0.0006327.二十八 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05（1）求P X=2|Y=2，P Y=3| X=0（2）求V=max (X, Y )的分布律（3）求U = min (X, Y )的分布律解：（1）由條件概率公式P X=2|Y=2= = =同理P Y=3|X=0=（2）變量V=maxX, Y 顯然V是一隨機(jī)變量，其取值為 V：0 1 2 3 4 5P V=0=P X=0 Y=0=0P V=1=P X=1，Y=0+ P X=1，Y=1+ P X=0，Y=1 =0.01+0.02+0.01=0.04P V=2=P X=2，Y=0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2 +P Y=2, X=0+ P Y=2, X=1 =0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P V=3=P X=3，Y=0