【優(yōu)化探究】2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題演練1-6-2第二講 空間中的平行與垂直

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1、 【優(yōu)化探究】2013屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題演練1-6-2第二講 空間中的平行與垂直 一、選擇題 1．(2012年高考浙江卷)設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面(　　) A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l∥α，l⊥β，則α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，則l⊥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β 解析：利用線與面、面與面的關(guān)系定理判定，用特例法． 設(shè)α∩β＝a，若直線l∥a，且l?α，l?β，則l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A錯(cuò)誤；由于l∥α，故在α內(nèi)存在直線l′∥l，又因?yàn)閘⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正確；若α⊥β，在β內(nèi)作交線的垂線l，則l⊥α，

2、此時(shí)l在平面β內(nèi)，因此C錯(cuò)誤；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β內(nèi)，則l∥α且l∥β，因此D錯(cuò)誤． 答案：B 2．對于空間中的三條不同的直線，有下列三個(gè)條件： ①三條直線兩兩平行；②三條直線共點(diǎn)； ③有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交． 其中，能作為這三條直線共面的充分條件的有(　　) A．0個(gè)　　　　　　　　　 B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 解析：①中，三條直線兩兩平行有兩種情況：一是一條直線平行于其他兩條平行直線構(gòu)成的平面；二是三條直線共面．②中，三條直線共點(diǎn)最多可確定3個(gè)平面，所以當(dāng)三條直線共點(diǎn)時(shí)，三條直線的位置關(guān)系有兩種情況：一是一條直線

3、與其他兩條直線構(gòu)成的平面相交；二是三條直線共面．③中條件一定能推出三條直線共面．故只有③是空間中三條不同的直線共面的充分條件． 答案：B 3．(2012年洛陽模擬)已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不重合的直線，則下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n B．若m⊥α，m⊥n，則n∥α C．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n D．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β 解析：對于選項(xiàng)A，若m∥α，α∩β＝n，則m∥n，或m，n是異面直線，所以A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B，n可能在平面α內(nèi)，所以B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D，m與β的位置關(guān)系還可以是mβ，m∥β，或m與β斜交

4、，所以D錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)可知C正確． 答案：C 4．將圖1中的等腰直角三角形ABC沿斜邊BC的中線折起得到空間四面體ABCD(如圖2)，則在空間四面體ABCD中，AD與BC的位置關(guān)系是(　　) A．相交且垂直 B．相交但不垂直 C．異面且垂直 D．異面但不垂直 解析：在圖1中的等腰直角三角形ABC中，斜邊上的中線AD就是斜邊上的高，則AD⊥BC，翻折后如圖2，AD與BC變成異面直線，而原線段BC變成兩條線段BD、CD，這兩條線段與AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC. 答案：C 5．如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段

5、AB、CD、EF、GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：平面圖形的翻折應(yīng)注意翻折前后相對位置的變化，AB、CD、EF和GH在原正方體中如圖所示，顯然AB與CD、EF與GH、AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面的直線有且只有三對． 答案：C 二、填空題 6．已知m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題： ①若m∥α，則m平行于α內(nèi)的無數(shù)條直線； ②若α∥β，mα，nβ，則m∥n； ③若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β； ④若α∥β，mα，則m∥β.

6、其中的真命題是________．(寫出所有真命題的序號(hào)) 解析：由線面平行的定義及性質(zhì)知①正確；對于②，若α∥β，m?α，n?β，則m、n可能平行，也可能異面，故②錯(cuò)；對于③，由，可知n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，故③正確；由面面平行的性質(zhì)知④正確． 答案：①③④ 7．如圖，邊長為a的正△ABC中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有________(填上所有正確命題的序號(hào))． ①動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上； ②三棱錐A′-FED的體積有最大值； ③恒有平面A′GF⊥平面BCED； ④異面直線

7、A′E與BD不可能互相垂直． 解析：由題意知AF⊥DE， ∴A′G⊥DE，F(xiàn)G⊥DE， ∴DE⊥平面A′FG，DE?面ABC， ∴平面A′FG⊥平面ABC，交線為AF， ∴①③均正確． 當(dāng)A′G⊥面ABC時(shí)，A′到面ABC的距離最大． 故三棱錐A′-FED的體積有最大值． 故②正確． 當(dāng)A′F2＝2EF2時(shí)，EF⊥A′E，∵BD∥EF. ∴BD⊥A′E，故④不正確． 答案：①②③ 8．如圖，正方體ABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 解析：因?yàn)橹本€EF∥平面AB1C，

8、EF?平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又因?yàn)辄c(diǎn)E是DA的中點(diǎn)，所以F是DC的中點(diǎn)．由中位線定理可得：EF＝AC.又因?yàn)樵谡襟wABCD -A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2，所以EF＝. 答案： 三、解答題 9．如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，AB＝AD＝，CA＝CB＝CD＝BD＝2. (1)求證：BD⊥AC； (2)求三棱錐E-ADC的體積． 解析：(1)證明：連接AO，CO. ∵O為BD的中點(diǎn)，AB＝AD，CD＝CB， ∴BD⊥AO，BD⊥CO. 又∵AO∩CO＝O，AO?平面AOC，CO?平面AOC，

9、 ∴BD⊥平面AOC. ∵AC平面AOC， ∴BD⊥AC. (2)由(1)得AO＝1，CO＝，AC＝2， ∴AO2＋CO2＝AC2， ∴AO⊥CO. 又∵AO⊥BD，BD∩CO＝O，BD?平面BDC， CO?平面BDC， ∴AO⊥平面BDC. ∵E為BC的中點(diǎn)， ∴S△DCE＝×2×1×＝， ∴VE-ADC＝VA-DCE＝×1×＝. 10．(2012年鄭州模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，棱AA1與底面ABC垂直，△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC＝AA1，D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)． (1)求證：DE∥平面ABC； (2)求證：平面AB1F⊥

10、平面AEF. 解析：(1)證明：取AB的中點(diǎn)為G，連接DG，GC. ∵D是AB1的中點(diǎn)， ∴DG∥BB1， 且DG＝BB1， 又∵BB1∥CC1， CE＝CC1， ∴DG∥CE且DG＝CE， ∴四邊形DECG是平行四邊形， ∴DE∥GC， 又∵DE平面ABC，GC平面ABC， ∴DE∥平面ABC. (2)∵△ABC為等腰直角三角形，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)， ∴BC⊥AF， 由題意知，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AF， 又∵B1B∩BC＝B， ∴AF⊥平面B1BF，∴AF⊥B1F， 設(shè)AB＝AA1＝2，則B1F＝，EF＝，B1E＝3，故B1E2＝B1F2＋EF2，

11、∴B1F⊥EF，又∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF， 又∵B1F平面AB1F，∴平面AB1F⊥平面AEF. 11．(2012年高考廣東卷)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF＝AB，PH為△PAD中AD邊上的高． (1)證明：PH⊥平面ABCD； (2)若PH＝1，AD＝，F(xiàn)C＝1，求三棱錐E-BCF的體積； (3)證明：EF⊥平面PAB. 解析：(1)證明：因?yàn)锳B⊥平面PAD，PH?平面PAD， 所以PH⊥AB. 因?yàn)镻H為△PAD中AD邊上的高，所以PH⊥AD. 因?yàn)镻H?平面ABCD，A

12、B∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD， 所以PH⊥平面ABCD. (2)如圖，連接BH，取BH的中點(diǎn)G，連接EG. 因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)， 所以EG∥PH， 且EG＝PH＝. 因?yàn)镻H⊥平面ABCD， 所以EG⊥平面ABCD. 因?yàn)锳B⊥平面PAD，AD?平面PAD，所以 AB⊥AD，所以底面ABCD為直角梯形， 所以VE-BCF＝S△BCF·EG ＝··FC·AD·EG＝. (3)證明：取PA中點(diǎn)M，連接MD，ME. 因?yàn)镋是PB的中點(diǎn)，所以ME綊AB. 又因?yàn)镈F綊AB，所以ME綊DF，所以四邊形MEFD是平行四邊形，所以EF∥MD. 因?yàn)镻D＝AD，所以MD⊥PA. 因?yàn)锳B⊥平面PAD，所以MD⊥AB. 因?yàn)镻A∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB， 所以EF⊥平面PAB. 6