等差、等比數(shù)列以及數(shù)列求和專題.doc

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§6.2 等差數(shù)列 一．課程目標(biāo) 1.理解等差數(shù)列的概念； 2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式； 3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題； 4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系. 二．知識(shí)梳理 1.定義 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數(shù)). 2. 通項(xiàng)公式 若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d. 3.前項(xiàng)和公式 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：其中n∈N*，a1為首項(xiàng)，d為公差，an為第n項(xiàng)). 3. 等差數(shù)列的常用性質(zhì) 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和. (1)通項(xiàng)公式的推廣： (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有。特別的，當(dāng)時(shí)， (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列. (4)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列. (5)若是等差數(shù)列，則仍是等差數(shù)列. 4. 與等差數(shù)列各項(xiàng)和相關(guān)的性質(zhì) （1） 若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與的首項(xiàng)相同，公差為的公差的。 （2） 數(shù)列…也是等差數(shù)列. （3） 關(guān)于非零等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的性質(zhì)。 .若項(xiàng)數(shù)為，則。 .若項(xiàng)數(shù)為，則，，。 （4）若兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則 5.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系： （1），數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)). （2）在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值. 三．考點(diǎn)梳理 1.等差數(shù)列的概念及運(yùn)算 例1.(2016·全國(guó)Ⅰ卷)已知等差數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A.100 B.99 C.98 D.97 例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S3＝6，S4＝12，則S6＝________. 練習(xí)1.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若S8＝4S4，則a10等于(　　) A. B. C.10 D.12 2.等差數(shù)列的性質(zhì) 例1.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 例3.若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為(　　) A.13 B.12 C.11 D.10 例4.(2015·廣東卷)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. 例5.(2016·武漢調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＋a7＝－8，a2＝2，則數(shù)列{an}的公差d等于(　　) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 例6.設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為_(kāi)_______. 3.等差數(shù)列與函數(shù) 例1.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝13，S3＝S11，當(dāng)Sn最大時(shí)，n的值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 例2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1>0且＝，則當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n的值為(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 例3.已知等差數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(　　) A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 例4.已知正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S12＝24，則a6·a7的最大值為(　　) A.36 B.6 C.4 D.2 例5.設(shè){}是公差為d（）的無(wú)窮等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是（ ） A. 若d<0，則數(shù)列{}有最大項(xiàng) B.若數(shù)列{}有最大項(xiàng)，則d<0 C.若數(shù)列{}為遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有>0 D.若對(duì)任意，均有>0，則數(shù)列{}為遞增數(shù)列 例6.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a2＝7，a4＝3，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則使得Sn>0成立的最大的自然數(shù)n是(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 方法總結(jié)：求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法： (1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)； (2)利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值； (3)將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))看作二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值. §6.3 等比數(shù)列 1． 課程目標(biāo) 1. 理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式； 2. 能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題； 3. 了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 2． 知識(shí)梳理 1.等比數(shù)列的概念 (1)如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)非零常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示. 數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù)). (2)如果三個(gè)數(shù)a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，其中G＝±. 2. 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 (1)若等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1； 通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m. (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. 3.等比數(shù)列的性質(zhì) 已知{an}是等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則有ak·al＝am·an. (2)數(shù)列（是等比數(shù)列），，等也是等比數(shù)列。(3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm. (4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n為奇數(shù)時(shí)，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. (5)等比數(shù)列{an}的單調(diào)性： 當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； 當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，數(shù)列{an}是遞減數(shù)列； 當(dāng)q＝1時(shí)，數(shù)列{an}是常數(shù)列. (6) 當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，; 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 3． 考點(diǎn)梳理 1. 等比數(shù)列的概念及運(yùn)算 例1.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中，若，，則＝(　　) A.2 B.4 C. D.2 例2.公比不為1的等比數(shù)列滿足，若，則的值為(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 例3.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sn＝126，則n＝________. 2.等比數(shù)列的性質(zhì) 例1.(2016·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)等比數(shù)列滿足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，則a1a2…an的最大值為_(kāi)_______. 例2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝3，則＝(　　) A.2 B. C. D.3 例3.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　) A.21 B.42 C.63 D.84 例4.設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　) A.150 B.－200 C.150或－200 D.400或－50 例5.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n等于(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 例6.數(shù)列{an}中，已知對(duì)任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，則a＋a＋a＋…＋a等于(　　) A.(3n－1)2 B.(9n－1) C.9n－1 D.(3n－1) 例7.在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是________. 例8.已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，則的值是(　　) A． －5 B．－ C．5 D． 例9.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，，則=（ ） A.8 B．6 C．4 D． 例10.若等比數(shù)列的前項(xiàng)均為正數(shù)，且，則_________. §6.3數(shù)列求和 一．課程目標(biāo)： 1. 熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式； 2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法. 二．知識(shí)梳理 1.求數(shù)列的前n項(xiàng)和的方法 (1)公式法 ①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 Sn＝＝na1＋d. ②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式 (ⅰ)當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1； (ⅱ)當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝＝. (2)分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解. (3)裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng). (4)倒序相加法 把數(shù)列分別正著寫(xiě)和倒著寫(xiě)再相加，即等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣. (5)錯(cuò)位相減法 主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得的數(shù)列的求和，即等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)過(guò)程的推廣. 2.常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式 (1) (2)＝ (3) 三．考點(diǎn)梳理 1.求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 例1.已知數(shù)列{an}滿足，其中n∈N*．設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式； 例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=，an+1= ，n∈N+．求證：數(shù)列{﹣2}是等比數(shù)列，并且求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； 例3.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，，（n∈N*且n≥2），數(shù)列滿足：，且（n∈N*且n≥2）． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）求證：數(shù)列為等比數(shù)列； 例4.在數(shù)列中，已知．證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 例5.數(shù)列滿足，（）。設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。 例6.數(shù)列{an}滿足，且(n???N*)。 (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)令=?+ ，?求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 例7.數(shù)列{an}中，，且． （1）求； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 求通項(xiàng)公式的方法： ①利用； ②根據(jù)目標(biāo)數(shù)列構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后通過(guò)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式反推出原數(shù)列的通項(xiàng)公式； ③如果遞推公式是有數(shù)列的前后三項(xiàng)組成，可先構(gòu)造等比或等差數(shù)列，然后按照2的步驟進(jìn)行反推。 2.數(shù)列求和 （1）分組轉(zhuǎn)化法 ①若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為＝，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和. ②若數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為＝其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求的前n項(xiàng)和. 例1.在數(shù)列中，已知，（）．? （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；? （2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；? （3）設(shè)數(shù)列{}滿足=，求{}的前n項(xiàng)和． 例2. 已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且，. (1)求的通項(xiàng)公式； (2)若對(duì)任意的n∈N*，是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前項(xiàng)和. 例3.數(shù)列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n項(xiàng)和Sn的值等于(　　) A.n2＋1－ B.2n2－n＋1－ C.n2＋1－ D.n2－n＋1－ 例4.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2 016等于(　　) A.1 008 B.2 016 C.504 D.0 （2） 裂項(xiàng)相消法： ①利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng). ②將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等. 例1.(2015·全國(guó)Ⅰ卷)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和. 例2.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3. (1)求an； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn. 例3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=﹣an﹣+2（n∈N*），數(shù)列{bn}滿足bn=2nan． （1）求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)cn=，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn＜（n∈N*）的n的最大值． 例4.已知數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和為 Sn，a1=1，且 an+1=2Sn+1，n∈N?． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）令 c=log3a2n，bn=，記數(shù)列{bn}的前 n 項(xiàng)和為Tn，若對(duì)任意 n∈N?，λ＜Tn 恒成立，求實(shí)數(shù) λ 的取值范圍． （3） 錯(cuò)位相減法： 一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解。 在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式. 例1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝6，S5＝15． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 例2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，（n∈N+）． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若數(shù)列{bn}滿足an?bn=log3a4n+1，記Tn=b1+b2+b3+…+bn，求證：（n∈N+）． 例3.(2016·山東)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差數(shù)列，且an＝bn＋bn＋1． (1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式； (2)令cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn． （4） 倒序相加法： 如果一個(gè)數(shù)列，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě)和與倒著寫(xiě)和的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法 例1.已知，求的值； 例2.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有 （1）求的值； （2）已知數(shù)列滿足，求； （3）若，求 例3.已知函數(shù)，是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 （1）求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值； （2）數(shù)列中，若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和 27