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圓周運(yùn)動(dòng)
一、考綱要求
1.掌握描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量及它們之間的關(guān)系
2.理解向心力公式并能應(yīng)用；了解物體做離心運(yùn)動(dòng)的條件．
二、知識(shí)梳理
1.描述圓周運(yùn)動(dòng)的物理量
（1）線速度：描述物體圓周運(yùn)動(dòng)快慢的物理量．
v＝＝.
（2）角速度：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量．
ω＝＝.
（3）周期和頻率：描述物體繞圓心轉(zhuǎn)動(dòng)快慢的物理量．
T＝，T＝.
（4）向心加速度：描述速度方向變化快慢的物理量．
an＝rω2＝＝ωv＝r.
2.向心力
（1）作用效果：產(chǎn)生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大?。?
（2）大小：F＝m＝mω2r＝m＝mωv＝4π2mf2r
（3）方向：總是沿半徑方向指向圓心，時(shí)刻在改變，即向心力是一個(gè)變力．
（4）來(lái)源：向心力可以由一個(gè)力提供，也可以由幾個(gè)力的合力提供，還可以由一個(gè)力的分力提供．
3.勻速圓周運(yùn)動(dòng)與非勻速圓周運(yùn)動(dòng)
（1）勻速圓周運(yùn)動(dòng)
①定義：線速度大小不變的圓周運(yùn)動(dòng) .
②性質(zhì)：向心加速度大小不變，方向總是指向圓心的變加速曲線運(yùn)動(dòng)．
③質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件
合力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心．
（2）非勻速圓周運(yùn)動(dòng)
①定義：線速度大小、方向均發(fā)生變化的圓周運(yùn)動(dòng)．
②合力的作用
a.合力沿速度方向的分量Ft產(chǎn)生切向加速度，F(xiàn)t＝mat，它只改變速度的方向．
b.合力沿半徑方向的分量Fn產(chǎn)生向心加速度，F(xiàn)n＝man，它只改變速度的大小.
4.離心運(yùn)動(dòng)
（1）本質(zhì)：做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切
線方向飛出去的傾向．
（2）受力特點(diǎn)（如圖所示）
①當(dāng)F＝mrω2時(shí)，物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；
②當(dāng)F＝0時(shí)，物體沿切線方向飛出；
③當(dāng)F
mrω2時(shí)，物體逐漸向圓心靠近，做向心運(yùn)動(dòng)．
三、要點(diǎn)精析
1.圓周運(yùn)動(dòng)各物理量間的關(guān)系
2.對(duì)公式v＝ωr和a＝＝ω2r的理解
（1）由v＝ωr知，r一定時(shí)，v與ω成正比；ω一定時(shí)，v與r成正比；v一定時(shí)，ω與r成反比．
（2）由a＝＝ω2r知，在v一定時(shí)，a與r成反比；在ω一定時(shí)，a與r成正比．
3.常見(jiàn)的三種傳動(dòng)方式及特點(diǎn)
（1）皮帶傳動(dòng)：如圖甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
（2）摩擦傳動(dòng)：如圖甲所示，兩輪邊緣接觸，接觸點(diǎn)無(wú)打滑現(xiàn)象時(shí)，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.
（3）同軸傳動(dòng)：如圖乙所示，兩輪固定在一起繞同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小相等，即ωA＝ωB.
4.向心力的來(lái)源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個(gè)力的合力或某個(gè)力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個(gè)向心力．
5.向心力的確定
（1）先確定圓周運(yùn)動(dòng)的軌道所在的平面，確定圓心的位置．
（2）再分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力．
6.圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問(wèn)題
臨界問(wèn)題廣泛地存在于中學(xué)物理中，解答臨界問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷臨界狀態(tài)，再選擇相應(yīng)的規(guī)律靈活求解，其解題步驟為：
（1）判斷臨界狀態(tài)：有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過(guò)程存在著臨界點(diǎn)；若題目中有“取值范圍”“多長(zhǎng)時(shí)間”“多大距離”等詞語(yǔ)，表明題述的過(guò)程存在著“起止點(diǎn)”，而這些起止點(diǎn)往往就是臨界狀態(tài)；若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過(guò)程存在著極值，這個(gè)極值點(diǎn)也往往是臨界狀態(tài)．
（2）確定臨界條件：判斷題述的過(guò)程存在臨界狀態(tài)之后，要通過(guò)分析弄清臨界狀態(tài)出現(xiàn)的條件，并以數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來(lái)．
（3）選擇物理規(guī)律：當(dāng)確定了物體運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)和臨界條件后，對(duì)于不同的運(yùn)動(dòng)過(guò)程或現(xiàn)象，要分別選擇相對(duì)應(yīng)的物理規(guī)律，然后再列方程求解．
7.豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的“輕繩、輕桿”
[模型概述]
在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況可分為兩類．一是無(wú)支撐（如球與繩連接，沿內(nèi)軌道的“過(guò)山車”等），稱為“輕繩模型”；二是有支撐（如球與桿連接，小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等），稱為“輕桿模型”．
[模型條件]
（1）物體在豎直平面內(nèi)做變速圓周運(yùn)動(dòng)．
（2）“輕繩模型”在軌道最高點(diǎn)無(wú)支撐，“輕桿模型”在軌道最高點(diǎn)有支撐．
[模型特點(diǎn)]
該類問(wèn)題常有臨界問(wèn)題，并伴有“最大”“最小”“剛好”等詞語(yǔ)，現(xiàn)對(duì)兩種模型分析比較如下：
?
繩模型
桿模型
常見(jiàn)類型
均是沒(méi)有支撐的小球
均是有支撐的小球
過(guò)最高點(diǎn)的臨界條件
由mg＝m得v臨＝
由小球恰能做圓周運(yùn)動(dòng)得v臨＝0
討論分析
（1）過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v≥，F(xiàn)N＋mg＝m，繩、圓軌道對(duì)球產(chǎn)生彈力FN（2）不能過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，v<，在到達(dá)最高點(diǎn)前小球已經(jīng)脫離了圓軌道
（1）當(dāng)v＝0時(shí)，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心（2）當(dāng)0時(shí)，F(xiàn)N＋mg＝m，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大
四、典型例題
1.質(zhì)量為m的小球由輕繩a、b分別系于一輕質(zhì)木架上的A和C點(diǎn)，繩長(zhǎng)分別為la、lb，如圖所示，當(dāng)輕桿繞軸BC以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩a在豎直方向，繩b在水平方向，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，繩b被燒斷的同時(shí)輕桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則（? ）
A．小球仍在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)
B．在繩b被燒斷瞬間，繩a中張力突然增大
C．若角速度ω較小，小球在垂直于平面ABC的豎直平面內(nèi)擺動(dòng)
D．繩b未被燒斷時(shí)，繩a的拉力大于mg，繩b的拉力為mω2lb
【答案】BC
【解析】根據(jù)題意，在繩b被燒斷之前，小球繞BC軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，豎直方向上受力平衡，繩a的拉力等于mg，D錯(cuò)誤；繩b被燒斷的同時(shí)輕桿停止轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)小球具有垂直平面ABC向外的速度，小球?qū)⒃诖怪庇谄矫鍭BC的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若ω較大，則在該平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若ω較小，則在該平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)，C正確，A錯(cuò)誤；繩b被燒斷瞬間，繩a的拉力與重力的合力提供向心力，所以拉力大于小球的重力，繩a中的張力突然變大了，B正確．
2.下列關(guān)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)的說(shuō)法，正確的是（? ）
A．勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度大小保持不變，所以做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體沒(méi)有加速度
B．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻都在改變，所以必有加速度
C．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，加速度的大小保持不變，所以是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)
D．勻速圓周運(yùn)動(dòng)加速度的方向時(shí)刻都在改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)一定是變加速曲線運(yùn)動(dòng)
【答案】BD
【解析】速度和加速度都是矢量，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，雖然速度大小不變，但方向時(shí)刻在改變，速度時(shí)刻發(fā)生變化，必然具有加速度．加速度大小雖然不變，但方向時(shí)刻在改變，所以勻速圓周運(yùn)動(dòng)是變加速曲線運(yùn)動(dòng)．故本題選B、D.
3.雨天野外騎車時(shí)，在自行車的后輪輪胎上常會(huì)粘附一些泥巴，行駛時(shí)感覺(jué)很“沉重”．如果將自行車后輪撐起，使后輪離開(kāi)地面而懸空，然后用手勻速搖腳踏板，使后輪飛速轉(zhuǎn)動(dòng)，泥巴就被甩下來(lái)．如圖所示，圖中a、b、c、d為后輪輪胎邊緣上的四個(gè)特殊位置，則（? ）
A．泥巴在圖中a、c位置的向心加速度大于b、d位置的向心加速度
B．泥巴在圖中的b、d位置時(shí)最容易被甩下來(lái)
C．泥巴在圖中的c位置時(shí)最容易被甩下來(lái)
D．泥巴在圖中的a位置時(shí)最容易被甩下來(lái)
【答案】C
【解析】當(dāng)后輪勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由a＝Rω2知a、b、c、d四個(gè)位置的向心加速度大小相等，A錯(cuò)誤．在角速度ω相同的情況下，泥巴在a點(diǎn)有Fa＋mg＝mω2R，在b、d兩點(diǎn)有Fb＝Fd＝mω2R，在c點(diǎn)有Fc－mg＝mω2R.所以泥巴與輪胎在c位置的相互作用力最大，最容易被甩下來(lái)，故B、D錯(cuò)誤，C正確．
4.如圖所示，在雙人花樣滑冰運(yùn)動(dòng)中，有時(shí)會(huì)看到被男運(yùn)動(dòng)員拉著的女運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)地面在空中做圓錐擺運(yùn)動(dòng)的精彩場(chǎng)面，目測(cè)體重為G的女運(yùn)動(dòng)員做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)和水平冰面的夾角約為30°，重力加速度為g，估算該女運(yùn)動(dòng)員（? ）
A．受到的拉力為G
B．受到的拉力為2G
C．向心加速度為g
D．向心加速度為2g
【答案】B
【解析】對(duì)女運(yùn)動(dòng)員受力分析，由牛頓第二定律得，水平方向FTcos 30°＝ma，豎直方向FTsin 30°－G＝0，解得FT＝2G，a＝g，A、C、D錯(cuò)誤，B正確．
5.如圖所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．若小球運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)，拉力F發(fā)生變化，下列關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)情況的說(shuō)法正確的是（? ）
A．若拉力突然消失，小球?qū)⒀剀壍繮a做離心運(yùn)動(dòng)
B．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPa做離心運(yùn)動(dòng)
C．若拉力突然變大，小球?qū)⒀剀壽EPb做離心運(yùn)動(dòng)
D．若拉力突然變小，小球?qū)⒀剀壽EPc運(yùn)動(dòng)
【答案】A
【解析】在水平面上，細(xì)繩的拉力提供m所需的向心力，當(dāng)拉力消失，物體受力合為零，將沿切線方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，故A正確．當(dāng)拉力減小時(shí)，將沿pb軌道做離心運(yùn)動(dòng)，故BD錯(cuò)誤當(dāng)拉力增大時(shí)，將沿pc軌道做近心運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤．故選：A．
6.（多選）如圖（a）所示，小球的初速度為v0，沿光滑斜面上滑，能上滑的最大高度為h.在圖（b）中，四個(gè)小球的初速度均為v0，在A中，小球沿一光滑軌道內(nèi)側(cè)向上運(yùn)動(dòng)，軌道半徑大于h；在B中，小球沿一光滑軌道內(nèi)側(cè)向上運(yùn)動(dòng)，軌道半徑小于h；在C中，小球沿一光滑軌道內(nèi)側(cè)向上運(yùn)動(dòng)，軌道直徑等于h；在D中，小球固定在輕桿的下端，輕桿的長(zhǎng)度為h的一半，小球隨輕桿繞O點(diǎn)向上轉(zhuǎn)動(dòng)．則小球上升的高度能達(dá)到h的有???????????? （? ）
【答案】AD
【解析】A中，RA＞h，小球在軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v＝0時(shí)，上升高度h＜RA，故不存在脫軌現(xiàn)象，A滿足題意；D中輕桿連著小球在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)時(shí)有v＝0，此時(shí)小球恰好可到達(dá)最高點(diǎn)，D滿足題意；而B(niǎo)、C都存在脫軌現(xiàn)象，脫軌后最高點(diǎn)速度不為零，因此上升高度h′＜h，故應(yīng)選A、D.
7.如圖所示，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)繩一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的小球．給小球一個(gè)合適的初速度，小球便可在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這樣就構(gòu)成了一個(gè)圓錐擺，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ.下列說(shuō)法中正確的是?????????? （? ）
A．小球受重力、繩的拉力和向心力作用
B．小球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為L(zhǎng)
C．θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的速度越大
D．θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的周期越大
【答案】C
【解析】小球只受重力和繩的拉力作用，合力大小為F＝mgtan θ，半徑為R＝Lsin θ，A、B錯(cuò)誤；小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由重力和繩的拉力的合力提供的，則mgtan θ＝m，得到v＝sin θ，θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的速度越大，C正確；周期T＝＝2π，θ越大，小球運(yùn)動(dòng)的周期越小，D錯(cuò)誤．
8.如圖所示，足夠長(zhǎng)的斜面上有a、b、c、d、e五個(gè)點(diǎn)，ab＝bc＝cd＝de，從a點(diǎn)水平拋出一個(gè)小球，初速度為v時(shí)，小球落在斜面上的b點(diǎn)，落在斜面上時(shí)的速度方向與斜面夾角為θ；不計(jì)空氣阻力，初速度為2v時(shí)（? ）
A．小球可能落在斜面上的c點(diǎn)與d點(diǎn)之間
B．小球一定落在斜面上的e點(diǎn)
C．小球落在斜面時(shí)的速度方向與斜面夾角大于θ
D．小球落在斜面時(shí)的速度方向與斜面夾角也為θ
【答案】BD
【解析】設(shè)ab＝bc＝cd＝de＝L0，斜面傾角為α，初速度為v時(shí)，小球落在斜面上的b點(diǎn)，則有L0cos α＝vt1，L0sin α＝.初速度為2v時(shí)，則有Lcos α＝2vt2，Lsin α＝，聯(lián)立解得L＝4L0，即小球一定落在斜面上的e點(diǎn)，選項(xiàng)B正確，A錯(cuò)誤；由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，小球落在斜面時(shí)的速度方向與斜面夾角也為θ，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D正確．
9.物體做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)所需的向心力F需由物體運(yùn)動(dòng)情況決定，合力提供的向心力F供由物體受力情況決定．若某時(shí)刻F需＝F供，則物體能做圓周運(yùn)動(dòng)；若F需>F供，物體將做離心運(yùn)動(dòng)；若F需v0，故繩中有張力．根據(jù)牛頓第二定律有FT＋mg＝m，代入數(shù)據(jù)得繩中張力FT＝3 N.
（3）因?yàn)関2
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