第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù).doc
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第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù) 一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 1、無(wú)窮級(jí)數(shù)：，簡(jiǎn)稱(chēng)級(jí)數(shù)。其中un稱(chēng)為通項(xiàng)，也叫一般項(xiàng)。 為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和。 收斂：存在，且稱(chēng)為級(jí)數(shù)的和。 發(fā)散：不存在。 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：中的每項(xiàng)un均為常數(shù)。 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：中的項(xiàng)un不全為常數(shù)。 2、基本性質(zhì) 性質(zhì)1、若收斂于S，則收斂于kS； 若發(fā)散，k≠0，則也發(fā)散。 性質(zhì)2、若與皆收斂，則也收斂。 性質(zhì)3、在前面部分去掉或添上有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的收斂性。 性質(zhì)4、收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。 性質(zhì)5、（收斂的必要條件）若收斂，則必有。 說(shuō)明：并不能保證一定收斂。 推論：，則必定發(fā)散。 三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)： （1） 等比級(jí)數(shù)： （2） p—級(jí)數(shù)： （3） 調(diào)和級(jí)數(shù)： 例1 若級(jí)數(shù)收斂，記，則（ B ） 例2 若級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)不收斂的是（ B ） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以，收斂，且收斂于。 二、正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、定義：若中的每一項(xiàng)un≥0，（n=1，2，…）則稱(chēng)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 2、比較判別法（審斂法） 若與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且0≤un≤vn(n=1,2,…),則 （1） 當(dāng)收斂時(shí)，必收斂； （大斂小必?cái)浚? （2） 當(dāng)發(fā)散時(shí)，必發(fā)散； （小散大必散） 3、比值判別法 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則 （1） 當(dāng)ρ<1時(shí)，收斂； （2） 當(dāng)ρ>1時(shí)，發(fā)散； （3） 當(dāng)ρ=1時(shí)，此法失效。 說(shuō)明：（1）un中含n!時(shí)，用比值法較為方便； （2）利用比較法時(shí)，要先有個(gè)初步估計(jì)，然后選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)與之比較。 4、極限形式的比較判別法 設(shè)與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且，則與的收斂性相同。 例1 設(shè)與都是非功過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un≤vn(n=1,2,…),則下列命題正確的是 （ D ） 例2 判定級(jí)數(shù)的收斂性。 解：因 所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 （推論） 例3 判定的收斂性。 解：因 所以收斂。 例4判定級(jí)數(shù)（a>0,a≠e）的收斂性。 解： 故當(dāng)a>e時(shí)，收斂； 0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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