第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù).doc
《第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù).doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù).doc(20頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù)一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 1、無(wú)窮級(jí)數(shù):,簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)。其中un稱為通項(xiàng),也叫一般項(xiàng)。為級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和。收斂:存在,且稱為級(jí)數(shù)的和。發(fā)散:不存在。數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):中的每項(xiàng)un均為常數(shù)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):中的項(xiàng)un不全為常數(shù)。 2、基本性質(zhì) 性質(zhì)1、若收斂于S,則收斂于kS; 若發(fā)散,k0,則也發(fā)散。 性質(zhì)2、若與皆收斂,則也收斂。 性質(zhì)3、在前面部分去掉或添上有限項(xiàng),不改變級(jí)數(shù)的收斂性。 性質(zhì)4、收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所得的級(jí)數(shù)仍收斂于原級(jí)數(shù)的和。 性質(zhì)5、(收斂的必要條件)若收斂,則必有。 說(shuō)明:并不能保證一定收斂。 推論:,則必定發(fā)散。 三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù):(1) 等比級(jí)數(shù):(2) p級(jí)數(shù):(3) 調(diào)和級(jí)數(shù): 例1 若級(jí)數(shù)收斂,記,則( B ) 例2 若級(jí)數(shù)收斂,則下列級(jí)數(shù)不收斂的是( B ) 例3 判定的收斂性。 解:因 所以,收斂,且收斂于。二、正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、定義:若中的每一項(xiàng)un0,(n=1,2,)則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。 2、比較判別法(審斂法) 若與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且0unvn(n=1,2,),則(1) 當(dāng)收斂時(shí),必收斂; (大斂小必?cái)浚?) 當(dāng)發(fā)散時(shí),必發(fā)散; (小散大必散) 3、比值判別法設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,則(1) 當(dāng)1時(shí),發(fā)散;(3) 當(dāng)=1時(shí),此法失效。說(shuō)明:(1)un中含n!時(shí),用比值法較為方便;(2)利用比較法時(shí),要先有個(gè)初步估計(jì),然后選擇一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級(jí)數(shù)與之比較。4、極限形式的比較判別法 設(shè)與皆為正項(xiàng)級(jí)數(shù),且,則與的收斂性相同。例1 設(shè)與都是非功過(guò)正項(xiàng)級(jí)數(shù),且unvn(n=1,2,),則下列命題正確的是 ( D ) 例2 判定級(jí)數(shù)的收斂性。解:因 所以級(jí)數(shù)發(fā)散。 (推論)例3 判定的收斂性。解:因 所以收斂。例4判定級(jí)數(shù)(a0,ae)的收斂性。解: 故當(dāng)ae時(shí),收斂; 0a0)的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。 (2)萊布尼茲定理:若交錯(cuò)級(jí)數(shù)(其中un0,n=1,2)滿足 un un+1,n=k,k+1, 則必定收斂,且其和Su1,余項(xiàng)的絕對(duì)值。(3)萊布尼茲級(jí)數(shù) ,該級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)。(可作為公式使用)四、絕對(duì)收斂與條件收斂 1、絕對(duì)收斂:若收斂,則必收斂,此時(shí)稱絕對(duì)收斂。 2、條件收斂:若收斂,而發(fā)散,此時(shí)稱條件收斂。 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)判斂的一般步驟: 先判定的收斂,若收斂,則絕對(duì)收斂。 若發(fā)散,再考察的收斂性,如果收斂,則為條件收斂。 例1 當(dāng)滿足下列條件( D )時(shí),收斂。 收斂 例2 下列級(jí)數(shù)中條件收斂的級(jí)數(shù)是( C ) 說(shuō)明:A、B的通項(xiàng)的極限不為零;D絕對(duì)收斂。 例3 級(jí)數(shù)是( A ) A、絕對(duì)收斂 B、條件收斂 C、發(fā)散 D、收斂性不能判定 說(shuō)明:取絕對(duì)值后為的正項(xiàng)p級(jí)數(shù),故絕對(duì)收斂。 例4 判定級(jí)數(shù)的斂散性。 解:所給級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),且滿足, 所以,由萊布尼茲定理可知:收斂。 例5 研究級(jí)數(shù)的收斂性,其中常數(shù)a0。 解:記,則,從而知為p級(jí)數(shù),且 當(dāng)a1時(shí),收斂,故絕對(duì)收斂; 當(dāng)01時(shí),絕對(duì)收斂; 當(dāng)0a1時(shí),條件收斂。 例6 設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù),則下列說(shuō)法正確的是( C ) A、若(1)發(fā)散,則(2)必發(fā)散 B、若(2)收斂,則(1)必收斂 C、若(1)發(fā)散,則(2)可能發(fā)散也可能收斂 D、(1)、(2)斂散性一致 (以為例) (05、06) 例7下列級(jí)數(shù)收斂的是( C ) (05B、6) 例8 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),如下說(shuō)法正確的是( C) (06、5)A、 如果,則必定收斂;B、 如果,則必定收斂;C、 如果收斂,則必定收斂;D、 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,則必定收斂。例下列級(jí)數(shù)收斂的是()(、)五、冪級(jí)數(shù)、定義:形如的級(jí)數(shù),稱為x(或x-x0)的冪級(jí)數(shù)。、收斂半徑、收斂區(qū)間當(dāng)x=0時(shí)收斂;如果不是僅在x=0處收斂,也不是(,)內(nèi)收斂,則必定存在一個(gè)正數(shù):當(dāng)xR時(shí), 發(fā)散; 當(dāng)x=R時(shí), 可能收斂也可能發(fā)散.。 則稱R為的收斂半徑,(-R,+R)為的收斂區(qū)間。 說(shuō)明:在收斂區(qū)間(-R,+R)內(nèi),絕對(duì)收斂,兩端點(diǎn)處需另外討論,不作要求。六、收斂半徑的求法 1、對(duì)于不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù) 設(shè)冪級(jí)數(shù)的系數(shù)有,則(1) 當(dāng)0+時(shí),有;(2) 當(dāng)=0時(shí),定義R=+;(3) 當(dāng)=+時(shí),定義R=0。 2、對(duì)于缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),例如 令,考察 則當(dāng)x21,即時(shí),級(jí)數(shù)收斂,可知(1) 當(dāng)0+時(shí),;(2) 當(dāng)=0時(shí),定義R=+;(3) 當(dāng)=+時(shí),定義R=0。 例1 設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=2處收斂,則該級(jí)數(shù)在x=-1處必定( C )A、 發(fā)散 B、條件收斂 C、絕對(duì)收斂 D、斂散性不能確定 例2冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為( 1 ) 解:該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 所以收斂半徑: 例3 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解:該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 所以收斂半徑:,收斂區(qū)間為(-,+)。 例4求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解:該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 所以收斂半徑:,收斂區(qū)間為(-3,3。 例5 求的收斂半徑、收斂區(qū)間。 解:該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 所以收斂半徑:,所以僅在x=0處收斂。 例6 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)間。 解:該級(jí)數(shù)為不缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 所以收斂半徑:,收斂區(qū)間為(-1,1)。 例7求的收斂區(qū)間。 (x-x0)型 解:令t=x-1,級(jí)數(shù)變?yōu)?因 所以R=2,即-2t2,也就是-2x-12,解得-1x-13 故的收斂區(qū)間為(-1,3)。 例8、求的收斂區(qū)間。 解:該級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂,故的收斂區(qū)間為。 例9求的收斂區(qū)間。 解:該級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)的冪級(jí)數(shù),故 ,即R= 即對(duì)于任意的x,所給級(jí)數(shù)皆收斂,故收斂區(qū)間為(-,+)。七、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為R1與R2(R1與R2均不為零),它們的和函數(shù)分別為S1(x)與S2(x),記R=min(R1,R2),則1、加法運(yùn)算 =,收斂半徑為R。 2、乘法運(yùn)算 =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+(a0bn+anbn-1+anb0)xn+ 3、逐項(xiàng)求導(dǎo)數(shù) 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為R,則在(-R,R)內(nèi)和函數(shù)S(x)可導(dǎo),且有,收斂半徑不變。 4、逐項(xiàng)積分 若冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)的收斂半徑分別為R,則和函數(shù)S(x)在(-R,R)內(nèi)可積,且有:,半徑為R,端點(diǎn)處的收斂性可能改變。 例:求冪級(jí)數(shù)和和函數(shù)。 解:收斂半徑R=1,收斂區(qū)間為(-1,1),而在收斂區(qū)間(-1,1)內(nèi),故說(shuō)明:因?yàn)楣鹊牡缺燃?jí)數(shù)。八、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 1、泰勒(臺(tái)勞)級(jí)數(shù) 如果f(x)在x=x0的某一鄰域內(nèi),有直到n+1階導(dǎo)數(shù),則在這個(gè)鄰域內(nèi)有:(泰勒(臺(tái)勞)級(jí)數(shù))當(dāng)x0=0時(shí),(麥克勞林級(jí)數(shù)) 2、直接展開(kāi)法 把函數(shù)f(x)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)的步驟: 求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù) 求也函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值,即 f(0),f/(0),f/(0),f(n)(0), 寫(xiě)出冪級(jí)數(shù),并求出其收斂半徑。2、間接展開(kāi)法運(yùn)用幾個(gè)已知的展開(kāi)式,通過(guò)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算,可以求得所給函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式的方法,稱為間接展開(kāi)法。幾個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)展開(kāi)式: (-1x1 (-1x1 (-,+) (-,+) (-,+) (-1x1) (-1x0)(1)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù);(2)展開(kāi)為x-b的冪級(jí)數(shù) (ba)。 (與相近) 解:(1) 收斂區(qū)間為:,即-axa (2) 收斂區(qū)間為: 例2 將函數(shù)展開(kāi)成x+1的冪給數(shù),并指出收斂區(qū)間。 解: 收斂區(qū)間:,即-4x+14,解得-5x3. 例3 設(shè)函數(shù),(1)將f(x)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù);(2)利用(1)的結(jié)果,求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。 (與ex相近) 解:(1)(2)在上等式中,取x=1,即得。 例4 將展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。 解:由于 (-,+) (-,+)所以收斂區(qū)間為(-,+)說(shuō)明:n為奇數(shù)時(shí),故僅有偶數(shù)次項(xiàng)。 例5 將在x=0處展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。 (與ex相近) 解: 說(shuō)明:“將f(x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)”, “將f(x)展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)”, “將f(x)在x=0處展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)”,三種說(shuō)法等價(jià)。 例6 將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)。 (化為的形式) 解:因而 所以收斂區(qū)間(-1x1)(取R中較小的) 例7 將展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)。 (通過(guò)運(yùn)算得到) 解:因 而 所以 (或, 說(shuō)明:n=0時(shí)為常量,導(dǎo)數(shù)為零,故n從1開(kāi)始取值。 例8 將f(x)=arctan2x展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)。 (標(biāo)準(zhǔn)形式中沒(méi)有此類(lèi)型) 解:因 (與相近) 而 所以 故f(x)=arctan2x= 例9 冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1,1) (05、12) 例10 將函數(shù)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間。 (05,19) 解: 收斂區(qū)間:取中較小者為(-1,1)。 例11 冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-1,1) (05B、12) 例12將函數(shù)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間。 (05B,19) 解: 收斂區(qū)間:取中較小者為。 例13 將函數(shù)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)(要求指出收斂區(qū)間)。 (06、18) 解: 收斂區(qū)間為。 例14 級(jí)數(shù)的收斂域是 (-2,2)。 (08、12) 解:- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
- 2.下載的文檔,不會(huì)出現(xiàn)我們的網(wǎng)址水印。
- 3、該文檔所得收入(下載+內(nèi)容+預(yù)覽)歸上傳者、原創(chuàng)作者;如果您是本文檔原作者,請(qǐng)點(diǎn)此認(rèn)領(lǐng)!既往收益都?xì)w您。
下載文檔到電腦,查找使用更方便
32 積分
下載 |
- 配套講稿:
如PPT文件的首頁(yè)顯示word圖標(biāo),表示該P(yáng)PT已包含配套word講稿。雙擊word圖標(biāo)可打開(kāi)word文檔。
- 特殊限制:
部分文檔作品中含有的國(guó)旗、國(guó)徽等圖片,僅作為作品整體效果示例展示,禁止商用。設(shè)計(jì)者僅對(duì)作品中獨(dú)創(chuàng)性部分享有著作權(quán)。
- 關(guān) 鍵 詞:
- 第十單元 無(wú)窮級(jí)數(shù) 第十 單元 無(wú)窮 級(jí)數(shù)
鏈接地址:http://ioszen.com/p-1565975.html