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等比數(shù)列
一．知識(shí)點(diǎn)梳理：
1、等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì):
（1）定義：
(2)通項(xiàng)公式:
(3)求和公式:
(4)中項(xiàng)公式: 推廣：
(5)性 質(zhì)： a、若m+n=p+q則 ;
b、若成等差數(shù)列 （其中），則成等比數(shù)列。
c、成等比數(shù)列。
d、 ，
2. 判斷和證明數(shù)列是等比數(shù)列常有三種方法：
(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)；
(2)通項(xiàng)公式法；
(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立；
(4) 若{an}為等差數(shù)列，則{}為等比數(shù)列（a>0且a≠1）；
若{an}為正數(shù)等比數(shù)列，則{logaan}為等差數(shù)列（a>0且a≠1）。
二. 典型例題：
【例1】若數(shù)列中，（n是正整數(shù)），則數(shù)列的通項(xiàng)
練習(xí):1.若干個(gè)能唯一確定一個(gè)數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)是公比為q的無窮等比數(shù)列,
下列的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組.(寫出所有符合要求的組號(hào))
①S1與S2; ②a2與S3; ③a1與an; ④q與an.
其中n為大于1的整數(shù), Sn為的前n項(xiàng)和.
2．若等比數(shù)列的首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7＝( )
A．64 B．81
C．128 D．243
4．等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a4＝8，則a5＝( )
A．16 B．16或－16
C．32 D．32或－32
5．已知{an}是公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，an>0，m＝a5＋a6，k＝a4＋a7，則m與k的大小關(guān)系是( )
A．m>k B．m＝k
C．m
0，q≠1)．
6、B [解析] 設(shè)公比為q，由已知得a1q2·a1q8＝2(a1q4)2，即q2＝2，
因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為正數(shù)，所以q＝，故a1＝＝＝，故選B.
7、 B [解析] 由條件知，∵∴a2>0，∴b<0，∴b＝－3
8、 an=Sn-Sn-1=2n -1-[2n-1 -1]=2n-2n-1=2n-1，an2是以a12=1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列；S=4n-1/3
9、（1）a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c組成公比為q的等比數(shù)列，所以q3=(a+b-c)/(a+b+c) ，q2=(c+a-b)/(a+b+c)
q=(b+c-a)/(a+b+c)，q3+q2+q=(a+b-c)/(a+b+c)+(c+a-b)/(a+b+c)+(b+c-a)/(a+b+c)=(a+b+c)/(a+b+c)=1
（2）因?yàn)閍+b+c，b+c-a，c+a-b，a+b-c成等比數(shù)列，公比為q所以(c+a-b)/(b+c-a)=q, (a+b-c)/(c+a-b)=q
∴q=[(c+a-b)+ (a+b-c)]/[(b+c-a) +(c+a-b)]=2a/(2c)=a/c.
例題2、 解an-an-1=3n-1 將n=2,3,4,5代入得：a?-a?=31
a?-a?=32
a?-a?=33
...............
an-an-1=3n-1
將上面的式子相加得：an-a1 = 31+32+33+.......+3n-1
an = 1+31+32+33+.......+3n-1=(1/2)(3?-1)
練習(xí)1、C [解析] ∵a2，a3，a1成等差數(shù)列，∴a3＝a2＋a1，
∵{an}是公比為q的等比數(shù)列，∴a1q2＝a1q＋a1，
∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝. ∴＝＝＝.
2、C [解析] ∵a，b，c成等比數(shù)列， ∴b2＝ac>0.
又∵Δ＝b2－4ac＝－3ac<0，∴方程無實(shí)數(shù)根．
3、（an+2）/2=√(2Sn) Sn=（an+2）2/8 Sn+1=（an+1+2）2/8 an+1=Sn+1-Sn=an+12/8+a(n+1)/2-an2/8-an/2
an+12/8-a(n+1)/2-an2/8-an/2=0 an+12-4an+1-an2-4an=0 a(n+1)=an+4 an=-2+4n
例題3、 xSn=x+3x2+5x3+7x4+...+(2n-3)x(n-1)+(2n-1)xn ①
因?yàn)?Sn=1+3x+5x2+7x3+9x4+...+(2n-1)x(n-1) ②
②-①得,(1-x)Sn=1+2[x+x2+x3+x4+.....+xn-1]-(2n-1)xn
(1-x)Sn=1+2[(x-xn)/(1-x)]-(2n-1)xn
(1-x)Sn=1+(2x-2xn)/(1-x)-2nxn+xn
(1-x)Sn=1+2x/(1-x)-2xn/(1-x)-2nxn+xn
(1-x)Sn=1+2x/(1-x)+{1-2n-2/(1-x)}xn
Sn={1+(2x)/(1-x)+[1-2n-2/(1-x)]xn}/(1-x)
練習(xí)1、在等比數(shù)列中，依次每k項(xiàng)之和仍成等比數(shù)列。(S12-S8)/(S8-S4)=(S8-S4)/S4
S12-S8=(S8-S4)2/S4=(20-4)2/4=64 ∴S12=64+20=84
2、B [解析] ∵q2＝＝9，∴q＝±3，因此a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27或－27
3、B [解析] 設(shè)A＝a1a4a7…a28，B＝a2a5a8…a29，C＝a3a6a9…a30，則A、B、C成等比數(shù)列，公比為q10＝210，由條件得A·B·C＝230，∴B＝210，∴C＝B·210＝220.
4、A [解析] 設(shè)bn＝a，則＝＝()2＝q2，∴{bn}成等比數(shù)列；
＝2an＋1－an≠常數(shù)；當(dāng)an<0時(shí)lgan無意義；設(shè)cn＝nan，則＝＝≠常數(shù)．
5、D [解析] a2a10＝a5a7＝6. 由，得或.
∴＝＝或.故選D.
6、D [解析] 消去a得：4b2－5bc＋c2＝0，
∵b≠c，∴c＝4b，∴a＝－2b，代入a＋3b＋c＝10中得b＝2，∴a＝－4.
7、 B[解析] 設(shè)前三項(xiàng)分別為a1，a1q，a1q2，后三項(xiàng)分別為a1qn－3，a1qn－2，a1qn－1.
所以前三項(xiàng)之積aq3＝2，后三項(xiàng)之積aq3n－6＝4.兩式相乘得，aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2.
又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝aq＝64，即(aqn－1)n＝642，即2n＝642.所以n＝12.
8、 00，由三年總產(chǎn)值為300萬元，得a＝100萬元，又a＋10－d，a＋10，a＋11＋d成等比數(shù)列，得(a＋10)2＝(a＋10－d)(a＋11＋d)，∴(110－d)(111＋d)＝1102?d2＋d－110＝0?d＝10，或d＝－11(舍)．∴原計(jì)劃三年的產(chǎn)值依次為90萬元，100萬元，110萬元．
19、(1)依題意：Sn＝2n－1(n∈N*)，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
當(dāng)n＝1，S1＝a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)因?yàn)閎n＝log2an－12＝n－13，所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．∴Tn＝＝(n－)2－.
故當(dāng)n＝12或13時(shí)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和最?。?
(3)∵Tn－bn＝－(n－13)＝＝<0，
∴1
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