高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式高效整合課件 新人教A版選修4-5

,知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建,考綱考情點(diǎn)擊,課標(biāo)導(dǎo)航,1本講的內(nèi)容一是數(shù)學(xué)歸納法，二是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式主要題型是用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式，不等式，整除問題，幾何命題，數(shù)列中的歸納猜想并證明，以及用貝努利不等式證明一些簡(jiǎn)單問題 2本講的重點(diǎn)是數(shù)學(xué)歸納法的概念和證明等式和不等式問題，難點(diǎn)是與數(shù)列結(jié)合的證明題，題型屬于中檔題，與數(shù)列有關(guān)的證明屬于難度題,命題探究,熱點(diǎn)考點(diǎn)例析,開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，常常會(huì)遇到兩個(gè)困難，一是數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)不容易理解，二是歸納步驟的證明有時(shí)感到難以入手本部分將對(duì)幾種常見的錯(cuò)誤及歸納步驟證明的基本方法進(jìn)行討論，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，弄清它的實(shí)質(zhì)，明確如何正確使用數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)學(xué)歸納法的使用,兩步缺一不可 (1)缺第二步不可 如果一個(gè)命題對(duì)于開始的一些正整數(shù)都成立，那么由P(k)成立導(dǎo)出P(k1)成立是必然的因此第二步歸納步驟是流于形式，證與不證似乎一樣顯然這是不正確的，產(chǎn)生這種錯(cuò)誤想法的原因在于沒有認(rèn)識(shí)到歸納步驟所起的遞推作用，如果沒有遞推性，那么一個(gè)命題可能對(duì)于開始的許多正整數(shù)都成立，但是一般的并不成立。,(2)缺第一步也不可 數(shù)學(xué)歸納法的第二步歸納步驟中有遞推作用，而且k又可以任意取值，這樣就夠了，有沒有第一步無關(guān)緊要這種認(rèn)識(shí)也是錯(cuò)誤的，它忽視了第一步的奠基作用，因此如果沒有P(1)成立，歸納假設(shè)P(k)成立就沒有了依據(jù)，因此遞推性也就成了無源之水,不要奠基步驟，我們來證明(n1)2(n2)2一定是偶數(shù)(nN) 解析：假設(shè)nk時(shí)命題成立， 即(k1)2(k2)2是偶數(shù) 當(dāng)nk1時(shí)， (k1)12(k1)22 (k2)2(k1)24(k1)4 (k1)2(k2)24(k2),由假設(shè)(k1)2(k2)2是偶數(shù)， 又4(k2)也是偶數(shù)， 所以上式是偶數(shù)，這就是說nk1時(shí)命題也成立 由此，對(duì)于任意的正整數(shù)n，(n1)2(n2)2一定是偶數(shù) 技巧歸納這個(gè)結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，原因就在于證明中缺少第一步奠基步驟，實(shí)際上，n1時(shí)，(11)2(12)24913不是偶數(shù)，這說明使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)缺第一步不可,在使用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，一般說來，第一步驗(yàn)證比較簡(jiǎn)明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實(shí)歸納步驟可以看作是一個(gè)獨(dú)立的證明問題，歸納假設(shè)“P(k)”是問題的條件，而命題P(k1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運(yùn)用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵，下面簡(jiǎn)要分析一些常用技巧 1分析綜合法 用數(shù)學(xué)歸納假設(shè)證明關(guān)于自然數(shù)n的不等式，從“P(k)”到“P(k1)”，常?？捎梅治鼍C合法,數(shù)學(xué)歸納法證題的常用技巧,方法技巧在第二步的證明中，利用了分析法,思維導(dǎo)引利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是利用放縮、湊假設(shè)、湊結(jié)論但要注意從nk變化到nk1時(shí)增了多少項(xiàng)，少了多少項(xiàng)，一般用f(k1)f(k)來研究增加或減少的項(xiàng)的多少,3遞推法 用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的問題時(shí)，有時(shí)要利用an與an1的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)從“nk”到“nk1”的過渡,方法技巧利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵是找出由nk到nk1時(shí)的增量,5湊成法 用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于正整數(shù)的命題(尤其是整除)時(shí)，從“k”過渡到“k1”常常用湊成法,由假設(shè)可知3(62k3k23k)是11的倍數(shù)， 而3362k也是11的倍數(shù)， 即nk1時(shí)，原命題成立 由(1)(2)可知，對(duì)任意nN原命題成立 方法技巧利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式或整除問題，關(guān)鍵是利用“加”、“減”項(xiàng)，“拆”、“并”項(xiàng)等恒等變形的方法，去“湊”假設(shè)、“湊”結(jié)論,1特殊與一般思想 人們對(duì)一類新事物的認(rèn)識(shí)往往是從這類事物中的個(gè)體開始的通過對(duì)某些個(gè)體的認(rèn)識(shí)與研究，逐漸積累對(duì)這類事物的了解，逐漸形成對(duì)這類事物總體的認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，掌握規(guī)律，形成共識(shí)，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，這種認(rèn)識(shí)事物的過程是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程這種由特殊到一般，由一般到特殊的研究數(shù)學(xué)問題的思想，就是數(shù)學(xué)研究中的特殊與一般思想本章的許多問題都是從特殊開始，通過歸納總結(jié)得出結(jié)論，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明,數(shù)學(xué)歸納法中的數(shù)學(xué)思想,將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，如右圖所示按照以上排列的規(guī)律，第n行(n3)從左向右的第3個(gè)數(shù)為_ 思維導(dǎo)引觀察數(shù)陣知，從上到下是自然數(shù)列1,2,3，n，第n行的第一個(gè)數(shù)是前n1行正整數(shù)的個(gè)數(shù)加1.,方法技巧此類問題解決的方法是通過觀察、比較、分析、總結(jié)，運(yùn)用歸納、類比推理獲得結(jié)論，最后證明結(jié)論正確，簡(jiǎn)言之“歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法”,2分類討論的思想方法 所謂分類討論，就是當(dāng)問題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí)，就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類，然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論，最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問題的解答實(shí)質(zhì)上，分類討論是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)策略本章中利用數(shù)學(xué)歸納法證明某些條件不等式問題時(shí)，常進(jìn)行分類討論,因?yàn)閍11，a21所以(a11)(a21)0，即a1a2a1a21成立 由得. 所以當(dāng)nk1時(shí)，命題成立 由(1)(2)可知，對(duì)一切正整數(shù)n，如果n(n為正整數(shù))個(gè)正數(shù)a1，a2，an的乘積a1a2an1，那么它們的和a1a2ann. 方法技巧為了能夠利用歸納假設(shè)，把乘積看作一個(gè)數(shù)處理，這就是數(shù)學(xué)中的整體思想，希望大家重視,