優(yōu)秀課件：等差數(shù)列的前n項和

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2.3 等差數(shù)列的 前n項和,衡陽市鐵一中學 劉小軍,衡陽市高中數(shù)學優(yōu)秀課授課比賽,高斯（Gauss,1777—1855），德國著名數(shù)學家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學的各個領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學家之一，被譽為“數(shù)學王子”.,有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā) 現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架， V形架的最下面一層放 一支鉛筆，往上每一層 都比它下面一層多放一 支，最上面一層放100支. 老師問：高斯，你知道這 個V形架上共放著多少支鉛筆嗎？,創(chuàng)設(shè)情景,問題就是：,計算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100,高斯的算法,計算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100,高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組： 第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組； 第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組； 第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，…… 每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果.,,,,,首尾配對相加法,中間的一組數(shù)是什么呢？,若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層 多放一支，最上面 一層有很多支鉛筆， 老師說有n支。問： 這個V形架上共放 著多少支鉛筆？,創(chuàng)設(shè)情景,問題就是：,1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n,若用首尾配對相加法，需要分類討論.,三角形,,,,,,,,平行四邊形,n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1,倒序相加法,那么，對一般的等差數(shù)列，如何求它的 前n項和呢？,前n項和,,,,,,分析：這其實是求一個具體的等差數(shù)列前n項和.,①,②,,,,,問題分析,已知等差數(shù)列｛ an ｝的首項為a1，項數(shù)是n，第n項為an，求前n項和Sn .,如何才能將等式的右邊化簡？,①,②,已知等差數(shù)列｛ an ｝的首項為a1，項數(shù)是n，第n項為an，求前n項和Sn .,,,,,,,＋,,,＋,＋… ＋,,,,各項組成新的等差數(shù)列,①,②,倒序相加法,求和公式,等差數(shù)列的前n項和的公式：,,,,,思考：（1）公式的文字語言；,,,,,（2）公式的特點；,不含d,可知三求一,公式的記憶,我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前 n 項和公式.,,,,,a1,an,公式的記憶,我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前 n 項和公式.,a1,(n-1)d,,,,,a1,an,,將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.,公式應用,根據(jù)下列各題中的條件，求相應的等差數(shù)列｛an｝的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=50,練一練,500,2550,例1、計算 （1） 5+6+7+…+79+80 （2） 1+3+5+…+（2n-1） （3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n,-n,例題講解,n2,3230,提示：n=76,,,,,法二：,例題講解,例2、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學實施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？,分析：①找關(guān)鍵句；,,,②求什么，如何求；,解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=500,d=50,n=10.,故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為：,答,變式練習,一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？,解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=21，d=1，n=19.,于是，屋頂斜面共鋪瓦片：,答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.,例題講解,例3、已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？,解：由于S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式,可得,所以,例題講解,例3、已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？,另解：,,兩式相減得,,,課堂練習,答案: 27,練習1、,練習2、等差數(shù)列－10，－6，－2，2， …的前______項的和為54？,答案: n=9，或n=-3（舍去）,,課堂小結(jié),1．等差數(shù)列前n項和的公式； 2．等差數(shù)列前n項和公式的推導方法——倒序相加法； 3.公式的應用(知三求一)；,上頁,下頁,（兩個）,上頁,下頁,教材P46 A組2、5 到網(wǎng)上查找有關(guān)數(shù)學家高斯的故事，你能從這些故事中得到什么啟示呢？ 到網(wǎng)上查找等差數(shù)列前n項和公式的應用，“發(fā)現(xiàn)”生活中的數(shù)學。 推薦網(wǎng)址： ,課后作業(yè),趣味數(shù)學,在右圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2，邊長是1根火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米？（2）整個圖形由多少根火柴棍擺成？,,請多指教！,E-mail: xiaojun2008@,真誠地感謝各位老師、各位評委的到來！,