《導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》PPT課件.ppt

第三節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（ 2） 基礎(chǔ)梳理 1. 函數(shù)的最大值與最小值 (1)概念：如果在函數(shù)定義域 I內(nèi)存在 x0，使得對任意的 x I，總 有 f(x) f(x0)或 f(x) f(x0)，則稱 f(x0)為函數(shù)在定義域上的最 大值 (或最小值 ) (2)求 f(x)在區(qū)間 a， b上的最大值與最小值可以分為兩步： 第一步，求 f(x)在區(qū)間 (a， b)上的極值； 第二步，將第一步中求得的極值與 f(a)， f(b)比較，得 f(x)在區(qū) 間 a， b上的最大值與最小值 2. 生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這 些問題通常稱為優(yōu)化問題導(dǎo)數(shù)在這一類問題中有著重要的應(yīng)用， 它是求函數(shù)最大 (小 )值的強(qiáng)有力的工具 3. 導(dǎo)數(shù)常常和解含參數(shù)的不等式、不等式的證明結(jié)合起來，應(yīng)注 意導(dǎo)數(shù)在這兩方面的應(yīng)用 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1. 已知 f(x)=x2f(2) -3x，則 f(3)=_. 2. 若函數(shù) f(x)=x3-3x+a有 3個不同的零點(diǎn)，則實數(shù) a的取值范圍 是 _ 3. (選修 2-2P32第 3(1)題改編 )函數(shù) f(x)=2x2-x4(x -2,2)的 值域為 _ 4. 設(shè)函數(shù) f(x)=x3- -2x+5，若對任意 x -1,2，都有 f(x) m，則實數(shù) m的取值范圍是 _ 5. 有一邊長分別為 8與 5的長方形，在各角剪去相同的小正方 形，把四邊折起做成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪 去的小正方形的邊長應(yīng)為 _ 2 2x 答案： 1. 3 解析： f( x)=2f(2) x-3，將 x=2代入得 f(2)=4 f(2) -3，解得 f(2)=1 ，故 f( x)=2x-3，將 x=3代入 得 f(3)=2 3-3=3. 2. (-2,2) 解析： f( x)=3x2-3，令 f( x)=0解得 x=1或 x=-1. 結(jié)合圖象分析可 解得 -2 a 2. 3. -8,1 解析： f( x)=4x-4x3=4x(1+x)(1-x) 0，解得 x -1或 0 x 1， 即 -2， -1)、 (0,1)為函數(shù)的增區(qū)間， (-1,0)、 (1,2為函數(shù)的 減區(qū)間， 而 f(-2)=f(2)=-8， f(0)=0， f(-1)=f(1)=1，所以函數(shù)的最小值 為 -8，函數(shù)的最大值為 1. 10 10 f f 4. 解析：由 f( x)=3x2-x-2=0，得 x1=1， x2=- . 易知當(dāng) x 和 x 1,2時， f( x)0 ， 當(dāng) x 時， f( x) 0， x=1是極小值點(diǎn)， x=- 是極大值點(diǎn)， f(1)= ，又 f(-1)= ， f(2)=7， f(x)min=f(1)= ， m . 5. 18 解析：設(shè)正方形邊長為 x，則 V=(8-2x) (5-2x)x=2(2x3- 13x2+20 x) ， V=4(3 x2-13x+10) ， 由 V=0 得 x=1，或 x= (舍去 ) 當(dāng) 0 x 1時， V 0，當(dāng) 1 x 時， V 0， 所以當(dāng) x=1時， V有最大值， 即當(dāng) x=1時，容積 V取最大值為 18. 7,2 23 21, 3 2,1 3 2 3 7272 72 11 2 50 2x 50 2x 10 3 52 經(jīng)典例題 題型一 函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù) 【 例 1】 (2010陜西改編 )已知函數(shù) f(x)= ， g(x)=aln x， a R.設(shè)函數(shù) h(x)=f(x)-g(x)，當(dāng) h(x)存在最小值時，求其最小值 F(a)的解析式 x 解： 由條件知 h(x)= -aln x(x 0)， 所以 h( x)= - = . 當(dāng) a 0時，令 h( x)=0，解得 x=4a2， 所以當(dāng) 0 x 4a2時， h( x) 0， h(x)在 (0,4a2)上遞減，當(dāng) x 4a2時， h( x) 0， 所以 x=4a2是 h(x)在 (0， +) 上的唯一極值點(diǎn)，且是極小值點(diǎn) ，從而也是 h(x)的最小值點(diǎn) 所以 F(a)=h(4a2)=2a(1-ln 2a) 當(dāng) a0 時， h( x)= 0， h(x)在 (0， +) 遞增，無最 小值 故 h(x)的最小值 F(a)=2a(1-ln 2a)(a 0) x 12x a x 22xax 22xax 變式 1-1 已知 a為實數(shù)，函數(shù) f(x)=(x2+1)(x+a)若 f( -1)=0，求函 數(shù) y=f(x)在 上的最大值和最小值 . 3,1 2 解： f( x)=3x2+2ax+1. f( -1)=0， 3-2a+1=0，即 a=2， f( x)=3x2+4x+1=3 (x+1) 由 f( x) 0，得 x -1或 x - ； 由 f( x) 0，得 -1 x - . 因此，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 和 ，單調(diào)遞減 區(qū)間為 ， f(x)在 x=-1處取得極大值 f(-1)=2，在 x=- 處取得極小值 f = .又 f = ， f(1)=6，且 f(x)在 上的最大值為 f(1)=6，最小值為 f = . 13x 13 13 3,1 2 1,13 11, 3 13 13 50 27 32 13 8 50 13,27 8 3,1 2 32 13 8 題型二 導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用 【 例 2】 一種變壓器的鐵芯的截面為正十字形，如圖，為保證 所需的磁通量，要求十字型具有 4 cm2的面積，問應(yīng)如何設(shè)計正 十字形的寬 x cm及長 y cm，才能使其外接圓的周長最短，這樣使 繞在鐵芯上的漆包線最??？ 5 解： 設(shè)外接圓的半徑為 R cm，則 . 由 x2+4* x=4 ，得 y= . 要使外接圓的周長最小，需要 R取最小值，也即 R2取最小值 設(shè) f(x)=R2= = x2+ + (0 x 2R)， 則 f( x)= x- . 令 f( x)= x- =0， 解得 x=2或 x=-2(舍去 ) 當(dāng) 0 x 2時， f( x) 0； 當(dāng) x 2時， f( x) 0. 因此當(dāng) x=2時， y=1+ ，此時 R2最小，即 R最小，則周長最小為 2 R= (cm) 2212R x y 2yx 5 245 2 xx 22 21 4 5 42 xx x 516 52 25x 58 58 310 x 3 10 x 5 10 2 5 變式 2-1 統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時耗油量 y(升 )關(guān) 于行駛速度 x(千米 /時 )的函數(shù)解析式可以表示為 y= x3- x+8(0 x120) 已知甲、乙兩地相距 100千米 (1)當(dāng)汽車以 40千米 /時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油 多少升？ (2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最 少為多少升？ 1128000 3 80 解： (1)當(dāng) x=40時，汽車從甲地到乙地行駛了 =2.5(小時 )， 要耗油 *2.5=17.5(升 ) 答：當(dāng)汽車以 40千米 /時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗 油 17.5升 10040 31340 40 8128 000 80 (2)當(dāng)速度為 x千米 /時時，汽車從甲地到乙地行駛了小時，設(shè) 耗油量為 h(x)升， 依題意得 h(x)= = x2+ - (0 x120) ， h( x)= - = (0 x120) 令 h( x)=0，得 x=80， 當(dāng) x(0,80) 時， h( x) 0， h(x)是減函數(shù)； 當(dāng) x(80,120) 時， h( x) 0， h(x)是增函數(shù) 當(dāng) x=80時， h(x)取到極小值 h(80)=11.25. h(x)在 (0,120上只有一個極值， 它是最小值 答：當(dāng)汽車以 80千米 /時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最 少，最少為 11.25升 100 x 313 8128 000 80 xx100 x 11280 800 x 154 640 x 2800 x 33280640 x x 題型三 導(dǎo)數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用 【 例 3】 已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù) f(x)= x2+2ax， g(x)=3a2ln x+b，其中 a 0.設(shè)兩曲線 y=f(x)， y=g(x)有公共點(diǎn)， 且在該點(diǎn)處的切線相同 (1)用 a表示 b，并求 b的最大值； (2)求證： f(x) g(x)(x 0) 1 2 解： (1)設(shè) y=f(x)與 y=g(x)(x 0)在公共點(diǎn) (x0， y0)處的切線相 同 f( x)=x+2a， g( x)= ， 由題意知 f(x0)=g(x0)， f( x0)=g( x0)，即 由 x0+2a= ，得 x0=a，或 x0=-3a(舍去 )， 即有 b= a2+2a2-3a2ln a= a2-3a2ln a. 令 h(t)= t2-3t2ln t(t 0)，則 h( t)=2t(1-3ln t) 23a x 220 0 0 2 0 0 1 2 3 ln 2 32 x a x a x b axa x 2 0 3ax 12 5 2 52 當(dāng) t(1-3ln t) 0，即 0 t 時， h( t) 0; 當(dāng) t(1-3ln t) 0，即 t 時， h( t)<0. 故 h(t)在 (0， )上為增函數(shù)，在 ( ， +) 上為減函數(shù)，于是 h(t)在 (0， +) 上的最大值為 h( )= ，即 b的最大值為 . (2)證明：設(shè) F(x)=f(x)-g(x)= x2+2ax-3a2ln x-b(x 0)， 則 F( x)=x+2a- = (x 0) 故 F(x)在 (0， a)上為減函數(shù)，在 (a， +) 上為增函數(shù) 于是 F(x)在 (0， +) 上的最小值是 F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0. 故當(dāng) x 0時，有 f(x)-g(x)0 ， 即當(dāng) x 0時， f(x) g(x) 13e13e 13e 13e 13e 233 2e 233 2e 12 23a x 3x a x ax 鏈接高考 1. (2010 山東改編 )已知某生產(chǎn)廠家的年利潤 y(單位：萬元 )與 年產(chǎn)量 x(單位：萬件 )的函數(shù)關(guān)系式為 y=- x3+81x-234，則使該生 產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為 _萬件 知識準(zhǔn)備： 1. 要知道年利潤的最大值就是函數(shù) y的最大值 2. 已知函數(shù)最高次數(shù)為 3次，必須用導(dǎo)數(shù)來求最值 1 3 答案： 9 解析：令導(dǎo)數(shù) y= -x2+81 0，解得 0 x 9；令導(dǎo)數(shù) y= -x2+81 0，解得 x 9，所以函數(shù) y=- x3+81x-234在區(qū)間 (0,9)上是增函數(shù)，在區(qū)間 (9， +) 上是減函數(shù)，所以在 x=9處 取極大值，也是最大值 1 3 2. (2010 湖北 )為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗， 房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6萬元該建筑物每年 的能源消耗費(fèi)用 C(單位：萬元 )與隔熱層厚度 x(單位： cm)滿足關(guān) 系： C(x)= (0 x10) ，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用 為 8萬元設(shè) f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與 20年的能源消耗費(fèi)用之和 (1)求 k的值及 f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用 f(x)達(dá)到最小，并求最小值 知識準(zhǔn)備： 1. 根據(jù)題意，要知道不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi) 用為 8萬元，即當(dāng) x=0時， C=8. 2. 總費(fèi)用的最小值可通過建立 f(x)與 x的關(guān)系式來求 35 k x 解： (1)設(shè)隔熱層厚度為 x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用 為 C(x)= ，再由 C(0)=8，解得 k=40，故 C(x)= ， 而建造費(fèi)用為 C1(x)=6x， 隔熱層建造費(fèi)用與 20年的能源消耗費(fèi)用之和為 f(x)=20C(x)+C1(x)=20* +6x= +6x(0 x10) (2)f( x)=6- ，令 f( x)=0， 解得 x=5或 x=- (舍去 ) 當(dāng) 0 x 5時， f( x) 0，當(dāng) 5 x 10時， f( x) 0，故 x=5是 f(x)的最小值點(diǎn)，對應(yīng)的最小值為 f(5)=30+ =70. 當(dāng)隔熱層修建 5 cm厚時，總費(fèi)用達(dá)到最小值 70萬元 35kx 4035x 40 35x 800 35x 2 240035x 253 80015 5