高中數(shù)學(xué)《1.1.2四種命題間的相互關(guān)系》課件 新人教A版選修2-1.ppt
3、把下列命題改寫成“若p,則q”的形式,并判斷它們的真假.,(1)等腰三角形兩腰的中線相等; (2)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱; (3)垂直于同一個平面的兩個平面平行。,(1)若三角形是等腰三角形,則三角形兩邊上的中線相等。這是真命題。,(2)若函數(shù)是偶函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,這是真命題。,(3)若兩個平面垂直于同一平面,則這兩個平面互相平行。這是假命題。,命題及其關(guān)系,1.1.2 四種命題,下列四個命題中,命題(1)與命題(2)(3)(4)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系?,若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù); 若f(x)是周期函數(shù),則f(x)是正弦函數(shù); 若f(x)不是正弦函數(shù),則f(x)不是周期函數(shù); 若f(x)不是周期函數(shù),則f(x)不是正弦函數(shù)。,觀察命題(1)與命題(2)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系?,若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù); 若f(x)是周期函數(shù),則f(x)是正弦函數(shù);,互逆命題:一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件,這兩個命題叫做互逆命題。 原 命 題:其中一個命題叫做原命題。 逆 命 題:另一個命題叫做原命題的逆命題。,即 原命題:若p,則q,逆命題:若q,則p,例如,命題“同位角相等,兩直線平行”的逆命題是“兩直線平行,同位角相等”。,觀察命題(1)與命題(3)的條件和結(jié)論之間分別有什么關(guān)系?,若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù); 3. 若f(x)不是正弦函數(shù),則f(x)不是周期函數(shù).,原命題:若p,則q,為書寫簡便,常把條件p的否定和結(jié)論q的否定分別記作 “p” “q”,否命題:若p,則q,互否命題 原命題 (原命題的)否命題,例如,命題“同位角相等,兩直線平行”的否命題是“同位角不相等,兩直線不平行”。,觀察命題(1)與命題(4)的條件和結(jié)論 之間分別有什么關(guān)系?,若f(x)是正弦函數(shù),則f(x)是周期函數(shù); 4. 若f(x)不是周期函數(shù),則f(x)不是正弦函數(shù).,原命題: 若p, 則q,逆否命題: 若q, 則p,互為逆否命題 原命題 (原命題的)逆否命題,例如,命題“同位角相等,兩直線平行”的逆否命題是“兩直線不平行,同位角不相等”。,、互否命題:如果第一個命題的條件和結(jié)論是第二個命題的條件和結(jié)論的否定,那么這兩個命題叫做互否命題。如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的否命題。,、互為逆否命題:如果第一個命題的條件和結(jié)論分別是第二個命題的結(jié)論的否定和條件的否定,那么這兩個命題叫做互為逆否命題。,、互逆命題:如果第一個命題的條件(或題設(shè))是第二個命題的結(jié)論,且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫互逆命題。如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個叫做原命題的逆命題。,三個概念,原命題,逆命題,否命題,逆否命題,四種命題形式: 原命題: 逆命題: 否命題: 逆否命題:,若 p, 則 q 若 q, 則 p 若p, 則q 若q, 則p,例 設(shè)原命題是“當(dāng)c 0 時,若a b ,則ac bc ”,寫出它的逆命題、否命題、逆否命題,并分別判斷它們的真假:,解: 逆命題:當(dāng)c 0 時,若ac bc ,則a b 逆命題為真,否命題:當(dāng)c 0 時,若a b ,則ac bc 否命題為真,逆否命題:當(dāng)c 0 時,若ac bc ,則a b 逆否命題為真,準(zhǔn)確地作出反設(shè)(即否定結(jié)論)是非常重要的,下面是一些常見的結(jié)論的否定形式.,不是,不都是,小于或等于,大于或等于,一個也沒有,至少有兩個,至多有(n-1)個,至少有(n+1)個,存在某x, 不成立,存在某x, 成立,練習(xí):分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假。,(1)若q1,則方程 有實根。 (2)若ab=0,則a=0或b=0.,判斷正誤,并說明理由:,(1)若原命題是“對頂角相等”, 它的否命題是“對頂角不相等”。 (2)若原命題是“對頂角相等”, 它的否命題是“不成對頂關(guān)系的 兩個角不相等”。,否命題與命題的否定的區(qū)別,否命題是用否定條件也否定結(jié)論的方式構(gòu)成新命題。 命題的否定是邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”作用于判斷,只否定結(jié)論不否定條件。 對于原命題: 若 p , 則 q 有 否命題: 若p , 則q 。 命題的否定: 若 p ,則q 。,1.1. 四種命題間的相互關(guān)系,互 逆,互 逆,互 否,互 否,互為 逆否,互為 逆否,四種命題之間的相互關(guān)系,四種命題間的相互關(guān)系,例1 “若x2+y20,則x,y至少有一個不為0”是命題A的否命題,寫出命題A及其逆命題、逆否命題并判斷它們的真假。,解: 命題A:若x2+y2=0,則x,y全都為0; 逆命題:若x,y全都為0,則x2+y2=0; 逆否命題:若x,y至少有一個不為0,則x2+y20。,思考:,四種命題的真假性是否也有一定的相互關(guān)系呢?,真,真,真,探究一,原命題:到一個角的兩邊距離相等的點,都在這個角的平分線上.,逆命題:角的平分線上的點,到這個角的兩邊距離相等.,否命題:到一個角的兩邊距離不相等的點,都不在這個角的平分線上.,逆否命題:不在這個角的平分線上的點,到這個角的兩邊距離不相等.,原命題 (真) 逆命題 (真) 否命題 (真) 逆否命題 (真),真,真,真,真,探究二,原命題:若兩個三角形全等,則它們的面積相等.,逆命題:若兩個三角形的面積相等,則它們?nèi)?,否命題:若兩個三角形不全等,則它們的面積不相等.,逆否命題:若兩個三角形的面積不相等,則它們不全等.,原命題 (真) 逆命題 (假) 否命題 (假) 逆否命題 (真),真,真,假,假,探究三,原命題:若兩個角相等,則這兩個角是對頂角,逆命題: 若兩個角是對頂角,則這兩個角相等.,否命題: 若兩個角不相等,則這兩個角不是對頂角.,逆否命題: 若兩個角不是對頂角,則兩個角不相等.,原命題 (假) 逆命題 (真) 否命題 (真) 逆否命題 (假),假,假,真,真,探究四,原命題:凡是素數(shù),都是奇數(shù).,逆命題: 凡是奇數(shù),都是素數(shù).,否命題: 不是素數(shù),就不是奇數(shù).,逆否命題: 不是奇數(shù),就不是素數(shù).,原命題 (假) 逆命題 (假) 否命題 (假) 逆否命題 (假),假,假,假,假,一般的,四種命題的真假性,有且僅有以下四種情況:,四種命題的真假性之間的關(guān)系:,兩個命題互為逆否命題,它們有相同的真假性; 兩個命題為互逆或互否命題,它們的真假性沒有關(guān)系.,例2 證明:若x2+y2=0,則x=y=0.,證明:若x,y中至少有一個不為0,不妨設(shè)x0,則x20,所以 x2+y2 0, 也就是說x2+y2 0. 因此,原命題的逆否命題為真命題,從而原命題為 真命題,因為原命題和它的逆否命題有相同的真假性,所以當(dāng)直接證明某一命題為真命題有困難的時,可以通過證明它的逆否命題為真命題,來間接證明原命題為真命題。,P8 習(xí)題1.1 B組 求證:圓的兩條不是直徑的相交弦不能平分。,已知:如圖,在O中,弦AB、CD交于P,且AB、CD不是直徑. 求證:弦AB、CD不被P平分. 證明:假設(shè)AB、CD被P平分, 則OP是等腰AOB, COD的底邊上的中線, 所以,OPAB, OPCD 但AB和CD都經(jīng)過點P,且與OP 垂直,這是不可能的, 所以假設(shè)不成立, 故弦AB、CD不被P平分, 命題得證。,連結(jié)OA,OB,OC,OD及OP,-,反證法,欲證“若p則q”為真命題,從否定其結(jié)論即“非q”出發(fā),經(jīng)過正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾,從而“非q”為假,即原命題為真,這樣的證明方法稱為反證法。,反證法的步驟: (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立; (2)從這個假設(shè)出發(fā),通過推理論證,得出矛盾; (3)由矛盾判定假設(shè)不正確,從而肯定命題的結(jié)論正確,證明命題的方法,方法一:直接法,從命題的條件p出發(fā),經(jīng)推理直接得出結(jié)論p,證明其為真命題;,方法二:等價法,證明命題(若p,則q)的等價命題逆否命題(若q,則q)為真,則原命題也為真;,方法三:反證法,證明命題的否定(若p,則q)為假命題,從而間接地證明了命題(若p,則q)為真命題。,鞏固練習(xí) 證明:若pq2,則p2q22.,證明一:要證“若pq2,則p2q22” 只需證它的逆否命題“若p2q22,則pq2”成立。 p2q2=2,則2=p2q22pq pq1 (p+q)2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2 逆否命題為真命題, 故原命題也為真命題。 證明二:假設(shè)p2q2=2,則2=p2q22pq pq1 (p+q)2 =p2q2+2pq=2+2pq 4 p+q 2,這與命題的條件pq2相矛盾, 假設(shè)不成立,即p2q22, 故原命題為真命題。,(同題多解,學(xué)會等價法與反證法地靈活應(yīng)用),一些常見的結(jié)論的否定形式,不是,不都是,小于或等于,大于或等于,一個也沒有,至少有兩個,至多有(n-1)個,至少有(n+1)個,不等于,某個,小結(jié),1.四種命題間的相互關(guān)系; 2.四種命題的真假性之間的關(guān)系; 3.命題的證明方法。,