2019年高考數(shù)學二輪復習 專題4 第1講 空間幾何體素能訓練（文、理）.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 專題4 第1講 空間幾何體素能訓練（文、理）一、選擇題1(文)(xx·山東文，4)一個四棱錐的側棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖所示，則該四棱錐側面積和體積分別是()A4，8B4，C4(1)，D8,8答案B解析由正視圖知四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，又因為側棱長相等，所以棱錐是正四棱錐，斜高h，側面積S4××2×4，體積V×2×2×2.(理)(xx·紹興市模擬)某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于()A1B2C3D4答案B解析由三視圖知，該幾何體底面是正方形，對角線長為2，故邊長為，幾何體是四棱錐，有一條側棱與底面垂直，其直觀圖如圖，由條件知PC，AC2，PA3，體積V×()2×32.2(文)(xx·長春市三調)若一個圓柱的正視圖與其側面展開圖相似，則這個圓柱的側面積與全面積之比為()A.B.C.D. 答案B解析設圓柱的底面半徑為r，高為h，則，則h2r，則S側2r·h4r2，S全4r22r2，故圓柱的側面積與全面積之比為，故選B.(理)(xx·吉林市質檢)某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是中心角為60°的扇形， 則該幾何體的側面積為()A12B6C122D64答案C解析由三視圖可知，該幾體何是沿圓柱的底面夾角為60°的兩條半徑與中心軸線相交得到平面為截面截下的圓柱一角，其中兩個側面都是矩形，矩形一邊長為半徑2，一邊長為柱高3，另一側面為圓柱側面的，因此該幾何體的側面積為S2×32×3×(2×2×3)122.3(文)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A12B122C6D4答案A解析由三視圖知，該幾何體是一個組合體，由一個長方體挖去一個圓柱構成，長方體的長、寬高為4,3,1，圓柱底半徑1，高為1，體積V4×3×1×12×112.(理)若某棱錐的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該棱錐的體積等于()A10 cm3B20 cm3C30 cm3D40 cm3答案B解析由三視圖知該幾何體是四棱錐，可視作直三棱柱ABCA1B1C1沿平面AB1C1截去一個三棱錐AA1B1C1余下的部分VABCC1B1VABCA1B1C1VAA1B1C1×4×3×5×(×4×3)×520cm3.4(文)如圖，直三棱柱的正視圖面積為2a2，則側視圖的面積為()A2a2Ba2C.a2D.a2答案C解析由正視圖的面積為2a2，則直三棱柱的側棱長為2a，側視圖為矩形，一邊長為2a，另一邊長為a，所以側視圖的面積為a2.(理)(xx·東城區(qū)模擬)已知一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，那么這個幾何體的側面積是()A(1)cm2B(3)cm2C(4)cm2D(5)cm2答案C解析由三視圖可畫出該幾何體的直觀圖如圖，其側面積為1×12×(12)×11×4cm2.5(文)(xx·常德市模擬)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A62B64C42D44答案D解析其直觀圖如圖，表面積S2×(×2×2)(×2×2)×244.(理)(xx·江西師大附中、鷹潭一中聯(lián)考)已知一個三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側視圖面積為()A.B.C1D.答案B解析由題意知，此三棱錐的底面為有一個角為30°的直角三角形，其斜邊長AC2，一個側面PAC為等腰直角三角形，DE1，BF，其側視圖為直角三角形，其兩直角邊與DE、BF的長度相等，面積S×1×.6(xx·新鄉(xiāng)、許昌、平頂山調研)在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，D為側棱PC上的一點，它的正視圖和側視圖如圖所示，則下列命題正確的是()AAD平面PBC，且三棱錐DABC的體積為BBD平面PAC，且三棱錐DABC的體積為CAD平面PBC，且三棱錐DABC的體積為DAD平面PAC，且三棱錐DABC的體積為答案C解析PA平面ABC，PABC，又ACBC，PAACA，BC平面PAC，又AD平面PAC，BCAD，由正視圖可知，ADPC，又PCBCC，AD平面PBC，且VDABCVPABC××4×(×4×4).二、填空題7(文)(xx·天津文，10)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案解析本題考查三視圖及簡單幾何體的體積計算，考查空間想象能力和簡單的計算能力由三視圖知，該幾何體下面是圓柱、上面是圓錐V×12×4×22×2.(理)(xx·陜西理，12)某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為_答案解析由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1，高為2的半個圓錐V×(×12×2).8(文)(xx·金華一中月考)某幾何體的三視圖(單位：cm)如下圖，則這個幾何體的表面積為_cm2.答案122解析由三視圖知，該幾何體為正三棱柱，底面積S12×(×2×)2，側面積S23×(2×2)12，表面積SS1S2122cm2.(理)(xx·天津十二區(qū)縣聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_答案1083解析由三視圖知，該幾何體由上下兩個全等的正四棱柱及中間的圓柱構成的組合體，體積V2×(6×6×1.5)×12×31083.9(xx·江蘇，8)如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D、E、F分別是AB、AC、AA1的中點，設三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V2_.答案124解析.三、解答題10(文)在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC1，AB4，BC2，CBA30°.(1)求證：ACPB；(2)當PD2時，求此四棱錐的體積解析(1)PC平面ABCD，PCAC，又CBA30°，BC2，AB4，AC2，AC2BC241216AB2，ACB90°，故ACBC.又PC、BC是平面PBC內的兩條相交直線，故AC平面PBC，ACPB.(2)當PD2時，作CEAB交AB于E，在RtCEB中，CECB·sin30°2×，又在RtPCD中，DC1，PC，VPABCD·PC·SABCD××(14)×.(理)(xx·山西太原檢測)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，BF3，G和H分別是CE和CF的中點(1)求證：AC平面BDEF；(2)求證：平面BDGH/平面AEF；(3)求多面體ABCDEF的體積解析(1)證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以ACBD.又因為平面BDEF平面ABCD，平面BDEF平面ABCDBD，且AC平面ABCD，所以AC平面BDEF.(2)證明：在CEF中，因為G、H分別是CE、CF的中點，所以GHEF，又因為GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH平面AEF.設ACBDO，連接OH，在ACF中，因為OAOC，CHHF，所以OHAF，又因為OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH平面AEF.又因為OHGHH，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH平面AEF.(3)解：由(1)，得AC平面BDEF，又因為AO，四邊形BDEF的面積SBDEF3×26，所以四棱錐ABDEF的體積V1×AO×SBDEF4.同理，四棱錐CBDEF的體積V24.所以多面體ABCDEF的體積VV1V28.一、選擇題11(文)(xx·眉山市二診)一個棱錐的三視圖如圖所示，則這個棱錐的體積是()A6B12 C24 D36答案B解析由三視圖知該幾何體為有一條側棱與底面垂直的四棱錐，體積V×(4×3)×312.(理)(xx·榆林市一中模擬)已知某幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的體積為24，則正視圖中a的值為()A8B6C4D2答案B解析由V×(a×3)×424得，a6.12(文)(xx·江西八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則其表面積為()A(9632)m2B(6432)m2C(1141616)m2D(801616)m2答案D解析由三視圖知該幾何體是一個組合體，中間是一個棱長為4的正方體(由正、側視圖中間部分和俯視圖知)，上部是一個有一條側棱與底面垂直的四棱錐，下部是一個正四棱錐，表面積S2(×4×4×4×)4×424×(×4×2)801616(m2)(理)(xx·德陽市二診)已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖，側視圖均是由三角形與半圓構成，俯視圖由圓與內接三角形構成，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)可得此幾何體的體積為()A.B.C.D.答案C解析由三視圖知，該幾何體為組合體，下部為一個半球，半球的直徑為，上部為三棱錐，有一側棱與底面垂直，體積V×(×1×1)×1×()3×.13(文)(xx·遼寧文，10)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，則球O的半徑為()A.B2C.D3答案C解析過C，B分別作AB、AC的平行線交于D，分別過C1、B1作A1B1，A1C1的平行線交于D1，連接DD1，則ABDCA1B1D1C1恰為該球的內接長方體，故該球的半徑r，故選C.(理)一個半徑為1的球體經(jīng)過切割后，剩下部分幾何體的三視圖如圖所示，則剩下部分幾何體的表面積為()A.B. C4D.答案D解析由三視圖知該幾何體是一個球體，保留了下半球，上半球分為四份，去掉了對頂?shù)膬煞?，故表面積為球的表面積，去掉球表面積加上6個的圓面積S4R2(4R2)6×R2R2，又R1，S.二、填空題14(文)(xx·天津市六校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積為_答案48解析由三視圖知，該幾何體是一個組合體，其上部為長方體，下部為橫放的四棱柱，其底面是上底長2，下底長6，高為2的等腰梯形，柱高為4，其體積V2×4×2(26)×2×448.(理)(xx·內江市一模)矩形ABCD中，AB8，BC6，沿BD將矩形ABCD折成一個直二面角ABDC，則四面體ABCD的外接球的表面積是_答案100解析設矩形ABCD對角線BD的中點為O，則OAOBOCOD，折起后空間四邊形ABCD的外接球球心為O，球O的半徑R5，球O的表面積S4R2100.三、解答題15(文)(xx·北京文，17)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD、PC的中點，求證：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.解析(1)因為平面PAD底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA底面ABCD.(2)因為ABCD，CD2AB，E為CD的中點，所以ABDE，且ABDE.所以四邊形ABED為平行四邊形所以BEAD.又因為BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD.(3)因為ABAD，而且ABED為平行四邊形，所以BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD.所以PACD.所以CD平面PAD.所以CDPD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PDEF.所以CDEF，又因為CDBE，BEEFE，所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCD.(理)(xx·浙江理，20)如圖，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2.M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ3QC.(1)證明：PQ平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小為60°，求BDC的大小解析方法1：(1)取BD的中點O，在線段CD上取點F，使得DF3FC，連接OP、OF、FQ.因為AQ3QC，所以QFAD，且QFAD.因為O、P分別為BD、BM的中點，所以OP是BDM的中位線，所以OPDM，且OPDM.又點M為AD的中點，所以OPAD，且OPAD.從而OPFQ，且OPFQ，所以四邊形OPQF為平行四邊形，故PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)作CGBD于點G，作GHBM于點H，連接CH.因為AD平面BCD，CG平面BCD，所以ADCG，又CGBD，ADBDD，故CG平面ABD，又BM平面ABD，所以CGBM.又GHBM，CGGHG，故BM平面CGH，所以GHBM，CHBM.所以CHG為二面角CBMD的平面角，即CHG60°.設BDC.在RtBCD中，CDBDcos2cos，CGCDsin2cossin，BCBDsin2sin，BGBCsin2sin2.在RtBDM中，GHBM，BGHBMD，HG.在RtCHG中，tanCHG.所以tan.從而60°.即BDC60°.方法2：(1)如圖，取BD的中點O，以O為原點，OD、OP所在射線為y、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)設點C的坐標為(x0，y0,0)因為3，所以Q(x0，y0，)因為M為AD的中點，故M(0，1)又P為BM的中點，故P(0,0，)，所以(x0，y0,0)又平面BCD的一個法向量為u(0,0,1)，故·u0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)設m(x，y，z)為平面BMC的一個法向量由(x0，y0,1)，(0,2，1)，知取y1，得m(，1,2)又平面BDM的一個法向量為n(1,0,0)于是|cosm，n|，即()23.又BCCD，所以·0，故(x0，y0,0)·(x0，y0,0)0，即xy2.聯(lián)立，解得(舍去)或所以tanBDC|.又BDC是銳角，所以BDC60°.16(文)(xx·北京西城區(qū)模擬)在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，ABCD，AC，AB2BC2，ACFB.(1)求證：AC平面FBC；(2)求四面體FBCD的體積；(3)線段AC上是否存在點M，使得EA平面FDM？證明你的結論解析(1)證明：在ABC中，AC，AB2，BC1，ACBC.又ACFB，AC平面FBC.(2)解：AC平面FBC，ACFC.CDFC，F(xiàn)C平面ABCD.在等腰梯形ABCD中可得BCD120°，CBDC1，F(xiàn)C1.SBCD，四面體FBCD的體積為：VFBCDSBCD·FC.(3)線段AC上存在點M，且M為AC中點時，有EA平面FDM，證明如下：連接CE，與DF交于點N，連接MN.因為CDEF為正方形，所以N為CE中點所以EAMN.因為MN平面FDM，EA平面FDM，所以EA平面FDM.所以線段AC上存在點M，使得EA平面FDM成立(理)如圖，三棱柱ABCA1B1C1的底面是邊長為2的正三角形且側棱垂直于底面，側棱長是，D是AC的中點(1)求證：B1C平面A1BD；(2)求二面角A1BDA的大小；(3)求直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值解析解法一：(1)設AB1與A1B相交于點P，則P為AB1中點，連接PD，D為AC中點，PDB1C.又PD平面A1BD，B1C平面A1BD.B1C平面A1BD.(2)正三棱柱ABCA1B1C1，AA1底面ABC.又 BDAC，A1DBDA1DA就是二面角A1BDA的平面角AA1，ADAC1，tanA1DA.A1DA，即二面角A1BDA的大小是.(3)由(2)作AMA1D，M為垂足BDAC，平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABCAC，BD平面A1ACC1，AM平面A1ACC1，BDAM，A1DBDD，AM平面A1DB，連接MP，則APM就是直線AB1與平面A1BD所成的角AA1，AD1，在RtAA1D中，A1DA，AM1×sin60°，APAB1.sinAPM.直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.解法二：(1)同解法一(2)如圖建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0，)，B(0，0)，B1(0，)，(1，)，(1,0，)設平面A1BD的法向量為n(x，y，z)則n·xyz0，n·xz0，則有，得n(，0,1)由題意，知(0,0，)是平面ABD的一個法向量設n與所成角為，則cos，.二面角A1BDA的大小是.(3)由已知，得(1，)，n(，0,1)，設直線AB1與平面A1BD所成角為，則sin.直線AB1與平面A1BD所成的角的正弦值為.