中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第六章 圖形的相似與解直角三角形 第22講 圖形的相似與位似復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt

第六章 圖形的相似與解 直角三角形 第 22講 圖形的相似與位似 考點(diǎn)一 成比例線段與比例的性質(zhì) 1 對(duì)于四條線段 a ， b ， c ， d ，如果 a b c d ， 那么 這四條線段叫做成比例線段 ， 簡稱比例線段 2 表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例式 ， 簡稱比例 3 比例的基本性 質(zhì) 如果 a b c d ， 那么 ad bc ， 反之也成立其中 a 與 d 叫做比例外項(xiàng) ， b 與 c 叫做比例內(nèi)項(xiàng)特別地 ， a b b c b 2 ac . 4 比例的合比性質(zhì) 如果 a b c d ， 那么 a b b c d d . 5 比例的等比性質(zhì) 如果 a b c d m n ( b d n 0) ， 那么 a c m b d n a b . 考點(diǎn)二 平行線分線段成比例定理 1 定理 三條平行線截兩條直線 ， 所得的對(duì)應(yīng)線段的比相 等 2 幾何語言敘述 如圖 ， 當(dāng) l 3 l 4 l 5 時(shí) ， 有 AB BC DE EF ， AB AC DE DF ， BC AC EF DF 等 3 平行于三角形一邊截其他兩邊 ( 或兩邊的延長 線 ) 所得的對(duì)應(yīng)線段成比例 考點(diǎn)三 黃金分割 如圖 ， 點(diǎn) C 把線段 AB 分成兩條線段 AC 和 BC ， AC BC ， 如果 AC AB BC AC ， 則稱線段 AB 被點(diǎn) C 黃金分 割 ， 點(diǎn) C 叫做 AB 的黃金分割點(diǎn) ， AC 與 AB 的比叫做 黃金比 ， AC AB 5 1 2 0. 618 . 注意： 一條線段有兩個(gè)黃金分割 點(diǎn) 考點(diǎn)四 相似多邊形的定義及 性質(zhì) 1 定義 各角對(duì)應(yīng) 相等 ， 各邊對(duì)應(yīng) 成比例 的兩個(gè)多邊 形叫做 相似多邊形 相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比稱為 相 似比 2 性質(zhì) ( 1) 相似多邊形對(duì)應(yīng)角 相等 ， 對(duì)應(yīng)邊的比 相等； ( 2) 相似多邊形周長的比等于 相似比 ； ( 3) 相似多邊形面積的比等于 相似比的平方 考點(diǎn)五 位似圖形的定義及性質(zhì) 1 如果兩個(gè)多邊形不僅 相似 ， 而 且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的 連線相交于 一點(diǎn) ， 對(duì)應(yīng)邊互相 平行 ， 像這樣的圖 形叫做位似圖形 ， 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心 2 性質(zhì) ( 1) 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離 之比等于 相似比 ( 2) 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 如果是以原點(diǎn)為位似中 心 ， 相似比為 k ， 那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于 k 或 k 3 利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小 溫馨提示： 兩個(gè)位似圖形的位似中心可能位于圖形的內(nèi)部、 外部、邊上或在頂點(diǎn)上 考點(diǎn)一 成比例線段與比例的基本性質(zhì) 例 1 若 y x 3 4 ， 則 x y x 的值為 ( ) A 1 B 4 7 C 5 4 D 7 4 【點(diǎn)撥】 由 y x 3 4 ， 可設(shè) x 4 k ， y 3 k ( k 0) ， 則 x y x 4 k 3 k 4 k 7 4 . 故選 D 【答案】 D 方法總結(jié)： 利用比例的基本性質(zhì)將比例轉(zhuǎn)化為用一個(gè)字母表 示另一個(gè)字母的形式 ， 也可以設(shè)參數(shù)表示 ， 然后代入 約分求值 考點(diǎn)二 平行線分線段成比例定理 例 2 ( 2 0 1 6 濟(jì)寧 ) 如圖 ， AB CD EF ， AF 與 BE 相交于點(diǎn) G ， 且 AG 2 ， GD 1 ， DF 5 ， 那么 BC CE 的值等于 【點(diǎn)撥】 AG 2 ， GD 1 ， AD 3 ， AB CD EF ， BC CE AD DF 3 5 . 【答案】 3 5 方法總結(jié)： 由平行線分線段成比例定理可得多組線段的比相 等 ， 利用比例的性質(zhì)可進(jìn)行比例之間的轉(zhuǎn)化 考點(diǎn)三 相似多邊形的定義與性質(zhì) 例 3 如果兩個(gè)相似多邊形面積的比為 1 5 ， 則 它們的相似比為 ( ) A 1 25 B 1 5 C 1 2. 5 D 1 5 【點(diǎn)撥】 相似多邊形面積的比等于相似比的平方 ， 面積的比為 1 5 ， 相似比為 1 5 .故選 D 【答案】 D 方法總結(jié)： 兩個(gè)多邊形相似 ， 如果已知相似比、周長比、面 積比中的任何一個(gè) ， 就能求出另外兩個(gè) 考點(diǎn)四 位 似 例 4 ( 2 0 1 6 東營 ) 如圖 ， 在平面直角坐 標(biāo)系中 ， 已知點(diǎn) A ( 3 ， 6 ) ， B ( 9 ， 3) ， 以原點(diǎn) O 為位似中心 ， 相似比為 1 3 ， 把 ABO 縮小 ， 則點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ( ) A ( 1 ， 2 ) B ( 9 ， 18 ) C ( 9 ， 18 ) 或 (9 ， 18) D ( 1 ， 2 ) 或 (1 ， 2) 【點(diǎn)撥】 A ( 3 ， 6) ， B ( 9 ， 3) ， 以原點(diǎn) O 為位似中心 ， 相似比為 1 3 ， 把 ABO 縮小 ， 點(diǎn) A 的 對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 3 1 3 ， 6 1 3 或 3 1 3 ， 6 1 3 ， 即 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 1 ， 2) 或 ( 1 ， 2) 故選 D 【答案】 D 方法總結(jié)： 若位似變換是以原點(diǎn)為位似中心 ， 相似比為 k ， 則 位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的 坐標(biāo)的比為 k 或 k . 1 已知 2 x 5 y ( y 0) ， 則下列比例式成立的是 ( B ) A x 2 y 5 B x 5 y 2 C x y 2 5 D x 2 5 y 2 如圖 ， 已知 DE BC ， EF AB ， 則下列比例 式中錯(cuò)誤的是 ( C ) A AD AB AE AC B CE CF EA FB C DE BC AD BD D EF AB CF CB 3 美是一種感覺 ， 當(dāng)人體的下半身長與身高的比 值越接近 0. 61 8 時(shí)越給人一種美感已知某女士身高 160 cm ， 下半身長與身高的比值是 0 . 60 ， 為盡可能達(dá) 到好的效果 ， 她應(yīng)穿的高跟鞋的 高度約為 ( D ) A 6 cm B 10 cm C 4 cm D 8 cm 4 ( 2 0 1 6 三明 ) 如圖 ， 在平面直角坐標(biāo)系中 ， 已知 A (1 ， 0 ) ， D (3 ， 0 ) ， ABC 與 D E F 位似 ， 原點(diǎn) O 是 位似中心 若 AB 1 5 ， 則 DE 【解析】 ABC 與 D E F 是位似圖形 ， 它們的 位似中心恰好為原點(diǎn) ， 已知 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (1 ， 0 ) ， D 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (3 ， 0 ) ， AO 1 ， DO 3 ， AO DO AB DE 1 3 . A B 1 . 5 ， DE 4. 5 . 【答案】 4. 5 5 ( 2 0 1 6 柳州 ) 如圖 ， 以原點(diǎn) O 為位似中心 ， 把 O A B 放大后得到 O C D ， 求 O A B 與 O C D 的相 似比 解： 點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 (4 ， 0 ) ， 點(diǎn) D 的坐標(biāo)是 (6 ， 0 ) ， OB 4 ， OD 6 ， OB OD 4 6 2 3 . O A B 與 O C D 關(guān)于點(diǎn) O 位似 ， O A B 與 O C D 的相似比為 2 3 . 一、選擇題 ( 每小題 4 分，共 48 分 ) 1 ( 2016 牡丹江 ) 若 x y 1 3 ， 2 y 3 z ，則 2 x y z y 的值是 ( ) A 5 B 10 3 C 10 3 D 5 【解析】 x y 1 3 ， 設(shè) x k ， y 3 k ， 2 y 3 z ， z 2 k ， 2 x y z y 2 k 3 k 2 k 3 k 5 . 故選 A 【答案】 A 2 ( 2016 杭州 ) 如圖，已知直線 a b c ，直線 m 分別交直線 a ， b ， c 于點(diǎn) A ， B ， C ；直線 n 分別交直 線 a ， b ， c 于點(diǎn) D ， E ， F .若 AB BC 1 2 ，則 DE EF ( B ) A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 1 3 ( 2016 煙臺(tái) ) 如圖，在 平面直角坐標(biāo)系中，正方形 A B C D 與正方形 BEFG 是以 原點(diǎn) O 為位似中心的位似 圖形，且相似比為 1 3 ，點(diǎn) A ， B ， E 在 x 軸上，若正方 形 BEFG 的邊長為 6 ，則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280246 】 A ( 3 ， 2 ) B ( 3 ， 1 ) C ( 2 ， 2 ) D ( 4 ， 2 ) 【解析】 正方形 ABCD 與正方形 BEFG 是以原 點(diǎn) O 為位似中心的位似圖形 ， 且相似比為 1 3 ， AD BG 1 3 . BG 6 ， AD BC 2 . AD BG ， O A D O B G ， OA OB 1 3 ， OA 2 OA 1 3 ， 解得 OA 1 ， OB 3 ， C 點(diǎn)坐標(biāo)為 (3 ， 2) 故選 A 【答案】 A 4 如圖，四邊形 ABCD 與四邊形 A 1 B 1 C 1 D 1 相似， AB 12 ， CD 15 ， A 1 B 1 9 ，則邊 C 1 D 1 的長是 ( C ) A 10 B 12 C 45 4 D 36 5 5 若兩個(gè)相似多邊形的面 積的比為 1 4 ，則它們 的周長的比為 ( B ) A 1 4 B 1 2 C 2 1 D 4 1 6 如圖，在 ABC 中， A 36 ， AB AC 2 ， BD 平分 ABC 交 AC 于點(diǎn) D ，則 AD 等于 ( ) A 5 1 B 4 3 C 1 D 5 1 2 【解析】 AB AC 2 ， ABC C 1 2 ( 1 80 A ) 1 2 ( 18 0 36 ) 72 . BD 平分 ABC ， ABD CBD 36 ， DA D B 而 B D C A ABD 72 ， BD BC ， AD BD B C A CBD ， C C ， ABC BCD ， BC CD AB BC ， 即 AD CD AC AD . 點(diǎn) D 為 AC 的黃金分割點(diǎn) ， AD 5 1 2 AC 5 1 . 故選 A 【答案】 A 7 ( 2016 威海 ) 如圖，在 ABC 中， B C 36 ， AB 的垂直平分線交 BC 于點(diǎn) D ，交 AB 于點(diǎn) H ， AC 的垂直平分線交 BC 于點(diǎn) E ，交 AC 于點(diǎn) G ，連接 AD ， AE . 則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280247 】 A BD BC 5 1 2 B AD ， AE 將 BAC 三等分 C ABE ACD D S A D H S CEG 【解析】 B C 36 ， AB AC ， BAC 108 . DH 垂直平分 AB ， EG 垂直平分 AC ， DB DA ， EA EC ， B D A B C CAE 36 ， B D A BAC ， BD BA BA BC . 又 A D C B BAD 72 ， D A C BAC BAD 72 ， A D C D A C ， CD CA BA ， BD BC CD BC AB ， 則 BC BA BA BA BC ， BD BA BA BC 5 1 2 ， 故選項(xiàng) A 錯(cuò)誤； BAC 108 ， B D A B C CAE 36 ， D A E BAC D A B CAE 36 ， 即 D A B D A E CAE 36 ， AD ， AE 將 BAC 三等分 ， 故選項(xiàng) B 正確； BAE BAD D A E 72 ， CAD CAE D A E 72 ， BAE CA D 又 AB AC ， B C ， BAE CAD ， 故選項(xiàng) C 正確；由 BAE CAD 可得 S BAE S CAD ，即 S BAD S AD E S CAE S AD E ， S BAD S CAE .又 DH 垂直平分 AB ， EG 垂直平分 AC ， S AD H 1 2 S ABD ， S CEG 1 2 S CAE ， S AD H S CEG ， 故 D 正確故選 A 【答案】 A 8 如圖， O A B 與 O C D 是以點(diǎn) O 為位似中心 的位似圖形，相似 比為 1 2 ， O C D 90 ， CO C D 若 B ( 1 ， 0 ) ，則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 ( ) A ( 1 ， 2 ) B ( 1 ， 1 ) C ( 2 ， 2 ) D ( 2 ， 1 ) 【解析】 連接 BC ， O C D 90 ， CO CD ， O C D 是等腰直角三角形 O A B 與 O C D 是 以點(diǎn) O 為位似中心的位似 圖形 ， 相似比為 1 2 ， BC OD ， 且點(diǎn) B 是 OD 的中點(diǎn) O C D 是等腰 直角三角形 ， OB B C B (1 ， 0) ， C (1 ， 1) 故 選 B 【答案】 B 9 如圖，在平面直角坐標(biāo) 系中，已知點(diǎn) A ( 2 ， 4 ) ， B ( 8 ， 2 ) ，以原點(diǎn) O 為位似中心，相 似比為 1 2 ，把 ABO 縮小，則點(diǎn) A 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 ( ) A ( 1 ， 2 ) B ( 4 ， 8 ) C ( 4 ， 8 ) 或 ( 4 ， 8 ) D ( 1 ， 2 ) 或 ( 1 ， 2 ) 【解析】 A ( 2 ， 4) ， B ( 8 ， 2) ， 以原點(diǎn) O 為位似中心 ， 相似比為 1 2 ， 把 ABO 縮小 ， 點(diǎn) A 的 對(duì) 應(yīng) 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 為 2 1 2 ， 4 1 2 或 2 1 2 ， 4 1 2 ， 即 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 1 ， 2) 或 (1 ， 2) 故選 D 【答案】 D 10 ( 201 6 山西 ) 寬與長的比是 5 1 2 ( 約為 0. 618 ) 的矩形叫做黃金矩形黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià) 值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感我們可以用這樣的 方法畫出黃金矩形： 作正方形 ABCD ，分別取 AD ， BC 的中點(diǎn) E ， F ， 連接 EF ；以點(diǎn) F 為圓心，以 FD 為半徑畫弧，交 BC 的延長線于點(diǎn) G ；作 GH AD ，交 AD 的延長線于點(diǎn) H . 則圖中下列矩形是黃金矩形的是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280248 】 A 矩形 ABFE B 矩形 EFCD C 矩形 E F G H D 矩形 D C G H 【解析】 設(shè) DC 2 ， 則 FC 1 ， DF 2 2 1 2 5 ， CG 5 1 ， 則 CG DC 5 1 2 ， 矩形 D C G H 是黃金矩 形故選 D 【答案】 D 11 如圖， ABE 和 C D E 是以點(diǎn) E 為位似中心的 位似圖形，已知點(diǎn) A ( 3 ， 4 ) 、點(diǎn) C ( 2 ， 2 ) 、點(diǎn) D ( 3 ， 1 ) ， 則點(diǎn) D 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) B 的坐標(biāo)是 ( ) A ( 4 ， 2 ) B ( 4 ， 1 ) C ( 5 ， 2 ) D ( 5 ， 1 ) 【解析】 把坐標(biāo)系沿 x 軸向右平移 1 個(gè)單位 ，則 點(diǎn) A (3 ， 4) 的坐標(biāo)變?yōu)?(2 ， 4) ， 點(diǎn) C (2 ， 2) 的坐標(biāo)變?yōu)?(1 ， 2) ， 由關(guān)于原點(diǎn)位似的坐標(biāo)的特點(diǎn)可知 ， C D E 與 ABE 的相似比為 1 2 . 點(diǎn) D (3 ， 1) 在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 為 (2 ， 1) ， 則對(duì)應(yīng)的點(diǎn) B 的新坐標(biāo)為 (4 ， 2) 再將 x 軸 向左平移 1 個(gè)單位 ， 可得點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 (5 ， 2) 故選 C 【答案】 C 12 ( 2016 淄博 ) 如圖，直 線 l 1 l 2 l 3 ，一等腰直角三角 形 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A ， B ， C 分別在 l 1 ， l 2 ， l 3 上， ACB 90 ， AC 交 l 2 于點(diǎn) D 已知 l 1 與 l 2 的距離為 1 ， l 2 與 l 3 的距離為 3. 則 AB BD 的值為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280249 】 A 4 2 5 B 34 5 C 5 2 8 D 20 2 23 【解析】 如圖 ， 過點(diǎn) B 作 BE l 3 于點(diǎn) E ， 過點(diǎn) A 作 AF l 3 于點(diǎn) F 交 l 2 于點(diǎn) G ， BEC C F A 90 ， EBC BCE 90 . 又 ACB 90 ， BCE ACF 90 ， EBC A C F . BC AC ， 可證 BEC C F A ， BE CF 3 . BG EF 4 3 7 ， BC AC 5 . AB 5 2 . l 2 l 3 ， A D G ACF ， DG CF AG AF ， DG 3 1 4 ， DG 3 4 . BD 7 3 4 25 4 . AB BD 5 2 25 4 4 2 5 . 故選 A 【答案】 A 二、填空題 ( 每小題 4 分，共 16 分 ) 13 已知 c 4 b 5 a 6 0 ，則 b c a 的值為 3 2 14 ( 2016 威海 ) 如圖，直線 y 1 2 x 1 與 x 軸交于 點(diǎn) A ，與 y 軸交于點(diǎn) B ， B O C 與 B O C 是以點(diǎn) A 為位似中心的位似圖形，且相似比為 1 3 ，則點(diǎn) B 的 對(duì)應(yīng)點(diǎn) B 的坐標(biāo)為 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280250 】 【解析】 直線 y 1 2 x 1 與 x 軸交于點(diǎn) A ， 與 y 軸 交于點(diǎn) B ， 令 x 0 可得 y 1 ；令 y 0 可得 x 2 ， 點(diǎn) A 和點(diǎn) B 的坐標(biāo)分別為 ( 2 ， 0) ， (0 ， 1) B O C 與 B O C 是以點(diǎn) A 為位似中心的位似圖形 ， 且相似比 為 1 3 ， OB O B OA A O 1 3 ， O B 3 ， AO 6 ， B 的坐標(biāo)為 ( 8 ， 3) 或 (4 ， 3) 【答案】 ( 8 ， 3) 或 (4 ， 3) 15 把標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開，可以得到均相似 的 “ 開紙 ” 現(xiàn)在我們?cè)陂L為 2 2 、寬為 1 的矩形紙片 中，畫兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原 矩形的邊平行，或小矩形的邊在原矩形紙的邊上，且 每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則 所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長之和的最大值是 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280251 】 【解析】 如圖 ， 要使所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長 之和最大 ， 則這兩個(gè)小矩形紙片長與寬的和最大 矩形紙片的長與寬的比為 2 2 1 ， 剪得的兩個(gè) 小矩形中 ， 矩形 A B G H 的長 AB 為 1 ， 寬 BG 為 1 1 2 2 2 4 . 矩形 C G F E 的長 CG 為 2 2 2 4 7 2 4 ， 寬 CE 為 7 2 4 1 2 2 7 8 ， 所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長之和的最 大值是 2 1 2 4 7 2 4 7 8 4 2 15 4 . 【答案】 4 2 15 4 16 如圖，矩形 O D E F 的一邊落在矩形 ABCO 的 一邊上，并且矩形 O D E F 矩形 ABCO ，其相似比為 1 4 ，矩形 ABCO 的邊 AB 4 ， BC 4 3 . 將矩形 O D E F 繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接 EC ， EA ，則在整個(gè)旋 轉(zhuǎn)過程中 ACE 的最大面積為 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280252 】 【解析】 矩形 O D E F 矩形 ABCO ， 其相似比 為 1 4 ， 矩形 ABCO 的邊 AB 4 ， BC 4 3 ， OF 3 ， OD 1 . OE OF 2 OD 2 （ 3 ） 2 1 2 2 . 點(diǎn) E 的軌跡為以點(diǎn) O 為圓心、 2 為半徑的圓設(shè)點(diǎn) O 到 AC 的距離為 h ， AC AB 2 BC 2 4 2 （ 4 3 ） 2 8 ， 由面積相等可得 8 h 4 4 3 ， 解得 h 2 3 . 當(dāng)點(diǎn) E 到 AC 的距離為 2 3 2 時(shí) ， ACE 的面積 有最大值 ， S 最大 1 2 8 (2 3 2) 8 3 8 . 【答案】 8 3 8 三、解答題 ( 共 36 分 ) 17 ( 8 分 ) ( 2016 玉林 ) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系網(wǎng) 格中，將 ABC 進(jìn)行位似變換得到 A 1 B 1 C 1 . ( 1 ) A 1 B 1 C 1 與 ABC 的位似比是 1 2 ； 解： ABC 與 A 1 B 1 C 1 的位似比等于 AB A 1 B 1 2 4 1 2 . ( 2 ) 畫出 A 1 B 1 C 1 關(guān)于 y 軸對(duì)稱的 A 2 B 2 C 2 ； 如圖所示 ( 3 ) 設(shè)點(diǎn) P ( a ， b ) 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，則依上述兩次 變換后，點(diǎn) P 在 A 2 B 2 C 2 內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn) P 2 的坐標(biāo)是 ( 2 a ， 2 b ) 點(diǎn) P ( a ， b ) 為 ABC 內(nèi)一點(diǎn) ， 依次經(jīng)過上述兩次變 換后 ， 點(diǎn) P 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 2 a ， 2 b ) 18 ( 8 分 ) 如圖，點(diǎn) E 是菱形 ABCD 對(duì)角線 CA 的 延長線上任意一點(diǎn)，以線段 AE 為邊作一個(gè)菱形 AEFG ，且菱形 AEFG 菱形 ABCD ，連接 EB ， G D 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280253 】 ( 1 ) 求證： EB GD ； 證明： 菱形 AEFG 菱形 ABCD ， EAG BAD ， EAB G A D 又 AE AG ， AB AD ， EAB G A D ( S A S ) EB GD ( 2 ) 若 D A B 60 ， AB 2 ， AG 3 ，求 GD 的 長 解： 如圖 ， 連接 BD ， 設(shè) BD 交 AC 于點(diǎn) O ， 則 AC B D D A B 60 ， BD AB 2 . BO 1 2 BD 1 ， AO 3 . 又 AE AG 3 ， EO 2 3 . EB EO 2 BO 2 13 . 由 ( 1 ) 知 EB GD ， GD 13 . 19 ( 10 分 ) 已知：如圖，在平行四邊形 ABCD 中， E ， F 分別是邊 BC ， CD 上的點(diǎn)，且 EF BD ， AE ， AF 分別交 BD 與點(diǎn) G 和點(diǎn) H ， BD 12 ， EF 8. 求： ( 1 ) DF AB 的值； 解： EF BD ， CF CD EF BD . BD 12 ， EF 8 ， CF CD 2 3 ， DF CD 1 3 . 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， AB CD ， DF AB 1 3 . ( 2 ) 線段 GH 的長 解： DF AB ， FH AH DF AB 1 3 . AH AF 3 4 . EF BD ， GH EF AH AF 3 4 . GH 8 3 4 . GH 6 . 20 ( 10 分 ) ( 2016 崇左 ) 如圖 1 ，菱形 ABCD 對(duì)角線 AC ， BD 的交點(diǎn) O 是四邊形 E F G H 對(duì)角線 FH 的中點(diǎn)， 四個(gè)頂點(diǎn) A ， B ， C ， D 分別在四邊形 E F G H 的邊 EF ， FG ， GH ， HE 上 【導(dǎo)學(xué)號(hào) 90280254 】 ( 1 ) 求證：四邊形 E F G H 是平行四邊形； 證明： 點(diǎn) O 是菱形 ABCD 對(duì)角線 AC ， BD 的交 點(diǎn) ， OA OC ， OD O B 點(diǎn) O 是線段 FH 的中點(diǎn) ， OF O H . 在 A O F 和 C O H 中 ， OA OC ， A O F C O H ， OF OH ， A O F C O H ( S A S ) ， AFO C H O ， AF C H . 同理可得 DH B F . 四邊形 E F G H 是平行四邊形 ( 2 ) 如圖 2 ，若四邊形 E F G H 是矩形，當(dāng) AC 與 FH 重合時(shí)，已知 AC BD 2 ，且菱形 ABCD 的面積是 20 ，求 矩形 E F G H 的長與寬 解： 設(shè)矩形 E F G H 的長為 a 、寬為 b ， 則 AC a 2 b 2 . AC BD 2 ， BD 1 2 AC a 2 b 2 2 ， OB 1 2 BD a 2 b 2 4 ， OA 1 2 AC a 2 b 2 2 . 四邊形 ABCD 為菱 形 ， AC BD ， A O B 90 . 四邊形 E F G H 是矩 形 ， A G H 90 ， A O B A G H 90 . 又 BAO CAG ， BAO CAG ， BO CG OA AG ， 即 a 2 b 2 4 b a 2 b 2 2 a ， 解得 a 2 b . S 菱形 ABCD 1 2 AC BD 1 2 a 2 b 2 a 2 b 2 2 20 ， a 2 b 2 80 . 聯(lián)立 ， 得 a 2 b ， a 2 b 2 80 ， 解得 a 8 ， b 4 或 a 8 ， b 4 ( 舍去 ) 矩形 E F G H 的長為 8 ， 寬為 4 .