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1、
三、解答題
26.（江蘇18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k
（1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；
（2）當(dāng)k=2時，求點P到直線AB的距離d；
（3）對任意k>0，求證：PA⊥PB
本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分.
解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點的坐標(biāo)為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線
2、PA過坐標(biāo)
原點，所以
（2）直線PA的方程
解得
于是直線AC的斜率為
（3）解法一：
將直線PA的方程代入
則
故直線AB的斜率為
其方程為
解得.
于是直線PB的斜率
因此
解法二：
設(shè).
設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以
從而
因此
28.
（北京理19）
已知橢圓.過點（m,0）作圓的切線I交橢圓G于A，B兩點.
（I）求橢圓G的焦點坐標(biāo)和離心率；
（II）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得
所以
所以橢圓G的焦點坐標(biāo)為
離心率為
（Ⅱ）由題意知，
3、.
當(dāng)時，切線l的方程，點A、B的坐標(biāo)分別為
此時
當(dāng)m=－1時，同理可得
當(dāng)時，設(shè)切線l的方程為
由
設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為，則
又由l與圓
所以
由于當(dāng)時，
所以.
因為
且當(dāng)時，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.
32.（湖南理21）
如圖7，橢圓的離心率為，x軸被曲線截得的線段長等于C1的長半軸長。
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）設(shè)C2與y軸的焦點為M，過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交與D,E．
（i）證明：MD⊥ME;
（ii）記△MAB,△MDE的面積分別是．問：是否存在直線l,使得?
4、請說明理由。
解 ：（Ⅰ）由題意知
故C1，C2的方程分別為
（Ⅱ）（i）由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)為k，則直線l的方程為.
由得
.
設(shè)是上述方程的兩個實根，于是
又點M的坐標(biāo)為（0，—1），所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
（ii）設(shè)直線MA的斜率為k1，則直線MA的方程為解得
則點A的坐標(biāo)為.
又直線MB的斜率為，
同理可得點B的坐標(biāo)為
于是
由得
解得
則點D的坐標(biāo)為
又直線ME的斜率為，同理可得點E的坐標(biāo)為
于是.
因此
由題意知，
又由點A、B的坐標(biāo)可知，
故滿足條件的直線l存在，且有兩條，其方程分別為
34.
5、（全國大綱理21）
已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交于A、B兩點，點P滿足
（Ⅰ）證明：點P在C上；
（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．
解：
（I）F（0，1），的方程為，
代入并化簡得
…………2分
設(shè)
則
由題意得
所以點P的坐標(biāo)為
經(jīng)驗證，點P的坐標(biāo)為滿足方程
故點P在橢圓C上。 …………6分
（II）由和題設(shè)知，
PQ的垂直平分線的方程為
①
設(shè)AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為
②
由①、②得
6、的交點為。 …………9分
故|NP|=|NA|。
又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|，
所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|，
由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上 …………12分
36.（山東理22）
已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點.
（Ⅰ）證明和均為定值;
（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點為M，求的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由.
（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時，P，Q兩點關(guān)于x軸對稱，
所以
因為在橢圓上，
因此
7、 ①
又因為
所以 ②
由①、②得
此時
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為
由題意知m，將其代入，得
，
其中
即 …………（*）
又
所以
因為點O到直線的距離為
所以
又
整理得且符合（*）式，
此時
綜上所述，結(jié)論成立。
（II）解法一：
（1）當(dāng)直線的斜率存在時，
由（I）知
因此
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，由（I）知
所以
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
綜合（1）（2）得|OM||PQ|的最大值為
解法二：
因為
8、
所以
即當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立。
因此 |OM||PQ|的最大值為
（III）橢圓C上不存在三點D，E，G，使得
證明：假設(shè)存在，
由（I）得
因此D，E，G只能在這四點中選取三個不同點，
而這三點的兩兩連線中必有一條過原點，
與矛盾，
所以橢圓C上不存在滿足條件的三點D，E，G.
40.（天津理18）在平面直角坐標(biāo)系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．
本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、平面向量等基礎(chǔ)知識
9、，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查解決問題能力與運算能力.滿分13分.
（I）解：設(shè)
由題意，可得
即
整理得（舍），
或所以
（II）解：由（I）知
可得橢圓方程為
直線PF2方程為
A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組
消去y并整理，得
解得
得方程組的解
不妨設(shè)
設(shè)點M的坐標(biāo)為，
由
于是
由
即，
化簡得
將
所以
因此，點M的軌跡方程是
42.（重慶理20）如題（20）圖，橢圓的中心為原點，離心率，一條準(zhǔn)線的方程為．
（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)動點滿足：，其中是橢圓上的點，直線與的斜率之積為，問：是否存在兩個定點，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
解：（I）由
解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（II）設(shè)，則由
得
因為點M，N在橢圓上，所以
，
故
設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知
因此
所以
所以P點是橢圓上的點，設(shè)該橢圓的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|+|PF2|為定值，又因，因此兩焦點的坐標(biāo)為
解析幾何大題帶答案
