【備戰(zhàn)2014】高中數(shù)學(xué)第44講立體幾何中的向量方法(二)空間角與距離的求解配套試題(含解析)理新人教B版

第 44 講立體幾何中的向量方法( 二) 空間角與距離的求解( 時(shí)間： 45 分鐘分值： 100 分 )基礎(chǔ)熱身1設(shè)平面 的法向量為a (1 ，2， 2) ，平面 的法向量為b ( 2， 4，k) ，若 ，則 k 等于 ()A 2 B 4C 4 D 222013 銀川一模 如果平面的一條斜線和它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a(0 ， 2， 1) ， b (2，5，5) ，那么這條斜線與平面的夾角是()A 90 B 60C 45 D 3032013 沈陽(yáng)一模 正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都是1，則側(cè)棱與底面所成的角為()A 75 B 60C 45 D 3042013 蘭州一模在空間直角坐標(biāo)系O xyz 中，平面 OAB的法向量為n (2 ， 2，1) ，已知 P( 1， 3， 2) ，則點(diǎn) P 到平面 OAB的距離 d 等于 ()A 4 B 2C 3 D 1能力提升ABCDA BCD 中，底面是邊長(zhǎng)為2 的正方形，高52013 長(zhǎng)春一模 已知在長(zhǎng)方體為 4，則點(diǎn)1 到截面1 1 的距離是 (1111)AABD83A. 3B.843C. 3D.462013 西寧一模 正方體 ABCD A B CD 中，二面角A BD B 的大小為 ()111111A 60 B 30C 120 D 150已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2 ， 3， 1) ， B(4 ， 1， 2) ，72013 西安一模 (6 ， 3， 7) ，則的重心坐標(biāo)為 ()CABC77A. 6， ， 3B. 4， ， 223147C. 8， 3 ， 4D. 2， 6， 18在正方體1 1 1 1中，E是11 的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為A B CDABCDCDDEAC()1101A 10B 201 10 C. 20 D. 109在直三棱柱A1B1C1 ABC中， BCA 90，點(diǎn) D1， F1 分別是 A1B1， A1C1 的中點(diǎn)， BCCA CC1，則 BD1 與 AF1 所成的角的余弦值是()3013015A. 10B.2 C. 15 D. 1010已知正方體ABCD A1B1C1D1，直線 BC1與平面 A1BD所成的角的余弦值是_11如圖 K441，在空間直角坐標(biāo)系中有棱長(zhǎng)為a 的正方體 ABCD A1B1C1D1，點(diǎn) M是線段 DC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線 AD1距離的最小值是_圖 K44 1圖 K44 2122013 鄭州二模 如圖 K44 2 所示，平面， ， 1， 2，PAABC AC BC PAACBC則二面角 A PB C的余弦值為 _13在空間直角坐標(biāo)系中，定義：平面 的一般方程為： Ax By Cz D 0( A，B， C， R，且 ， ， 不同時(shí)為零 ) ，點(diǎn) (0， 0， 0) 到平面 的距離為： | Ax By Cz D| ，000DA B CP x y zdA2 B2 C2則在底面邊長(zhǎng)與高都為2 的正四棱錐中，底面中心O到側(cè) 面的距離等于 _14(10 分) 如圖 K44 3，在四棱錐 P ABCD中，底面 ABCD是矩形， PA底面 ABCD， E是 PC的中點(diǎn)，已知 AB 2， AD 2 2， PA 2，求：(1) 三角形 PCD的面積；(2) 異面直線 BC與 AE所成的角的大小圖 K44 315 (13 分 ) 如圖 K44 4 甲，在直角梯形ABCD中， AB CD， BAD 90， AB2， AD3， 1，點(diǎn)，F(xiàn)分別在，上，且1 ， 1 . 現(xiàn)將此梯形沿EF折至使ADCDEAD BCAE3AD BF3BC2 3的位置 ( 如圖乙 ) (1) 求證： AE平面 ABCD；(2) 求點(diǎn) B 到平面 CDEF的距離；(3) 求直線 CE與平面 BCF所成角的正弦值圖 K44 4難點(diǎn)突破16(12 分)2013 長(zhǎng)沙三模 如圖 K44 5，正 ABC的邊長(zhǎng)為 2a，CD是 AB邊上的高，E， F 分別是 AC和 BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將 ABC沿 CD翻折成直二面角 ACD B.(1) 試判斷翻折后直線 AB與平面 DEF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2) 求異面直線 AB與 DE所成角的余弦值；(3) 求二面角 B AC D的余弦值圖 K44 5345課時(shí)作業(yè) ( 四十四 )【基礎(chǔ)熱身】1 C 解析 ， ( 2， 4， k) (1 ，2， 2) ， 2 ， k 2 ，k 4.a b32 D 解析 cos | a| b| 2 ，因此所求的夾角為 30.3 C 解析 如圖，四棱錐P ABCD中，過(guò) P作 PO平面 ABCD于 O，連接 AO，則 AO是 AP在底面 ABCD上的射影， PAO即為所求線面角， AO2AO2，PA 1， cos PAO， PAO 45，2PA2即所求線面角為 45 .| 2 6 2|64 B 解析 d| OP n| 2.| n|22（ 2） 2 123【能力提升】5 C 解析 如圖，以 D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D xyz，則 A1(2 ， 0， 4) ， A(2 ， 0， 0) ， B1(2 ， 2， 4) ， D1(0 ， 0， 4) ，AD1 ( 2，0， 4) ， AB1n ( x， y，z) ，則nAD1 0，即(0 ， 2， 4) ， AA (0 ， 0， 4) ，設(shè)平面 ABD 的法向量為111 0，nAB1 2x 4z 0，解得 x 2z1112y 4z0，且 y 2z，不妨設(shè) n(2 ， 2，1) ，設(shè)點(diǎn) A到平面 ABD 的距4離為 d，則 d| AA1 n| n| 3.6 C 解析 以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè) A(1 ， 0， 0) ， D1(0 ， 0，1) ， B(1 ，1， 0) ， B1(1 ， 1， 1) ， C(0 ，1， 0) ，則 AC ( 1， 1， 0) 為平面 BBD 的一個(gè)法向量11設(shè)n (，) 為平面1 的一個(gè)法向量xyzABD則 nAD1 0， nAB 0，6 x z 0，z x，又 AD1 ( 1， 0，1) ， AB(0 ， 1， 0) ，y 0.y 0.取 n (1 ， 0， 1) cos ，1. ， 120，結(jié)合圖形知二面角1 1 的大小為AC n2ACnABD B120 .7B 解析 的重心坐標(biāo)為x2 4 63 1 371（ 2） 73 4， 3 ， 3ABCy3z2.8D 解析 如圖建立直角坐標(biāo)系D xyz ，設(shè) DA 1，A(1 ，0，0) ，C(0 ，1，0) ，E0，1， 1.21，若異面直線 DE與 AC所成的角為 ，則 AC ( 1， 1， 0) ， DE0， ， 12則 cos |cos ， | 10.ACDE1019 A 解析 建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)1 ， 0， 1，BC 1，則 A( 1， 0， 0) ， F2111111， 1111 ， ， 11， 0， 1，B(0 ， 1，0) ，D22，AF2，BD22. cos AF，BD30AF BD11 10 .| AF| | BD|1110.3 解析 如下圖，以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線DA， DC， DD1 分別為 x 軸， y 軸， z 軸3建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則 D(0 ，0，0) ，A1( 1，0，1) ，B(1 ，1，0) ，C1(0 ， 1，0)1， 1) ， DA(1 ，0， 1) ，DB (1，BC ( 1， 0， 1) ，設(shè)平面 A BD的一個(gè)法向量111x z 0，z x，n DA 0，為 (x， ，z) ，則1nyx y 0，y x，令 x1n DB 0，得，n (1 ，1， 1) ，設(shè)直線 BC 與平面 A BD所成的角為 ，則 sin |cos11| 1 |26BCn 3 ，BC， n | 12 3| BC1| | n|2 3 cos 1 sin 3 .711.3 解析 設(shè)(0 ， ， )(0 ) ， 1( ，0，) ，直線1的一個(gè)單位方3 aM m mm a ADaaAD向向量 s0 22的距離，0，由 MD1 (0 ， m， am) ，故點(diǎn) M到直線 AD122d 2222123212| MD| | MDs| ) m（ a m） 2（ a m） 2m am 2a ，根式110 a a3 a 2a 121 23內(nèi)的二次函數(shù)當(dāng)m33時(shí)取最小值2 3 a3 2a 3a ，故 d 的最小值為3 a.2 212.3 解析 以 C為原點(diǎn)， CA為 x 軸， CB為 y 軸建立空間直角坐標(biāo)系C xyz，3則 A(1 ， 0， 0) ， B(0 ， 2， 0) ，C(0 ， 0，0) ， P(1 ，0， 1) ，2， 1)，2， 0) ， AP (0， 0， 1) ， PB ( 1，CB (0設(shè)平面APB的法向量為1 (x1，y1，1)，平面的法向量為n2 (x2，2， 2) ，則nzPBCyzz1 0， x1 2y1 z1 0，2y2 0，取 n1 (2 ， 2 ，0) ， n2 ( 1， 0， 1) x2 2y2 z2 0， cos 1， 2 23.n n6 233結(jié)合圖形知二面角A PB C的余弦值為3 .25如圖，以底面中心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O xyz，則 A(1 ，1，13. 解析 50) ， ( 1， 1， 0) ， (0 ， 0，2) ，設(shè)平面的方程為 0，將以上3 個(gè)坐BPPABAxBy Cz D標(biāo)代入計(jì)算得1A 0，B D，C 2D，81平面 PAB的方程為 Dy 2Dz D0，即 2y z 2 0， d|2 0 02|2 522 12 5 .14解： (1) PA底面 ABCD， PA CD，又 CDAD， CD平面 PAD， CDPD，又 PD22（ 22） 2 23， CD 2，1 PCD的面積為 2 2 23 23.(2) 方法一：取 PB的中點(diǎn) F，連接 EF，AF，則 EF BC， AEF( 或其補(bǔ)角 ) 是異面直線BC與 AE所成的角在 AEF中， EF 2，AF 2， AE 2， AEF是等腰直角三角形， AEF 4 ，異面直線 BC與 AE所成的角大小為4 .方法二：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2 ， 0， 0) ， C(2 ， 22，0) ，E(1 ，2，1) ，2，2， 0) ， AE (11) ， BC (0 ， 2 設(shè) AE與BC的夾角為 ，則42AEBCcos 2 .| AE| BC|2 22又 0 2 ， 4 .故異面直線BC與 AE所成的角的大小是4 .15解： (1) 證明：由題意知AE1， DE 2， AD3，222 AE AD DE. EAD 90，即 EAAD.又 EA AB， AB AD A， AE平面 ABCD.(2) 作 AK DE于點(diǎn) K.由題知 AB EF. AB?平面 CDEF， EF? 平面 CDEF， AB平面 CDEF.點(diǎn) B到平面 CDEF的距離即為點(diǎn) A 到平面 CDEF的距離 EFAE， EFED， EDEA E，9 EF平面 AED， AK? 平面 AED， AK EF. 又 AK DE， DE EF E， AK平面 CDEF. AK的長(zhǎng)即為點(diǎn) B 到平面 CDEF的距離3在 Rt ADE中， AK 2，3點(diǎn) B到平面 CDEF的距離為.2(3) 以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角AD AB AE坐標(biāo)系，如圖，則(0 ，2，0) ， (3，1，0)， (0 ，0，1) ，F(xiàn)5，1，0， ， 1 0， ，1BCE3BF3BC(3， 1， 1) ，設(shè)平面 BCF的法向量n ( x， y， z) ，3， 1， 0) ，CE ( 3BFn 0，由 可取 n 1， 3， 3.BC n0，53|365設(shè)直線 CE與平面 BCF所成的角為 ，則 sin CEn13.n|13| CE|53所以直線與平面所成角的正弦值為65.CEBCF13【難點(diǎn)突破】16解： (1) 以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則 (0 ，0，0) ， (0 ，0， ) ， (，0，0) ， (0 ， 3 ，0) ，3a ， a3.DAaB aCaE 0， 2 a，2F 2， 2 a， 0aa AB( a， 0， a) ， EF 2， 0， 2 ，從而1 ，EF2 AB ，又?平面， ? 平面，ABEFABDEF EFDEF故 AB平面 DEF.AB與 DE所成的角 ( 或其補(bǔ)角 ) (2) AB EF， DEF即為異面直線3a ED0， 2a， 2，10aaEF 2， 0， 2 ， cos ， EF ED 2.EFED 4| EF| ED|異面直線 AB與 DE所成角的余弦值為24 .(3) n0(1 ，0，0) 為平面 ACD的一個(gè)法向量，設(shè)n ( x，y，z) 為平面 ABC的一個(gè)法向量，則 azay 0，取z 1，則x33， 0， 3 1 ， . 1，1AB n axAC nazyn33從而 cos n，n0n n021.| n| n0|7所以二面角 BAC D的余弦值為217 .11