高中數(shù)學(xué)從普查到抽樣

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1、 數(shù) 字 化 的 時(shí) 代 產(chǎn)品的合格率 農(nóng)作物的產(chǎn)量 從普查到抽樣 產(chǎn)品的銷售量 某地的氣溫 自然資源 就業(yè)狀況 電視臺(tái)的收視率 0 5 10 15 20 25 30 上海 南京 天津 沈陽 哈爾濱 缺水量/ 我國是世界上的第 13個(gè) 貧水國 ,人均淡水占量排 世界第 109位 我國土地沙漠化非常嚴(yán)重 ,全國沙漠化土地面積已超過 174000平方公里 ,并以每年 3400平方公里的速度擴(kuò)張 . 你知道這些數(shù)據(jù)是怎么來的嗎？ 通過調(diào)查獲得的 . 怎么調(diào)查？ 是對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行全面調(diào)查還是抽樣調(diào)查？ 媽媽 :“兒子，幫媽媽買盒火柴去?！?媽媽 :“這次注意點(diǎn)，上次你買的火柴好多劃不著。 ” 兒子高興

2、地跑回來。 孩子：“媽媽，這次的火柴全劃得著，我 每根 都試 過了?！?這個(gè)調(diào)查具有 破壞性 ，不可能 每根 試過 ,不能 展開全面調(diào)查。 看一看 要了解全國高中生的視力情況： （ 1）對(duì)全國所有的高中生進(jìn)行視力測試； （ 2）對(duì)某一所著名中學(xué)的高中生進(jìn)行視力測試； （ 3）在全國按東、南、西、北、中分片，每個(gè)區(qū)域各抽所 中學(xué)，對(duì)這 15所中學(xué)的全部高中生進(jìn)行視力測試。 你認(rèn)為哪種調(diào)查方式較適合？ 人們在研究某個(gè)自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象時(shí)，會(huì)遇到 不方便、 不可能 或 不必要 對(duì)所有對(duì)象作調(diào)查的情況， 往往采用抽樣調(diào) 查的方法。 議一議 屬于普查，工作量太大，不方便，沒有必要 這種方法缺乏普遍性，不

3、合適。 這種調(diào)查具有可操作性及代表性。 議一議 同學(xué)們覺得在什么時(shí)候用 普查 方式較好 ?什么 時(shí)候用 抽樣調(diào)查 方式較好呢 ? （ 1）當(dāng)調(diào)查的對(duì)象個(gè)數(shù)較少，調(diào)查容易進(jìn)行時(shí)，我們一般采 用普查的方式進(jìn)行。 （ 2）當(dāng)調(diào)查的結(jié)果對(duì)調(diào)查對(duì)象具有破壞性時(shí)，或者會(huì)產(chǎn)生一 定的危害性時(shí)，或不大經(jīng)濟(jì)可行我們通常采用抽樣調(diào)查的方式 進(jìn)行調(diào)查。 （ 3）當(dāng)調(diào)查對(duì)象的個(gè)數(shù)較多，調(diào)查不易進(jìn)行時(shí)，我們常采用 抽樣調(diào)查的方式進(jìn)行調(diào)查。 例如，為了了解一批計(jì)算器的壽命，我們能將它 們逐一測試嗎？很明顯，這既不可能也沒必要。實(shí)踐 中，由于所考察的總體中的個(gè)體數(shù)往往很多，而且許 多考察帶有破壞性，因此，我們通常只考察 總

4、體 中的 一個(gè) 樣本 ，通過樣本來了解總體的情況。 進(jìn)一步，從節(jié)約費(fèi)用的角度考慮，在保證樣本估 計(jì)總體達(dá)到一定的精度的前提下，樣本中包含的個(gè)體 數(shù)越少越好 。 于是，如何設(shè)計(jì)抽樣方法，使抽取的樣本能夠真 正代表總體，就成為我們要關(guān)注的一個(gè)關(guān)鍵問題。否 則，如果樣本的代表性不好，那么對(duì)總體的判斷就會(huì) 出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此科學(xué)合理地采集樣本才能作出客觀的 統(tǒng)計(jì)推斷。 那么，怎樣從總體中抽取樣本呢？如何表示樣本數(shù)據(jù)？ 如何從樣本數(shù)據(jù)中提取基本信息（樣本分布、樣本數(shù)字特征 等），來推斷總體的情況呢？這些正是本章要解決的問題。 數(shù)理統(tǒng)計(jì)所要解決的問題是如何根據(jù)樣本來推斷總體。 首先必須清楚地知道要收集的數(shù)據(jù)是

5、什么；其次，我們檢驗(yàn) 樣本的目的是為了了解總體的情況；再次，我們要知道如何 才能收集到高質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)。 在抽樣調(diào)查中要注意什么問題？ 要了解 全國高中生的視力 情況，第三種調(diào)查方法：在全國 按東、西、南、北、中分片， 每個(gè)區(qū)域各抽 3所中學(xué)， 對(duì)這 15所中學(xué)的全部高中生 15000人進(jìn)行視力測試。 考察對(duì)象是什么 ? 在統(tǒng)計(jì)中，我們把所要考察的對(duì)象的全體叫做總體 全國每位高中學(xué)生的 視力情況。 把組成總體的每一個(gè)考察的對(duì)象叫 做個(gè)體 這 15000名學(xué)生的視力情 況又組成一個(gè)集體 從總體中取出的一部分個(gè)體的集體 叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本。 15000 樣本中的個(gè)體的數(shù)目叫做樣本 的容量。 、

6、如何刻畫一批袋裝牛奶的質(zhì)量是否合格？ 以下變量都可以作為衡量產(chǎn)品質(zhì)量的指標(biāo)： （）袋裝牛奶的細(xì)菌含量；（）袋裝牛奶的重量； （）袋裝牛奶的蛋白含量；（）袋裝牛奶的脂肪含量； （）袋裝牛奶的鈣含量 、怎樣檢驗(yàn)“一批袋裝牛奶的細(xì)菌含量是否超標(biāo)？”是普 查還 是抽樣調(diào)查？各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？應(yīng)該采用哪種方法？ 普查的優(yōu)點(diǎn)：在普查的過程中不出錯(cuò)的情況下可以得到這批 袋裝牛奶的真實(shí)細(xì)菌含量。 普查的弊?。?、需要打開每一袋牛奶進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果使得這批牛奶不能 出售，失去了調(diào)查這批牛奶的質(zhì)量的意義； 、普查需要大量的人力、物力和財(cái)力； 、當(dāng)普查的過程中出現(xiàn)很多數(shù)據(jù)測量、錄入等錯(cuò)誤時(shí)，也 會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)論。 抽樣

7、調(diào)查的優(yōu)點(diǎn)：容易操作，節(jié)省人力、物力和財(cái)力。 抽樣調(diào)查的缺點(diǎn)：估計(jì)結(jié)果有誤差。 議一議 為什么說一個(gè)好的抽樣調(diào)查勝過一次蹩腳的普查？ 品嘗一勺湯 ,就可以知道一鍋湯的味道 ,你知道其中蘊(yùn) 涵的道理嗎 ? 生活中的 “ 數(shù)學(xué) ” 高質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)來自“攪拌均勻”的總體。如果我們 能夠設(shè)法將總體“攪拌均勻”，那么從中任意抽取一部分 個(gè)體的樣本，它們含有與總體基本相同的信息。 范例 在 1936年美國總統(tǒng)選舉前，一份頗有名氣的雜志的工 作人員做了一次民意測驗(yàn)，調(diào)查 Alf Landon 和 Franklin Delano Roosevelt中誰將當(dāng)選下一屆總統(tǒng)。為了了解公眾 意向，調(diào)查者通過電話簿和

8、車輛登記簿上的名單給一大批 人發(fā)了調(diào)查表（ 注意在 1936年電話和汽車只有少數(shù)富人擁 有 ），通過分析收回的調(diào)查表，顯示 Alf Landon非常受歡 迎。于是此雜志預(yù)測 Alf Landon將在選舉中獲勝。 實(shí)際選舉結(jié)果正好相反，最后 Franklin Delano Roosevelt在選舉中獲勝。其數(shù)據(jù)如下： 候選人 預(yù)測結(jié)果 選舉結(jié)果 Landon 57 38 Roosevelt 43 62 思 考 你認(rèn)為預(yù)期結(jié)果出錯(cuò)的原因是什么？ 原因是：用于統(tǒng)計(jì)推斷的樣本來自少數(shù)富人，只能代 表富人的觀點(diǎn)，不能代表全體選民的觀點(diǎn)（樣本不具有代 表性）。 像本例中這樣容易得到的樣本稱為方便樣本。如果

9、使 用“方便樣本”，那么得出與事實(shí)不符的結(jié)論的可能性就 會(huì)大大增加。 結(jié)論：在抽樣時(shí)不能只圖方便。如果只從一些容易得 到的個(gè)體中抽取樣本，那么所得到的樣本只是一個(gè)“方便 樣本”，“方便樣本”的代表性差，基本這種方便樣本得 出的結(jié)論就會(huì)與事實(shí)相左。 中央電視臺(tái)需要在我市調(diào)查“春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)”的收視率。 （ 1）每個(gè)看電視的人都要被問到嗎？ （ 2）對(duì)我校學(xué)生的調(diào)查結(jié)果能否作為該節(jié)目的收視率？ （ 3）你認(rèn)為對(duì)不同社區(qū)、年齡層次、文化背景的人所做調(diào)查的結(jié) 果會(huì)一樣嗎？ 答 （ 1） 中央電視臺(tái)在調(diào)查時(shí)不可能問到每一個(gè)看電視的人 。 （ 2） 對(duì)一所中學(xué)學(xué)生的調(diào)查結(jié)果不能作為該節(jié)目的收視率 ， 因?yàn)橹?/p>

10、有中學(xué)生 ， 缺乏代表性 。 （ 3） 不同社區(qū) 、 年齡層次 、 文化背景的人所做調(diào)查的結(jié)果 不一樣 ， 因?yàn)樗麄兊呐d趣 、 愛好等方面情況相距甚遠(yuǎn) 。 為了了解學(xué)生對(duì)學(xué)?；锸车臐M意程度，小紅訪問了名女生； 小聰訪問了名男生；小明訪問了名男生和名女生， 其中高一、高二和高三的男生和女生各 8名。你認(rèn)為小紅、小聰、 小明三人的不同抽樣方法那一種最好？為什么？ 答：小明的方法最好。小明抽得樣本既有男生，又有女生，而 均勻分布在各年級(jí)，這樣的抽樣較具有代表性，反映的情況具 有普遍意義。 1.我們常常根據(jù)樣本得到結(jié)果來推測總體的結(jié)果。不同 的抽樣可能得到不同的結(jié)果。 2.為了使結(jié)果更具準(zhǔn)確性，抽樣時(shí)

11、，樣本的容量要合 理，樣本的個(gè)體要有代表性。 練習(xí) 1.下列調(diào)查工作適合采用普查方式的是 ( ) A.環(huán)保部門對(duì)淮河水域的水 污染調(diào)查 B.電視臺(tái)對(duì)正在播出的某電視節(jié)目收視率的調(diào)查 C.檢查一批電視機(jī)的使用壽命 D.學(xué)校給全校學(xué)生訂做校服前 ,進(jìn)行尺寸大小的調(diào)查 2.為了解全校 4500名學(xué)生的課外閱讀時(shí)間情況 ,從中 抽取 200名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，下列說法正確的 ( ) A.總體是 4500名學(xué)生 ; B.個(gè)體是每個(gè)學(xué)生 C.樣本是 200名學(xué)生 ; D. 樣本容量是 200. 每個(gè)個(gè)體在整個(gè)抽樣過程 中被抽取的概率是否相等？ 思考 分析： 每部分抽取的個(gè)體數(shù) 樣本容量該部分的個(gè)體總數(shù) 總體中

12、的個(gè)體數(shù) 應(yīng)用舉例 例 1 填空 : 1 、統(tǒng)計(jì)的基本思想方法是 ________________。 抽樣調(diào)查常用的方法有 ______________________________。 樣本容量是指 ________________________. 、簡單隨機(jī)抽樣適用的范圍是 _________________. 系統(tǒng)抽樣適用的范圍是 ____________________. 分層抽樣適用的范圍是 _______________________. 3、為了了解某地區(qū)參加數(shù)學(xué)競賽的 1005名學(xué)生的數(shù)學(xué) 成績 ,打算從中抽取一個(gè)容量為 50的樣本 ,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣 的方法 ,需要從總體中剔除

13、 5個(gè)個(gè)體 ,在整個(gè)過程中 ,每個(gè) 個(gè)體被剔除的概率和每個(gè)個(gè)體被抽取的概率分別為 _______. 三種抽樣方法的應(yīng)用 用樣本估計(jì)總體 簡單隨機(jī)抽樣 ,系統(tǒng)抽樣 ,分層抽樣 樣本中包含的個(gè)體的個(gè)數(shù) 總體中的個(gè)體數(shù)較少 總體中的個(gè)體數(shù)較多 總體由差異明顯的幾部分組成 A 10 05 50, 10 05 5 .A 1000 50, 1005 1000 .D 10 05 50, 10 05 10 00 .B 10 00 50, 10 05 5 .C 例 2:下列抽取樣本的方式是屬于哪種抽樣方法 ? (1)某市為了了解職工的家庭生產(chǎn)狀況 ,先將職工所在的國民經(jīng)濟(jì) 行業(yè)分成 13類 ,然后每個(gè)行業(yè)抽 1

14、/100的職工家庭進(jìn)行調(diào)查 ,這 種抽樣方法是 ____________________. 分層抽樣 (2)某學(xué)校高二年級(jí)有 15名男籃運(yùn)動(dòng)員 ,要從中選出 3人調(diào)查學(xué)習(xí) 負(fù)擔(dān)情況 ,這種抽樣方法是 ____________________. 簡單隨機(jī)抽樣 (3)某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品 ,用傳送帶將產(chǎn)品送入包裝車間 ,質(zhì)檢員每隔 5分鐘從傳送帶某一位置取一產(chǎn)品進(jìn)行檢測 ,則這種抽樣方法是 _________________. 系統(tǒng)抽樣 (4)學(xué)校會(huì)議廳有 32排座位 ,每排有 40個(gè)座位 (座位號(hào)為 140 ),一 次報(bào)告會(huì)坐滿了聽眾 .會(huì)后為聽取意見 ,留下了座位號(hào)為 18的 所有的 32名聽眾進(jìn)

15、行座談 ,則這種抽樣方法是 ____________. 系統(tǒng)抽樣 (5)在某一地區(qū)搞一市場調(diào)查 ,規(guī)定在商場門口隨機(jī)地對(duì)一個(gè)人進(jìn) 行詢問調(diào)查 ,直到調(diào)查到事先規(guī)定的調(diào)查人數(shù)為止 ,則這種抽 樣方法是 ______________________. 偶遇抽樣 說明 :這樣的調(diào)查與所學(xué)的三種抽樣方法的區(qū)別在于 :事先不知 總體且不能保證每個(gè)個(gè)體按事先規(guī)定的概率入樣 . 例 3:填空題 : (1)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為 n,用簡單隨機(jī)抽樣的方法 ,抽取一個(gè)容量 為 2的樣本 ,個(gè)體 a第一次未被抽到的概率為 _______;個(gè)體 a 第一次未被抽到但第二次被抽到的概率為 _______;整個(gè)抽 樣過程中個(gè)

16、體 a被抽到的概率為 _______. (n-1)/n 1/n 2/n (2)一個(gè)總體的 80個(gè)個(gè)體編號(hào)為 0,1,2,79, 并依次將其分成 8個(gè) 小組，組號(hào)為 0, 1,2,7, 要用 (錯(cuò)位 )系統(tǒng)抽樣方法抽取一 個(gè)容量為 8的樣本 ,即規(guī)定先在第 0組隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼 ,記為 m,依次錯(cuò)位地得到后面各組的號(hào)碼 ,即第 k組中抽取的號(hào)碼的 個(gè)位數(shù)為 m+k或 m+k-10(若 m+k10).則在 m=6時(shí) ,所抽到的 8個(gè)號(hào)碼是 __________________________________. 注 :簡單隨機(jī)抽樣中每一個(gè)個(gè)體的入樣概率為 M/n. 6,17,28,39,40,51,

17、62,73. (3)某縣三個(gè)鎮(zhèn)共有高中生 2000名 ,且這三個(gè)鎮(zhèn)的高中生人數(shù)之 比為 2:3:5,若學(xué)生甲被抽到的概率為 1/10,則這三個(gè)鎮(zhèn)被抽到 的高中生人數(shù)分別是 ______________________. 40,60,100. 例 4:某公司下屬四個(gè)公司 ,且各分公司有員工 180人 ,150人 ,150人 , 120人 ,由于各分公司地域的差異而影響經(jīng)營效益與員工的消費(fèi) 水平 ,現(xiàn)要從各分公司抽取 60名員工調(diào)查消費(fèi)情況 ,用什么方法抽 樣較好 ,各分公司分別抽多少人 ? 解 :用分層抽樣的方法較好 . 設(shè)各分公司分別抽取 (人 ),抽取總數(shù) n=60人 ,各公 司員工總數(shù)為

18、N=180+150+150+120=600人 . 4321 , nnnn .1260 600 120 1560 600 150 1560 600 150 ;1860 600 180 43 21 人人； 人；人 nn nn 例 5:從 2004名同學(xué)中抽取一個(gè)容量為 20的樣本 ,試敘述系統(tǒng)抽樣 的步驟 . 解 :(1)采用隨機(jī)的方式給個(gè)體編號(hào) :1,2,2004. (2)剔除 4個(gè)個(gè)體 . (3)分段 :由于 20:2000=1:100,故將總體分為 20個(gè)部分 ,其中每 一部分 100個(gè)個(gè)體 . (4)在第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼 ,比如 66號(hào) ; (5)起始號(hào)加上各段中所含的個(gè)體數(shù) ,如

19、166,266,. 注 :從 N個(gè)編號(hào)中抽取 n個(gè)號(hào)碼入樣 ,考慮用系統(tǒng)抽樣的方式抽樣 , 則抽樣的間隔為 N/n. 練習(xí) 1:從 50名學(xué)生中抽取 10名學(xué)生對(duì)他們的身高進(jìn)行檢測 ,應(yīng)采 用哪種方法抽樣 ?寫出抽樣過程 . 解 :用簡單隨機(jī)抽樣較好 . 將 50名學(xué)生的學(xué)號(hào)寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上 ,然后將這些 號(hào)簽放在同一盒子中進(jìn)行均勻攪拌 ,抽簽時(shí) ,每次抽出一個(gè)號(hào)簽 , 連續(xù)抽取 10次 ,則所抽得的 10個(gè)號(hào)簽上的學(xué)生學(xué)號(hào)所對(duì)應(yīng)著選 出的 10個(gè)學(xué)生 . 練習(xí) 2:某高校有一萬名大學(xué)生 ,從中抽取 100名學(xué)生進(jìn)行健康檢查 , 采用哪種方法抽樣較好 ?寫出抽樣過程 . 解 :由于總

20、體個(gè)數(shù)為 10000,數(shù)量較大 ,因而采用系統(tǒng)抽樣法 . 具體過程如下 : (1)采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào) 1,2,3,10000. (2)把整個(gè)總體分成 10000/100=100組 ; (3)在第一組中用簡單隨機(jī)抽樣確定一個(gè)起始個(gè)體編號(hào) m; (4)將 m+100,m+200,m+9900 分別到第 2,3,100 個(gè)編號(hào)從 而獲得整個(gè)樣本 . 練習(xí) 3:一個(gè)地區(qū)有 5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn) ,人口 3萬 ,其人口比例為 3:2:5:2:3,要 從 3萬人中抽取 300人進(jìn)行某種疾病的發(fā)病分析 .已知這種 疾病與不同的地理位置及水土有關(guān) ,問應(yīng)采用哪種抽樣方 法 ?并寫出具體過程 . 解 :因?yàn)榧?/p>

21、病與不同的地理位置及水土有關(guān) ,因而不同鄉(xiāng)鎮(zhèn)的發(fā)病 情況差異明顯 ,因而采用分層抽樣方法 . 具體過程如下 : (1)將 3萬人分成 5層 ,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)一層 ; (2)按照樣本容量與總體容量的比例及各鄉(xiāng)鎮(zhèn)的人口比例隨機(jī) 抽取各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的樣本 ,通過計(jì)算 ,易知各鄉(xiāng)鎮(zhèn)應(yīng)抽取的 樣本數(shù)分別為 60,40,100,40,60個(gè) . (3)將 300個(gè)人組成一起 ,即得到一組樣本 . 練習(xí) 4:光明中學(xué)有高一學(xué)生 400人 ,高二學(xué)生 320人 ,高三學(xué)生 400 人 ,以每人被抽取的概率為 0.2,向該中學(xué)抽取一個(gè)容量為 n 的樣本 ,則 n=________________. 224 2)我們所學(xué)

22、的三種抽樣方法都是事先規(guī)定每個(gè)個(gè)體的入樣概率相等 (一般的分層抽樣可規(guī)定不同層有不同的入樣概率 ,我們所學(xué)的分層 抽樣嚴(yán)格地講 ,稱為按比例分層抽樣 ).這體現(xiàn)了這三種抽樣方法的客 觀性和公平性 . 3)簡單隨機(jī)抽樣是系統(tǒng)抽樣與分層抽樣的基礎(chǔ) ;系統(tǒng)抽樣與分層 抽樣是簡單隨機(jī)抽樣的發(fā)展 . 例 5:某中學(xué)有學(xué)生 2000名 ,為了了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況 ,抽 5%的學(xué) 生進(jìn)行調(diào)查 ,你將如何設(shè)計(jì)抽樣方法 ? 解 :根據(jù)不同的要求可有不同的抽樣方法 . 現(xiàn)在抽 5%的學(xué)生 ,一般來說 ,一個(gè)班級(jí)的人數(shù)在 5060, 用系統(tǒng) 抽樣方法每個(gè)班可抽到 2 3人 ,可以采用系統(tǒng)抽樣 . 若抽樣比例少于 2%,而學(xué)校有文、理分班或快、慢分班等學(xué)生 學(xué)習(xí)程度不一致的情形 ,應(yīng)采用分層抽樣 .