高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 課時3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題課件 文.ppt

§3.2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,課時3 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合問題,內(nèi)容索引,題型一 用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題,題型二 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題,題型三 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題,審題路線圖系列,練出高分,思想方法 感悟提高,題型一 用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題,題型一 用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問題,命題點1 解不等式,又(2)0，當(dāng)且僅當(dāng)00，此時x2f(x)0. 又f(x)為奇函數(shù)，h(x)x2f(x)也為奇函數(shù). 故x2f(x)0的解集為(，2)(0,2).,(，2)(0,2),解析答案,命題點2 證明不等式,解析答案,又F(0)0，F(xiàn)(1)0，所以當(dāng)x0,1時，F(xiàn)(x)0，,解析答案,記H(x)sin xx， 則當(dāng)x(0,1)時，H(x)cos x10， 所以H(x)在0,1上是減函數(shù)， 則H(x)H(0)0，即sin xx.,命題點3 不等式恒成立問題,解析答案,思維升華,又x0，axln xx3， 令g(x)xln xx3， 則h(x)g(x)1ln x3x2，,當(dāng)x(1，)時，h(x)0， h(x)在(1，)上是減函數(shù)， h(x)h(1)20，即g(x)0. g(x)在(1，)上也是減函數(shù)，g(x)g(1)1， 當(dāng)a1時，f(x)x2在(1，)上恒成立,思維升華,思維升華,(1)利用導(dǎo)數(shù)解不等式，一般可構(gòu)造函數(shù)，利用已知條件確定函數(shù)單調(diào)性解不等式； (2)證明不等式f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，利用導(dǎo)數(shù)求F(x)的值域，得到F(x)0即可； (3)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.,設(shè)aR，已知函數(shù)f(x)ax33x2. (1)當(dāng)a1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,解 當(dāng)a1時，f(x)x33x2， 則f(x)3x26x. 由f(x)0，得x2；由f(x)0，得0x2. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)，(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2),(2)若對任意的x1,3，有f(x)f(x)0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍,解析答案,返回,返回,解 依題意，對x1,3，ax33x23ax26x0恒成立，,所以h(x)在區(qū)間1,3上是減函數(shù)，,題型二 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題,題型二 利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題,例4 (2014·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)x33x2ax2，曲線yf(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標(biāo)為2. (1)求a； 解 f(x)3x26xa，f(0)a. 曲線yf(x)在點(0,2)處的切線方程為yax2.,解析答案,(2)證明：當(dāng)k1時，曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點.,解析答案,思維升華,證明 由(1)知，f(x)x33x2x2. 設(shè)g(x)f(x)kx2x33x2(1k)x4. 由題設(shè)知1k0. 當(dāng)x0時，g(x)3x26x1k0，g(x)單調(diào)遞增， g(1)k10時，令h(x)x33x24， 則g(x)h(x)(1k)xh(x).,解析答案,思維升華,h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)單調(diào)遞減，在(2，)單調(diào)遞增， 所以g(x)h(x)h(2)0. 所以g(x)0在(0，)沒有實根. 綜上，g(x)0在R有唯一實根， 即曲線yf(x)與直線ykx2只有一個交點.,思維升華,思維升華,研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).,已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x的圖象與直線yb有兩個不同交點，求b的取值范圍. 解 f(x)x(2cos x)， 令f(x)0，得x0. 當(dāng)x0時，f(x)0，f(x)在(0，)上遞增. 當(dāng)x1時，曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個不同交點. 綜上可知，b的取值范圍是(1，).,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,返回,題型三 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題,題型三 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題,(1)求a的值； 解 因為x5時，y11，,解析答案,(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,解析答案,思維升華,解 由(1)可知，該商品每日的銷售量為,從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6). 于是，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,解析答案,思維升華,由上表可得，x4時，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值. 所以，當(dāng)x4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42. 答 當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.,思維升華,思維升華,在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量、建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合.用導(dǎo)數(shù)求實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義可知該極值點就是最值點.,解析 由yx239x400， 得x1或x40， 由于040時，y0. 所以當(dāng)x40時，y有最小值.,40,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,返回,審題路線圖系列,(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；,審題路線圖系列,一審條件挖隱含,審題路線圖,解析答案,返回,溫馨提醒,審題路線圖,(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M (正確理解“存在”的含義) g(x1)g(x2)maxM 挖掘g(x1)g(x2)max的隱含實質(zhì) g(x)maxg(x)minM 求得M的最大整數(shù)值,審題路線圖,解析答案,溫馨提醒,(2)對任意s，t ，2都有f(s)g(t) (理解“任意”的含義) f(x)ming(x)max 求得g(x)max1 xln x1恒成立 分離參數(shù)a axx2ln x恒成立 求h(x)xx2ln x的最大值 ah(x)maxh(1)1 a1,解析答案,溫馨提醒,規(guī)范解答 解 (1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等價于g(x1)g(x2)maxM. 2分,g(x)maxg(2)1.,又x0,2，,解析答案,溫馨提醒,則滿足條件的最大整數(shù)M4. 6分,解析答案,溫馨提醒,所以h(x)maxh(1)1， 13分 所以a1，即實數(shù)a的取值范圍是1，). 14分,溫馨提醒,溫馨提醒,返回,(1)“恒成立”、“存在性”問題一定要正確理解問題實質(zhì)，深刻挖掘條件內(nèi)含，進行等價轉(zhuǎn)化.(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問題中的一種常用方法，解題過程中盡量采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.,思想方法 感悟提高,1.用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式f(x)g(x)時，找到函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點是解題的突破口. 2.在討論方程的根的個數(shù)、研究函數(shù)圖象與x軸(或某直線)的交點個數(shù)、不等式恒成立等問題時，常常需要求出其中參數(shù)的取值范圍，這類問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極(最)值的應(yīng)用. 3.在實際問題中，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么只要根據(jù)實際意義判定是最大值還是最小值即可，不必再與端點的函數(shù)值比較.,方法與技巧,1.利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題時，若分離參數(shù)后得到“af(x)恒成立”，要根據(jù)f(x)的值確定a的范圍中端點能否取到. 2.利用導(dǎo)數(shù)解決實際生活中的優(yōu)化問題，要注意問題的實際意義.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由(1)得x(x2)ax在區(qū)間(，0上恒成立. 當(dāng)x0時，aR； 當(dāng)x0時，有x2a恒成立， 所以a2.故a2.,由(2)得ln(x1)ax0在區(qū)間(0，)上恒成立， 設(shè)h(x)ln(x1)ax(x0)，,解析答案,當(dāng)a0時，h(x)0，故h(x)為增函數(shù)， 所以h(x)h(0)0恒成立；,故h(x)為減函數(shù)， 所以h(x)h(0)0恒成立，顯然不符合題意；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,當(dāng)00，滿足h(x0)ln(x01)ax00成立.,則h(x0)ln 520成立，可知0a1時，不符合題意. 故a0. 由可知a的取值范圍是2,0. 答案 2,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 構(gòu)造函數(shù)h(x)xf(x)， 則h(x)f(x)x·f(x) yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)， h(x)是定義在R上的偶函數(shù) 當(dāng)x0時，h(x)f(x)x·f(x)0， 此時函數(shù)h(x)單調(diào)遞增,3.若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：yx327x123(x0)，則獲得最大利潤時的年產(chǎn)量為_百萬件. 解析 y3x2273(x3)(x3)， 當(dāng)00； 當(dāng)x3時，y0. 故當(dāng)x3時，該商品的年利潤最大.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,4.若a0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值為_. 解析 由題意得f(x)12x22ax2b. f(x)在x1處有極值， f(1)122a2b0，ab6. a0，b0，,9,當(dāng)且僅當(dāng)ab3時取等號， 易知此時f(x)在x1處有極小值，滿足題意，ab的最大值為9.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,所以2x2b0，于x22a0在x(a，b)上恒成立. x22a0的解集為,解析 由題意知f(x)x22a，g(x)2x2b， 函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)性相反， 則有(x22a)·(2x2b)0在x(a，b)上恒成立，又0ab，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 f(x)2axb，f(0)b0.,2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,7.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，則不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)0的解集為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 由2f(x)xf(x)x2，x0， 即為F(x2 014)F(2)0，即F(x2 014)F(2)， 又因為F(x)在(，0)上是減函數(shù)， 所以x2 0142，所以x2 016. 答案 (，2 016),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若對于任意實數(shù)x0，函數(shù)f(x)exax恒大于零，則實數(shù)a的取值范圍是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 當(dāng)x0時，f(x)exax0恒成立. 若x0，a為任意實數(shù)，f(x)exax0恒成立. 若x0，f(x)exax0恒成立，,當(dāng)x(0,1)時，Q(x)0，則Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增， 當(dāng)x(1，)時，Q(x)0恒成立，a的取值范圍為(e，). 答案 (e，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,9.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 由f(x)ex2x2a，xR， 知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln 2. 于是當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：,故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)， f(x)在xln 2處取得極小值， 極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a22ln 22a.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求證：當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1. 證明 設(shè)g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知當(dāng)aln 21時，g(x)取最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)0. 于是對任意xR，都有g(shù)(x)0， 所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增. 于是當(dāng)aln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)g(0). 而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(shù)(x)0. 即exx22ax10，故當(dāng)aln 21且x0時，exx22ax1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,10.某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解 因為蓄水池側(cè)面的總成本為100·2rh200rh元， 底面的總成本為160r2元， 所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元. 又根據(jù)題意200rh160r212 000，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.,令V(r)0，解得r5或5(因為r5不在定義域內(nèi)，舍去). 當(dāng)r(0,5)時，V(r)0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；,由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時h8. 即當(dāng)r5，h8時，該蓄水池的體積最大.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,11.設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a，b，cR).若x1為函數(shù)g(x)f(x)ex的一個極值點，則下列圖象不可能為yf(x)的圖象的是_.(填序號),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,ca0，ca.f(x)ax2bxa. 若方程ax2bxa0有兩根x1，x2，,答案 ,解析 設(shè)h(x)f(x)ex， 則h(x)(2axb)ex(ax2bxc)ex(ax22axbxbc)ex. 由x1為函數(shù)f(x)ex的一個極值點.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,12.已知函數(shù)f(x)ax33x1對x(0,1總有f(x)0成立，則實數(shù)a的取值范圍是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,g(x)與g(x)隨x的變化情況如下表：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,因此g(x)的最大值為4， 則實數(shù)a的取值范圍是4，). 答案 4，),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點x0，且x00，則a的取值范圍是_.,解析 a0時，不符合題意， a0時，f(x)3ax26x，,若a0，則由圖象知f(x)有負(fù)數(shù)零點，不符合題意. 則a0知，,化簡得a24，又a0，所以a2.,(，2),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,14.設(shè)函數(shù)f(x)a2ln xx2ax，a0. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； 解 因為f(x)a2ln xx2ax，其中x0，,由于a0， 所以f(x)的增區(qū)間為(0，a)，減區(qū)間為(a，).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)求所有的實數(shù)a，使e1f(x)e2對x1，e恒成立. 解 由題意得f(1)a1e1，即ae. 由(1)知f(x)在1，e內(nèi)單調(diào)遞增， 要使e1f(x)e2對x1，e恒成立.,解得ae.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,令f(x)0，得x1， 因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1，) 令f(x)0，得0x1， 因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1) 綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,返回,(2)設(shè)mR，對任意的a(1,1)，總存在x01，e，使得不等式maf(x0)0成立，求實數(shù)m的取值范圍,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 依題意，maf(x)max. 由(1)知，f(x)在x1，e上是增函數(shù),返回,