定積分概念性質(zhì)牛頓萊布尼茨習(xí)題

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1、1 5.1 定積分的定義5.2 微積分基本公式第5章 定積分5.2.2 積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)5.2.3 牛頓-萊布尼茨公式 2 例 : 求 曲 線 y=x2、 直 線 x=1和 x軸 所 圍 成 的 曲 邊 三 角 形 的 面 積 。 x yO y=x2 1S題型1. 用定積分定義求定積分1 20S x dx= 3 S x yO y=x2 12n1n 1nn. .1in in21( )in (4)取 極 限 取 S n的 極 限 ， 得 曲 邊 三 角 形 面 積 ： S= nlim S n )211)(11(31lim nnn = = 31 。 S= nli S n )211)(11(31

2、li nnn = = 31 。 1 20 x dx= (1)分 割 ( 1,2,., 1)ix i n nn= = 直 線 把 曲 邊 三 角 形 分 成 個 小 曲 邊 梯 形 。0,1 n將 區(qū) 間 分 成 個 相 等 的 小 區(qū) 間 。1 2 1. .i n nS s s s s s= (2)近 似 i第 個 小 曲 邊 梯 形 面 積 :21 1s ( ) ( 1,2,., )i i i nn n = 2 2 21 1 1 1 2 1 10 ( ) ( ) . ( )n nS n n n n n n n= 6 )12()1(13 = nnnn )211)(11(31 nn = 。 小

3、矩 形 面 積 的 總 和 ：(3)求 和 nS S 2 2 2 1 2 11 +2 + + 6n n nn =提 示 ： 4 S x yO y=x2 12n1n 1nn. .1in in2( )in (4)取 極 限 取 S n的 極 限 ， 得 曲 邊 三 角 形 面 積 ： S= nlim S n )211)(11(31lim nnn = = 31 。 nli n )(lin 。 13= ( 1,2,., 1)ix i n nn= = 直 線 把 曲 邊 三 角 形 分 成 個 小 曲 邊 梯 形 。(1)分 割 0,1 n將 區(qū) 間 分 成 個 相 等 的 小 區(qū) 間 。1 2 1.

4、.i n nS s s s s s= 21( )ini第 個 小 曲 邊 梯 形 面 積 :(2)近 似 21s ( ) ( 1,2,., )i i i nn n =小 矩 形 面 積 的 總 和 ： 2 2 2 221 1 1 2 1 3 1( ) ( ) ( ) . (1)1 2 16nS n n n n n n nn nn= =(3)求 和 5 分 割求 和近 似取 極 限 把 整 體 的 問 題 分 成 局 部 的 問 題在 局 部 上 “ 以 直 代 曲 ” , 求 出局 部 的 近 似 值 ；得 到 整 體 的 一 個 近 似 值 ；得 到 整 體 量 的 精 確 值 ； 例 :

5、求 曲 線 y=x2、 直 線 x=1和 x軸 所 圍 成 的 曲 邊 三 角 形 的 面 積 。 6 練 習(xí) 1: 利 用 定 積 分 定 義 計 算練習(xí)1. 用定積分定義求定積分 練 習(xí) 2:利用定積分定義計算 練 習(xí) 3:利用定積分定義計算3020 xdx20 2xdx 2010 2xdx 7 當(dāng) f(x)0 時 ， 積 分 dxxfba )( 在 幾 何 上 表 示 由 y=f (x)、 ,x a x b x= = 及 軸 所 圍 成 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 。 y=f (x) a bO x y ( ) ba f x dx ba f (x)dx， 即ba f (x)dx = =

6、 ni 10limf ( i)xi。 0lim = ni ii xcf1 )(S= 8 ini iini i xcfxcfS S xfyxfxf = = = 1010 )(lim)(lim , )(,0)(,0)( 則梯 形 面 積 為 為 曲 邊 的 曲 邊設(shè) 以時 =ba ba Sdxxf dxxf)( )(從 而 有 y xO a bSy = f(x) 9 練 習(xí) 4: 練習(xí). 用幾何意義求定積分 練 習(xí) 5: 練 習(xí) 6: 1 20 1 1x dx 表 示 圓 心 在 原 點 ， 半 徑 為 的 上 半 圓 面 積2 22 2 2x dx 表 示 圓 心 在 原 點 ， 半 徑 為 的

7、 上 半 圓 面 積 。 2 22 4 2x dx 表 示 圓 心 在 原 點 ， 半 徑 為 的 四 分 之 一 圓 面 積 。 10 性質(zhì)1:題型2. 用定積分性質(zhì)求定積分 性 質(zhì) 2: 性 質(zhì) 3: 性 質(zhì) 4: b b ba a af x g x dx f x dx g x dx = b ba akf x dx k f x dx= , b c b a a ca c b f x dx f x dx g x dx = 設(shè) 則 1b ba adx dx b a= = 11 性質(zhì)5: 題型2. 用定積分性質(zhì)求定積分 推 論 1: 推 論 2: , baa b f x f x dx 若 在 上

8、， 0,則 0 b ba af x dx f x dx a b 其 中 , b ba aa b f x g x f x dx g x dx 若 在 上 ， ,則 12 題型2. 用定積分性質(zhì)求定積分 性質(zhì)6: ,baM m f x a bm b a f x dx M b a 設(shè) 及 分 別 是 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 的 最 大 值 及 最 小 值 ， 則 性質(zhì)7: , =baf x abab f x dx f b a 如 果 函 數(shù) 在 區(qū) 間 上 連 續(xù) ， 則 在上 至 少 存 在 一 點 ， 使 下 式 成 立 ： 13 練習(xí)2. 用定積分性質(zhì)求定積分 例 : 2 2 21 2 3 1

9、 2 30 0 0sin tan _ _I xdx I xdx I xdx I I I = = = 積 分 、 與 的 關(guān) 系 是 解 答 : , sin tan ,2x x x x 當(dāng) 0 時 有 根 據(jù) 定 積 分 的 保 號 性 ， 2 2 20 0 0sin tanxdx xdx xdx 有 14 練習(xí)2. 用定積分性質(zhì)求定積分 練 習(xí) 7: 2 21 2 1 21 11 1 _I xdx I x xdx I I= = 積 分 與 的 關(guān) 系 是 練 習(xí) 8: 2 221 2 1 21 11 1 _I x xdx I x xdx I I= = 積 分 與 的 關(guān) 系 是 練 習(xí) 9:

10、10 1021 2 1 24 41 1 _I x xdx I xdx I I= = 積 分 與 的 關(guān) 系 是 15 題型3. 積分上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 公式: xa xax f t dtdx f t dt f xdx = = = 例 : 22 50 x t td e dtdx = 2 22 5 2 50 ,x t t t tx e dt f t e = =提 示 ： 22 5 x xx f x e = = 16 練 習(xí) 10: 練習(xí)3. 積分上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 練 習(xí) 11: 練 習(xí) 12: 2 12x t td e dtdx = 22 51x t td e dtdx = 25 510 x td e

11、dtdx = 17 推廣. 積分上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 例 : 2 12x t td xe dtdx = 解答: 2 22 2 2 22 2 1 12 21 12 21 12 2 1 12 x xt t t tx xt t t tx xt t t t x t t x x xe dt x e dtxe dt x e dtx e dt x e dte dt xe = = = 18 推廣練習(xí). 積分上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 練 習(xí) 13: 2 12 sinx t td xe dtdx = 練 習(xí) 14: 22 51x x t td e e dtdx = 練 習(xí) 15: 25 510lnx td xe dtdx = 1

12、9 推廣練習(xí). 積分上限函數(shù)求導(dǎo)數(shù) 練 習(xí) 16: 2 2200 1lim 1x t xx t e dtx 練 習(xí) 18: 21cos 20lim txx e dtx = 練 習(xí) 17: 2 2 200 20lim x txx te dtte dt 20 題型4. 牛頓-萊布尼茨公式 公式: , ,baf x a b F x f x a bf x dx F b F a= 設(shè) 是 上 的 連 續(xù) 函 數(shù) ， 是 在 上 的 一 個 的 原 函 數(shù) ，則 例 : 用 牛 頓 -萊 布 尼 茨 公 式 計 算 定 積 分 1 20 11 dxx 21arctan 1x x= 提 示 :1 1 2 0

13、0 1 arctan arctan1 arctan01 4dx xx = = = 21 練 習(xí) 19:用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分練習(xí)4. 用牛頓-萊布尼茨公式求定積分 練 習(xí) 20:用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分 練 習(xí) 21:用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分11 22 11 dxx 10 11 dxx 1 20 xe dx 22 練習(xí). 用牛頓-萊布尼茨公式求定積分 例:用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分42 xe dx 解答:被積函數(shù)中有絕對值，則為分段函數(shù)，先將被積函數(shù)分段：, 0, 0 xx xe xe e x = 4 0 42 2 0 x x xe dx e dx e dx = 0 4

14、 0 2 4 02 0 2 4 2 41 1 2x xe e e e e ee e e e = = = = 23 練習(xí). 用牛頓-萊布尼茨公式求定積分 練 習(xí) 22:用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分21 1x dx 練 習(xí) 23: 21, 1 0 ,1 ,0 2xe xf x f x dxx x = 設(shè) 求 練 習(xí) 24: 43 0max ,1f x x f x dx= 已 知 ， 計 算 24 推廣. 用牛頓-萊布尼茨公式求積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù) 例 :求下列積分的導(dǎo)數(shù)arctan 2sin x txd e dtdx 解 答 :公 式 xx f t dt f x x f x x = arctan 2 2arctan 2sinsin arctan sinx t x xxd e dt e x e xdx = 2arctan 2sin 2 cos1 x xe e xx= 25 推廣. 用牛頓-萊布尼茨公式求積分上限函數(shù)導(dǎo)數(shù) 練 習(xí) 26:求下列積分的導(dǎo)數(shù) 1 2cosxd t dtdx 練 習(xí) 27:用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分2tan 1xe xd dtdx t 練 習(xí) 25:求下列積分的導(dǎo)數(shù)3 4sin 1x xd dtdx t