高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計(jì)數(shù)原理 10.2 排列與組合課件 理.ppt

,第十章 計(jì)數(shù)原理,§10.2 排列與組合,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類 深度剖析,易錯(cuò)警示系列,思想方法 感悟提高,練出高分,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.排列與組合的概念,一定的順序,知識(shí)梳理,1,答案,2.排列數(shù)與組合數(shù) (1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用 表示. (2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的 的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用 表示.,所有排列,所有組合,答案,3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì),n(n1)(n2)(nm1),n！,答案,判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”) (1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列.( ) (2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序.( ) (3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n1)！n！n·n！.( ),×,×,答案,思考辨析,1.(教材改編)用數(shù)字1、2、3、4、5組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為_.,48,考點(diǎn)自測,2,解析答案,1,2,3,4,5,2.某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有_種.,解析答案,1,2,3,4,5,方法二 從2本同樣的畫冊，3本同樣的集郵冊中取出4本有兩種取法： 第一種：從2本畫冊中取出1本，將3本集郵冊全部取出； 第二種：將2本畫冊全部取出，從3本集郵冊中取出2本.由于畫冊是相同的，集郵冊也是相同的， 因此第一種取法中只需從4位朋友中選出1人贈(zèng)送畫冊，其余的贈(zèng)送集郵冊，,解析答案,1,2,3,4,5,第二種取法中只需從4位朋友中選取2人贈(zèng)送畫冊，其余的贈(zèng)送集郵冊，,因此共有4610種贈(zèng)送方法.,答案 10,1,2,3,4,5,3.(2014·遼寧改編)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為_. 解析 “插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，,24,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動(dòng)，其中男女生都有的選法種數(shù)為_. 解析 分兩類：男1女2或男2女1，,30,解析答案,1,2,3,4,5,5.某市擬從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度要啟動(dòng)的項(xiàng)目，則重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法的種數(shù)是_. 解析 從4個(gè)重點(diǎn)項(xiàng)目和6個(gè)一般項(xiàng)目中各選2個(gè)項(xiàng)目作為本年度啟動(dòng)的項(xiàng)目，,故重點(diǎn)項(xiàng)目A和一般項(xiàng)目B至少有一個(gè)被選中的不同選法種數(shù)是903060.,60,解析答案,1,2,3,4,5,返回,題型分類 深度剖析,例1 (1)3名男生，4名女生，選其中5人排成一排，則有_種不同的排法. 解析 問題即為從7個(gè)元素中選出5個(gè)全排列，,2 520,題型一 排列問題,解析答案,(2)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有_種.,解析答案,若C排在第2位，A和B有C右邊的4個(gè)位置可以選，,若C排在第3位，則A，B可排C的左側(cè)或右側(cè)，,若C排在第4,5,6位時(shí)，其排法數(shù)與排在第3,2,1位相同， 故共有2×(1207248)480種排法. 答案 480,1.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“排成前后兩排，前排3人，后排4人”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,引申探究,解析答案,2.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排，男、女各站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,解析答案,3.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排，男生不能站在一起”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,解析答案,4.本例(1)中將條件“5人排成一排”改為“全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾”，其他條件不變，則有多少種不同的排法？,解析答案,思維升華,思維升華,排列應(yīng)用問題的分類與解法 (1)對(duì)于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過多的問題可以采用間接法. (2)對(duì)相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.,用0,1,2,3,4,5這6個(gè)數(shù)字. (1)能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)？ 解 符合要求的四位偶數(shù)可分為三類：,跟蹤訓(xùn)練1,解析答案,(2)能組成多少個(gè)奇數(shù)數(shù)字互不相鄰的六位數(shù)(無重復(fù)數(shù)字)? 解 先排0,2,4，再讓1,3,5插空，,解析答案,例2 某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種. (1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？,某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.,題型二 組合問題,解析答案,(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？,某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5 984種.,解析答案,(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 100種. (4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2 555種.,解析答案,(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？,至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6 090種.,解析答案,思維升華,思維升華,組合問題常有以下兩類題型變化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取. (2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.,從10位學(xué)生中選出5人參加數(shù)學(xué)競賽. (1)甲必須入選的有多少種不同的選法？ 解 學(xué)生甲入選，再從剩下的9人選4人，,(2)甲、乙、丙不能同時(shí)都入選的有多少種不同的選法？,故甲、乙、丙不能同時(shí)都入選的有25221231種不同的選法.,跟蹤訓(xùn)練2,解析答案,命題點(diǎn)1 相鄰問題 例3 一排9個(gè)座位坐了3個(gè)三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為_.(用式子表示) 解析 把一家三口看作一個(gè)排列，然后再排列這3家， 所以有(3！)4種坐法.,(3！)4,題型三 排列與組合問題的綜合應(yīng)用,解析答案,命題點(diǎn)2 相間問題 例4 (2014·重慶改編)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是_種.,解析答案,解析 先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空. 安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”，“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”. 對(duì)于第一種情況，形式為“小品1歌舞1小品2相聲”，,解析答案,同理，第三種情況也有36種安排方法，對(duì)于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“小品1相聲小品2”，,故共有363648120種安排方法. 答案 120,命題點(diǎn)3 特殊元素(位置)問題 例5 (2014·四川改編)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有_種.,所以共有12096216種方法.,216,解析答案,思維升華,思維升華,排列與組合綜合問題的常見類型及解題策略 (1)相鄰問題捆綁法.在特定條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素視為一個(gè)元素來考慮，待整個(gè)問題排好之后，再考慮它們“內(nèi)部”的排列. (2)相間問題插空法.先把一般元素排好，然后把特定元素插在它們之間或兩端的空當(dāng)中，它與捆綁法有同等作用. (3)特殊元素(位置)優(yōu)先安排法.優(yōu)先考慮問題中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置. (4)多元問題分類法.將符合條件的排列分為幾類，而每一類的排列數(shù)較易求出，然后根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出排列總數(shù).,(1)某校高二年級(jí)共有6個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_.,方法二 先從6個(gè)班級(jí)中選2個(gè)班級(jí)有C 15種不同方法，,90,跟蹤訓(xùn)練3,解析答案,(2)(2014·浙江)在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_種.,60,解析答案,返回,易錯(cuò)警示系列,典例 有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從20個(gè)零件中任意取3個(gè)，那么至少有1個(gè)一等品的不同取法有_種.,14.排列、組合問題計(jì)算重、漏致誤,易錯(cuò)警示系列,解析答案,易錯(cuò)分析,溫馨提醒,返回,解析 方法一 將“至少有1個(gè)是一等品的不同取法”分三類：“恰有1個(gè)一等品”，“恰有2個(gè)一等品”，“恰有3個(gè)一等品”，,方法二 考慮其對(duì)立事件“3個(gè)都是二等品”，,答案 1 136,溫馨提醒,返回,溫馨提醒,(1)排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素(位置)優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問題時(shí)必須心思細(xì)膩，考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題. (2)“至少、至多”型問題不能直接利用分步計(jì)數(shù)原理求解，多采用分類求解或轉(zhuǎn)化為它的對(duì)立事件求解.,思想方法 感悟提高,1.對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮： (1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； (2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； (3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).,方法與技巧,2.排列、組合問題的求解方法與技巧： (1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價(jià)條件.,求解排列與組合問題的注意點(diǎn)： (1)解排列與組合綜合題一般是先選后排，或充分利用元素的性質(zhì)進(jìn)行分類、分步，再利用兩個(gè)原理做最后處理. (2)解受條件限制的組合題，通常用直接法(合理分類)或間接法(排除法)來解決，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.,失誤與防范,返回,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1.若從1,2,3，9這9個(gè)整數(shù)中同時(shí)取4個(gè)不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有_種. 解析 共有4個(gè)不同的偶數(shù)和5個(gè)不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)， 則4個(gè)數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或2個(gè)奇數(shù)和2個(gè)偶數(shù)，,66,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2.10名同學(xué)合影，站成了前排3人，后排7人.現(xiàn)攝影師要從后排7人中抽2人站前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)為_(用數(shù)字作答).,420,解析答案,3.某臺(tái)小型晚會(huì)由6個(gè)節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位.該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有_種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 42,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,4.在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有_種.,由分步計(jì)數(shù)原理，實(shí)驗(yàn)編排共有2×4896種方法.,96,解析答案,5.(2014·安徽改編)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有_對(duì). 解析 正方體中共有12條面對(duì)角線，任取兩條作為一對(duì)共有 66對(duì)，12條對(duì)角線中的兩條所構(gòu)成的關(guān)系有平行、垂直、成60°角. 相對(duì)兩面上的4條對(duì)角線組成的 6對(duì)組合中，平行有2對(duì)，垂直有4對(duì)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,48,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,6.(2015·廣東)某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對(duì)方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了_條畢業(yè)留言. 解析 依題意知兩兩彼此給對(duì)方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)， 所以全班共寫了 40×391 560條畢業(yè)留言.,1 560,解析答案,7.(2014·北京)把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種. 解析 先考慮產(chǎn)品A與B相鄰，把A，B作為一個(gè)元素有 種方法，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,故滿足條件的擺法有481236種.,36,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,8.若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有_種. 解析 把g、o、o、d 4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共有 種排法； 第二步：排兩個(gè)o.共一種排法，所以總的排法種數(shù)為 12.,11,解析答案,9.2015年某通訊公司推出一組手機(jī)卡號(hào)碼，卡號(hào)的前七位數(shù)字固定，后四位數(shù)從“0000”到“9999”共10 000個(gè)號(hào)碼中選擇.公司規(guī)定：凡卡號(hào)的后四位恰帶有兩個(gè)數(shù)字“6”或恰帶有兩個(gè)數(shù)字“8”的一律作為“金兔卡”，享受一定優(yōu)惠政策.如后四位數(shù)為“2663”，“8685”為“金兔卡”，求這組號(hào)碼中“金兔卡”的張數(shù). 解 當(dāng)后四位數(shù)有2個(gè)6時(shí)，“金兔卡”共有C ×9×9486張； 當(dāng)后四位數(shù)有2個(gè)8時(shí)，“金兔卡”也共有C ×9×9486張. 但這兩種情況都包含了后四位數(shù)是由2個(gè)6和2個(gè)8組成的這種情況， 所以要減掉C 6，即“金兔卡”共有486×26966張.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.有9名學(xué)生，其中2名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，3名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，4名既會(huì)下圍棋又會(huì)下象棋.現(xiàn)在要從這9名學(xué)生中選出2名學(xué)生，一名參加象棋比賽，另一名參加圍棋比賽，共有多少種不同的選派方法？,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 設(shè)2名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋的同學(xué)組成集合A,3名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋的同學(xué)組成集合B,4名既會(huì)下圍棋又會(huì)下象棋的同學(xué)組成集合C，則選派2名參賽同學(xué)的方法可以分為以下4類： 第一類：A中選1人參加象棋比賽，B中選1人參加圍棋比賽，方法數(shù)為 6種；,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,由分類計(jì)數(shù)原理，選派方法數(shù)共有61281238種.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架艦載機(jī)準(zhǔn)備著艦.如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有_種. 解析 丙、丁不能相鄰著艦， 則將剩余3機(jī)先排列，再將丙、丁進(jìn)行“插空”. 由于甲、乙“捆綁”視作一整體，剩余3機(jī)實(shí)際排列方法共2×24種.,由分步計(jì)數(shù)原理，共有4×624種著艦方法.,24,解析答案,12.(2014·廣東改編)設(shè)集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個(gè)數(shù)為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,解析 在x1，x2，x3，x4，x5這五個(gè)數(shù)中， 因?yàn)閤i1,0,1，i1,2,3,4,5， 所以滿足條件1|x1|x2|x3|x4|x5|3的可能情況有“一個(gè)1(或1)，四個(gè)0，有C ×2種；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案 130,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,13.國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點(diǎn)師范大學(xué)免費(fèi)培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教.現(xiàn)有6個(gè)免費(fèi)培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生要平均分到3所學(xué)校去任教，有_種不同的分派方法.,故6個(gè)畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，,90,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,14.4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi). (1)恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？ 解 為保證“恰有1個(gè)盒不放球”， 先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”， 即把4個(gè)球分成2,1,1的三組， 然后再從3個(gè)盒子中選1個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另外2個(gè)盒子內(nèi)，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？,解 “恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”， 即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球， 也即另外3個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒， 因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事， 所以共有144種放法.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(3)恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？,4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成(3,1)、(2,2)兩類，,解析答案,15.7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？ (1)兩個(gè)女生必須相鄰而站； 解 兩個(gè)女生必須相鄰而站， 把兩個(gè)女生看做一個(gè)元素， 則共有6個(gè)元素進(jìn)行全排列，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(2)4名男生互不相鄰； 解 4名男生互不相鄰， 應(yīng)用插空法， 對(duì)老師和女生先排列，形成四個(gè)空再排男生共有 144種站法.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,(3)老師不站中間，女生甲不站左端.,當(dāng)老師不站左端時(shí)，老師有5種站法，女生甲有5種站法，,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有7203 0003 720種站法.,返回,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,