高中數學 第四講 數學歸納法證明不等式 1 數學歸納法課件 新人教A版選修4-5 (2)

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1、第 四 講 數學歸納法證明不等式 一數學歸納法 1.了解數學歸納法的原理2.了解數學歸納法的使用范圍3.會用數學歸納法證明一些簡單問題. 1.數學歸納法的原理(重點)2.數學歸納法的應用(難點) 預習學案 2ab 比較法 分析法 綜合法 1數學歸納法的概念一般地，當要證明一個命題對于不小于某正整數n0的所有正整數n都成立時，可以用以下兩個步驟：(1)證明當_時命題成立；(2)假設當_時命題成立，證明_時命題也成立在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數都成立，這種證明方法稱為數學歸納法nn0nk(k N，且kn0)nk1 2數學歸納法的基本過程 3設凸k邊形內角和為f(k

2、)，則凸k1邊形的內角和f(k1)f(k)_.解釋：由凸多邊形性質知多加了一條邊內角和比原來多了.答案： 課堂學案 用數學歸納法證等式 求證：二項式x2ny2n(n N)能被xy整除思路點撥由假設以x2k2為主進行拼湊，即減去x2y2k加上x2y2k，然后重新組合，目的是拼湊出nk的歸納假設，剩余部分仍能被xy整除證整除問題 解題過程(1)當n1時，x2y2(xy)(xy)，能被xy整除(2)假設nk(k1)時，x2ky2k能被xy整除，那么當nk1時，即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k與x2y2都能被xy整除，x 2(

3、x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即nk1時，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，對任意的正整數n命題均成立 2已知f(n)(2n7)3n9，是否存在自然數m，使得對任意n N都能使m整除f(n)，如果存在，求出最大的m值，并證明你的結論；若不存在，說明理由思路點撥利用數學歸納法證明整除問題時，關鍵是整理出除數因式與商數因式積的形式，這就往往要涉及“添項”與“減項”等變形技巧 解析：f(1)36，f(2)108，f(3)360，f(4)1 224，猜想能整除f(n)的最大整數是36.下面用數學歸納法證明f(n)能被36整除(1)當n1時，f(1)36能被36整除；(2)假

4、設當nk(k1)時，f(k)能被36整除，則當nk1時，f(k1)2(k1)73k193(2k7)3 k918(3k11)， 由歸納假設3(2k7)3k9能被36整除，而3k11是偶數18(3k11)能被36整除，f(k1)能被36整除由(1)(2)得f(n)能被36整除由于f(1)36，故整除f(n)的最大整數是36. 用數學歸納法證明幾何問題 3在本例中，探究這n條直線互相分割成線段或射線的條數是多少？并加以證明思路點撥利用數學歸納法證明幾何問題時，關鍵是正確分析由nk到nk1時幾何圖形的變化規(guī)律 解析：n的最小值應該為2，當n2時，有4條射線，當n3時，如圖有3條線段6條射線，共9條線段

5、或射線 當n4時，不妨取出一條直線l1，則剩余3條直線l2，l3，l4相互分割成9條線段或射線而l1與l2，l3，l4有3個交點，這3個交點將l1分割為2條線段，2條射線而l2，l3，l4上又各多出1個交點，因此l2，l3，l4又被這一交點多分割出一條線段或射線，多出437條n4時，有16條由此推測，n條直線相互分割成n2條射線或線段，設(n)n 2(n2，且nN) 證明如下：(1)當n2時，顯然成立(2)假設當nk(k2，且kN)時，結論成立，(k)k2，則當nk1時，設有l(wèi)1，l2，lk，lk1共k1條直線，滿足題設條件不妨取出直線l1. 余下的k條直線l2，l3，lk，lk1互相分割成(

6、k)k2條射線或線段直線l1與這k條直線恰有k個交點，則直線l1被這k個交點分成k1條射線或線段k條直線l2，l3，lk1中的每一條都與l1恰有一個交點，因此每條直線又被這一個交點多分割出一條射線或線段，共有k條故(k1)(k)k1kk22k1(k1)2.當nk1時，結論正確由(1)(2)可知，上述結論對一切n2，且nN 都成立 1數學歸納法的概念先證明當n取第一值n0(例如可取n01)時命題成立，然后假設當nk(k N，kn0)時命題成立，證明當nk1時命題也成立這種證明方法叫做數學歸納法2數學歸納法適用范圍數學歸納法的適用范圍僅限于與正整數有關的數學命題的證明數學歸納法 在用數學歸納法證明不等式問題中，從“nk”到“nk1”的過渡中，利用歸納假設是比較困難的一步，它不像用數學歸納法證明恒等式問題一樣，只需拼湊出所需要的結構來，而證明不等式的第二步中，從“nk”到“nk1”，只用拼湊的方法，有時也行不通，因為對不等式來說，它還涉及“放縮”的問題，它可能需通過“放大”或“縮小”的過程，才能利用上歸納假設，因此，我們可以利用“比較法”、“綜合法”、“分析法”等來分析從“nk”到“nk1”的變化，從中找到“放縮尺度”，準確地拼湊出所需要的結構用數學歸納法證明不等式