2021-2022學(xué)年甘肅省蘭州市高一年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

一、單選題1已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（    ）ABCD【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡即可求解.【詳解】，故選：A.2天氣預(yù)報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為60%現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生了10組隨機(jī)數(shù)為180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據(jù)此估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（    ）ABCD【答案】B【分析】根據(jù)題意，計(jì)算隨機(jī)數(shù)中每組數(shù)中有2個數(shù)字在集合中判斷即可【詳解】由題意，隨機(jī)數(shù)中417，386，196，206表示這三天中恰有兩天下雨，故估計(jì)這三天中恰有兩天下雨的概率近似為故選：B3已知、是空間中兩個不同平面，、是空間中兩條不同直線，則下列命題中錯誤的是A若，則B若，則C若，則D若，則【答案】B【分析】根據(jù)線面、面面平行垂直的性質(zhì)判定定理依次判定.【詳解】線面垂直的性質(zhì)定理可知A正確；m、n可以異面，B錯誤；面面平行的判定可知C正確；面面垂直的判定可知D正確.故選：B.4已知向量，且，那么（    ）A2B-2C6D-6【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，列出關(guān)于m的方程，解得答案.【詳解】由向量，且，可得: ,故選：B5“迪拜世博會”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明它的形狀可視為內(nèi)外兩個同軸圓柱，某愛好者制作了一個中國館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個直徑為的球面上.此模型的體積為（    ）ABCD【答案】C【分析】求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解.【詳解】如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上，可知內(nèi)層圓柱的高同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個直徑為的球面上，可知外層圓柱的高此模型的體積為故選：C6若，則（    ）ABCD【答案】B【分析】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，即可求得答案.【詳解】故選：B7在，其內(nèi)角，的對邊分別為，若，則的形狀是（    ）A直角三角形B等腰三角形C.等腰直角三角形D等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理邊角互化得，進(jìn)而移項(xiàng)整理得，再結(jié)合得或，進(jìn)而得答案.【詳解】解：根據(jù)正弦定理邊角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形狀是等腰或直角三角形.故選：D8已知是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，且 ，則的值為（ ）ABC1D【答案】B【分析】把放在直角坐標(biāo)系中，可以根據(jù)題干中的條件寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出的值即可.【詳解】把如下圖放在直角坐標(biāo)系中，由于的邊長為1，故，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，設(shè)，.故選：B.二、多選題9已知點(diǎn)O是邊長為1的正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的為（    ）ABCD【答案】AD【分析】通過向量加法的平行四邊形法則、向量減法的三角形法與向量的數(shù)量積公式即可判斷各選項(xiàng)正確與否.【詳解】通過向量加法的平行四邊形法則可知，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯誤；與方向不同，選項(xiàng)C錯誤；延長到,使,通過向量減法的三角形法則可知,在中，選項(xiàng)D正確.故選：AD.10下列各式中，值為的是（    ）ABCD【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的倍角公式，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】由余弦的倍角公式，可得，所以A不正確；由正切的倍角公式，可得，所以B正確；由正弦的倍角公式，可得，所以C正確；由，所以D不正確.故選：BC.11已知向量，下列結(jié)論正確的是（    ）A與能作為一組基底B與同向的單位向量的坐標(biāo)為C與的夾角的正弦值為D若滿足，則【答案】ACD【分析】對于A兩個不共線的向量可以作為平面的一組基底；對于B與向量同向的單位向量為；對于C可以用夾角公式先求夾角的余弦，再用平方關(guān)系求正弦；對于D代模長公式計(jì)算即可.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以不存在?shí)數(shù)使得，所以與能作為一組基底，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，所以與同向的單位向量的坐標(biāo)為，故B錯誤；對于C，因?yàn)?，所以與的夾角的正弦值為，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，解得，故D正確故選：ACD12如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則（    ）A三棱錐的體積為定值B異面直線與所成的角的取值范圍為C直線與平面所成角的正弦值的最大值為D過作直線，則【答案】ACD【分析】證明平面，結(jié)合三棱錐的體積計(jì)算判斷A；利用異面直線夾角的定義計(jì)算判斷B；求出點(diǎn)到平面的距離計(jì)算判斷C；證明平面判斷D作答.【詳解】對于A，在正方體中，對角面是矩形，即， 平面，平面，則平面，即點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)C到平面的距離，為定值，而的面積是定值，因此，三棱錐的體積為定值，A正確；對于B，由選項(xiàng)A知，則異面直線與所成的角即為直線與所成的角，連，則有是正三角形，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P與或重合時，直線與所成的角最小，為，當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時，直線與所成的角最大，為，所以異面直線與所成的角的取值范圍為，B不正確；對于C，令正方體棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，正邊長為，面積為，由得：，解得，當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，C正確；對于D，在正方體中，平面，又平面，因此，而，平面，于是有平面，又平面，則，又直線過，且直線，所以，D正確.故選：ACD三、填空題13已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則_【答案】【分析】先將復(fù)數(shù)z化成的形式，再求模即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所?故答案為：.14已知甲運(yùn)動員的投籃命中率為0.7，乙運(yùn)動員的投籃命中率為0.6，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率是 _【答案】/【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式，即可求解.【詳解】由甲運(yùn)動員的投籃命中率為0.7，乙運(yùn)動員的投籃命中率為0.6，若甲、乙各投籃一次，則恰有一人命中的概率為 故答案為：.15已知三棱錐的四個頂點(diǎn)均在同一個球面上，底面為等腰直角三角形且，若該三棱錐體積的最大值為，則其外接球的表面積為_.【答案】【分析】設(shè)球心為所在圓面的圓心為，根據(jù)球的幾何特征可知，當(dāng)三棱錐體積最大時，為射線與球的交點(diǎn)，即可根據(jù)三棱錐的體積公式求出球的半徑，從而得其外接球的表面積【詳解】如圖所示：設(shè)球心為所在圓面的圓心為，則平面因?yàn)闉榈妊苯侨切吻?，所以是中點(diǎn)；所以當(dāng)三棱錐體積最大時，為射線與球的交點(diǎn)，所以；因?yàn)?，設(shè)球的半徑為，所以，所以，解得：，所以球的表面積為.故答案為：16在面上有及內(nèi)一點(diǎn)滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為，現(xiàn)有，則為的_心.【答案】內(nèi)【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算得到，再利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)求解即可【詳解】，分別是，方向上的單位向量，向量平分，即平分，同理平分，為的內(nèi)心，故答案為：內(nèi)四、解答題17蘭州市新開的滑冰館備受年輕人的喜歡，此館的平面設(shè)計(jì)如圖所示，其中區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，區(qū)域?yàn)榛鶇^(qū)，現(xiàn)為了安全起見，將滑冰區(qū)周圍筑起護(hù)欄若，求護(hù)欄的長度（的周長）.  【答案】【分析】利用余弦定理求出的長，分析出為直角三角形，計(jì)算出邊、的長，即可求得的周長，即為所求.【詳解】解：區(qū)域?yàn)樾菹^(qū)，由余弦定理可得，所以，所以，所以，區(qū)域?yàn)榛鶇^(qū)，在中，所以，所以，的周長為.護(hù)欄的長度為18甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有道不同的題目，其中選擇題道，判斷題道，甲、乙兩人各抽一道（不重復(fù)）(1)甲抽到選擇題且乙抽到判斷題的概率是多少？(2)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？【答案】(1)(2)【分析】（1）記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件，列舉所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件發(fā)生的概率；（2）記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題，確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計(jì)算出事件發(fā)生的概率.【詳解】（1）解：記“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”為事件，記兩道選擇題分別為、，兩道判斷題分別為、，所有的基本事件有：、，共種，其中事件包含的基本事件有：、，共種，由古典概型的概率公式可得.（2）解：記事件甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題，則事件包含的基本事件有：、，共種，由古典概型的概率公式可得.19，三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答已知的三邊，所對的角分別為，若，_（1）求；（2）求的面積注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分【答案】選：（1）；（2）或.選：（1）；（2）或.選：（1）；（2）或.【分析】若選：（1）由二倍角公式、輔助角公式化簡可求；（2）由正弦定理求，即可得，由面積公式即可求面積；若選：（1）由正弦定理化邊為角可求；（2）由正弦定理求，即可得，由面積公式即可求面積；若選：（1）由余弦定理可求；（2）由正弦定理求，即可得，由面積公式即可求面積；【詳解】若選：（1）由可得即，所以，所以，因?yàn)?，所以?）由可得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時，由可得，此時的面積為，當(dāng)時，所以，此時的面積為，所以的面積為或.若選：由可得，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?；?）由可得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時，由可得，此時的面積為，當(dāng)時，所以，此時的面積為，所以的面積為或.若選：由可得，由余弦定理可得，因?yàn)椋?；?）由可得，因?yàn)?，所以或，?dāng)時，由可得，此時的面積為，當(dāng)時，所以，此時的面積為，所以的面積為或.20如圖，中，是正方形，平面平面，若、分別是、的中點(diǎn)  (1)求證：平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）作出輔助線，得到面面平行，從而得到線面平行；（2）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，結(jié)合勾股定理逆定理得到線面垂直.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，  ，分別是和的中點(diǎn)，又四邊形為正方形，從而平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，平面，則平面；（2）為正方形，又平面平面，且平面平面，面，平面，平面，則，則，得又，平面，平面；21甲、乙兩同學(xué)組成“星隊(duì)”參加“慶祝中國共產(chǎn)黨成立周年”知識競賽現(xiàn)有、兩類問題，競賽規(guī)則如下：競賽開始時，甲、乙兩同學(xué)各自先從類問題中隨機(jī)抽取一個問題進(jìn)行回答，答錯的同學(xué)本輪競賽結(jié)束；答對的同學(xué)再從類問題中隨機(jī)抽取一個問題進(jìn)行回答，無論答對與否，本輪競賽結(jié)束若在本輪競賽中甲、乙兩同學(xué)合計(jì)答對問題的個數(shù)不少于個，則“星隊(duì)”可進(jìn)入下一輪已知甲同學(xué)能答對類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為乙同學(xué)能答對類中問題的概率為，答對類中問題的概率為(1)設(shè)“甲答對個，個，個問題”分別記為事件、，求事件、的概率；(2)求“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用對立事件的概率公式可求得的值，利用獨(dú)立事件的概率公式可求得、的值；（2）設(shè)“乙同學(xué)答對個、個問題”別記為事件、，計(jì)算出、的值，利用獨(dú)立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）解：甲同學(xué)能答對類中問題的概率為，能答對類中問題的概率為，（2）解：設(shè)“乙同學(xué)答對個、個問題”別記為事件、，乙同學(xué)能答對類中問題的概率為，答對類中問題的概率為，設(shè)事件表示“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪”，故“星隊(duì)”能進(jìn)入下一輪的概率為22如圖，在三棱錐中，底面(1)證明：平面平面；(2)若，直線與平面所成角的大小為，求的長【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直得到，再由，即可得到平面，從而得證；（2）過點(diǎn)A作，垂足為H，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，即可得到就是直線與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)及勾股定理計(jì)算可得；【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所以平面平面?）解：過點(diǎn)A作，垂足為H，連接由（1）知平面平面，又，平面平面，平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，即在中，故在中，在中，因?yàn)?，所以，即，所以為等腰直角三角形，所?