高中數學 第一章 導數及其應用 1.1.1-1.1.2 變化率問題、導數的概念課件 新人教版選修2-2.ppt
1.1.1 變化率問題 1.1.2 導數的概念,第一章 1.1 變化率與導數,1.理解函數平均變化率、瞬時變化率的概念. 2.掌握函數平均變化率的求法. 3.掌握導數的概念,會用導數的定義求簡單函數在某點處的導數.,學習目標,欄目索引,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 函數的平均變化率,答案,平均變化率,1.平均變化率的概念 設函數yf(x),x1,x2是其定義域內不同的兩個點,那么函數的變化率可用式子 表示,我們把這個式子稱為函數yf(x)從x1到x2的 ,習慣上用x表示x2x1,即xx2x1,可把x看作是相對于x1的一個“增量”,可用x1x代替x2;類似地,y .于是,平均變化率可以表示為 .,f(x2)f(x1),答案,x2x1,2.求平均變化率 求函數yf(x)在x1,x2上平均變化率的步驟如下: (1)求自變量的增量x ; (2)求函數值的增量y ; (3)求平均變化率 .,f(x2)f(x1),思考 (1)如何正確理解x,y?,答案,答案 x是一個整體符號,而不是與x相乘,其值可取正值、負值, 但x0;y也是一個整體符號,若xx1x2, 則yf(x1)f(x2),而不是yf(x2)f(x1),y可為正數、負數,亦可取零.,(2)平均變化率的幾何意義是什么?,答案 如圖所示:yf(x)在區(qū)間x1,x2上的平均 變化率是曲線yf(x)在區(qū)間x1,x2上陡峭程度的 “數量化”,曲線陡峭程度是平均變化率的“視 覺化”, 越大,曲線yf(x)在區(qū)間x1,x2上越“陡峭”,反之亦然.,平均變化率的幾何意義是函數曲線上過兩點的割線的斜率, 若函數yf(x)圖象上有兩點A(x1,f(x1) ,B(x2,f(x2) ,,答案,知識點二 瞬時速度與瞬時變化率,答案,瞬時速度,把物體在某一時刻的速度稱為 .做直線運動的物體,它的運動規(guī)律可以用函數ss(t)描述,設t為時間改變量,在t0t這段時間內,物體的位移(即位置)改變量是s ,那么位移改變量s與時間改變量t的比就是這段時間內物體的平均速度 ,即 .,s(t0t)s(t0),答案,瞬時變化率,物理學里,我們學習過非勻速直線運動的物體在某一時刻t0的速度,即t0時刻的瞬時速度,用v表示,物體在t0時刻的瞬時速度v就是運動物體在t0到t0t這段時間內的平均變化率 在t0時的極限,即 .瞬時速度就是位移函數對時間的 .,思考 (1)瞬時變化率的實質是什么?,答案 其實質是當平均變化率中自變量的改變量趨于0時的值,它是刻畫函數值在某處變化的快慢.,答案 區(qū)別:平均變化率刻畫函數值在區(qū)間x1,x2上變化的快慢,瞬時變化率刻畫函數值在x0點處變化的快慢; 聯系:當x趨于0時,平均變化率 趨于一個常數,這個常數即為函數在x0處的瞬時變化率,它是一個固定值.,(2)平均速度與瞬時速度的區(qū)別與聯系是什么?,答案,知識點三 導數的概念,答案,導數,思考 (1)函數f(x)在x0處的導數滿足什么條件時存在?,答案 求解函數f(x)在x0處導數的步驟如下: 求函數值的增量:yf(x0x)f(x0);,(2)求解函數f(x)在x0處導數的步驟是什么?,返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 求平均變化率,解析答案,反思與感悟,解 當自變量從x0變化到x0x時,函數的平均變化率為,反思與感悟,解析答案,2x4,解析 因為yf(1x)f(1)2(x)24x,,解析答案,題型二 實際問題中的瞬時速度,解析答案,例2 一作直線運動的物體,其位移s與時間t的關系是s3tt2(位移單位:m,時間單位:s). (1)求此物體的初速度;,即物體的初速度為3 m/s.,(2)求此物體在t2時的瞬時速度;,即此物體在t2時的瞬時速度為1 m/s,方向與初速度方向相反.,解析答案,(3)求t0到t2時的平均速度.,即t0到t2時的平均速度為1 m/s.,解析答案,反思與感悟,作變速直線運動的物體在不同時刻的速度是不同的,t趨近于0,指時間間隔t越來越小,但不能為0,t,s在變化中都趨近于0,但它們的比值趨近于一個確定的常數.,反思與感悟,解析答案,解析答案,(2)求t3秒時的瞬時速度.,所以t3秒時的瞬時速度約為29.4米/秒.,題型三 函數在某點處的導數,解析答案,反思與感悟,從而y|x12.,求函數在xx0處的導數的步驟: (1)求函數值的增量,yf(x0x)f(x0);,反思與感悟,解析答案,解析答案,因對導數的概念理解不到位致誤,例4 設函數f(x)在x0處可導,且f(x0)已知,求下列各式的極限值.,返回,易錯易混,防范措施,錯因分析 在導數的定義中,增量x的形式是多種多樣的,但不論x是哪種形式,y必須選擇相對應的形式.如(1)中x的改變量為xx0(x0x),(2)中x的改變量為2h(x0h)(x0h).,解析答案,防范措施,防范措施,自變量的改變量x的值為變后量與變前量之差.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.在求解平均變化率時,自變量的變化量x應滿足( ) A.x0 B.x0 C.x0 D.x可為任意實數,C,解析答案,1,2,3,4,5,A.從時間t到tt時物體的平均速度 B.t時刻物體的瞬時速度 C.當時間為t時物體的速度 D.從時間t到tt時位移的平均變化率,B,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,物體在t0時刻的瞬時速度為v0gt0. 由此,類似地可得到物體運動的速度函數為 v(t)v0gt,,故物體在t0時刻的瞬時加速度為g.,課堂小結,返回,