高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 5.3 直線與平面的夾角課件 北師大版選修2-1.ppt

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5.3 直線與平面的夾角,第二章 5 夾角的計算,1.理解直線與平面的夾角的概念. 2.會利用向量的方法求直線與平面的夾角.,,學習目標,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,知識點一 直線與平面的夾角 (1)平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的 的夾角叫作該直線與此平面的夾角. (2)如果一條直線與一個平面平行或在平面內(nèi)，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角為 . (3)如果一條直線與一個平面垂直，我們規(guī)定這條直線與平面的夾角是 . (4)直線與平面夾角的范圍： . (5)斜線與平面夾角的范圍： .,,答案,0,投影,,返回,知識點二 直線與平面夾角的向量求法 設平面α的斜線l的方向向量為a，平面的法向量為n. (1)當a，n與α，l的關系如圖所示時， 則l與α所成角θ與a，n所成的角互余. 即sin θ＝cos〈a，n〉. (2)當a，n與α，l的關系如圖所示時，,題型探究 重點突破,題型一 求直線與平面的夾角的基本方法 例1 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求A1B與平面A1B1CD的夾角.,,解析答案,反思與感悟,,解 方法一 連接BC1，B1C交于點O，連接A1O， 在正方體ABCD－A1B1C1D1中， ∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1， ∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的投影，即∠BA1O為A1B與平面A1B1C的夾角.,解析答案,反思與感悟,∴∠BA1O＝30. A1B與平面A1B1CD的夾角是30.,,反思與感悟,方法二 如圖所示，建立空間直角坐標系， 設正方體的棱長為1，則有A1(1,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，,設平面A1B1CD的一個法向量為n＝(x，y，z).,令x＝1，則有y＝0，z＝－1，可取n＝(1,0,－1).,則A1B與平面A1B1CD的夾角是30.,反思與感悟,,求直線與平面的夾角的方法與步驟 思路一：找直線在平面內(nèi)的投影，充分利用面與面垂直的性質及解三角形知識可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值). 思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量.利用法向量求直線與平面的夾角的基本步驟： (1)建立空間直角坐標系；,(3)求平面的法向量n；,,解析答案,跟蹤訓練1 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點. 求EB與平面ABCD夾角的余弦值.,,解析答案,解 取CD的中點M，則EM∥PD， 又∵PD⊥平面ABCD， ∴EM⊥平面ABCD， ∴BE在平面ABCD上的投影為BM， ∴∠MBE為BE與平面ABCD的夾角，如圖建立空間直角坐標系， 設PD＝DC＝1， 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，,,解析答案,題型二 空間夾角的綜合應用 例2 四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD；AD＝PD，E、F分別為CD，PB的中點. (1)求證：EF⊥平面PAB；,又AB∩PA＝A，∴EF⊥平面PAB；,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,設平面AEF的一個法向量為n＝(x，y，z)，,反思與感悟,,本題有兩問是一個綜合題，題目以四棱錐為背景構造垂直的證明和線面角的求解，求解過程充分體現(xiàn)了向量的工具性作用.,,解析答案,跟蹤訓練2 在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝BD＝2AE，M是AB的中點. (1)求證：CM⊥EM； 證明 如圖，以點C為坐標原點，以CA，CB所在直線分別為x軸和y軸，過點C作與平面ABC垂直的直線為z軸，建立如圖空間直角坐標系， 設EA＝a，則A(2a,0,0)，B(0,2a,0)，E(2a,0,a)，D(0,2a,2a)，M(a，a,0).,,解析答案,返回,(2)求CM與平面CDE的夾角. 解 設向量n＝(1，y0，z0)與平面CDE垂直，,所以y0＝2，z0＝－2，即n＝(1,2，－2)，,因此直線CM與平面CDE的夾角是45.,,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若∠B1MN＝90，則∠PMN的大小是( ) A.等于90 B.小于90 C.大于90 D.不確定 解析 A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，,A,解析答案,∴MP⊥MN，即∠PMN＝90. 也可由三垂線定理直接得MP⊥MN.,1,2,3,4,5,,解析答案,2.正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD夾角的正弦值為( ),1,2,3,4,5,解析 建系如圖，設正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，,答案 C,1,2,3,4,5,,解析答案,A.60 B.90 C.105 D.75 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系，設BB1＝1，則A(0,0,1)，,B,即AB1與C1B所成角的大小為90.,,解析答案,4. 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成的角的正弦值為( ),解析 以D點為坐標原點，以DA，DC，DD1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(圖略)，則A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，,D,1,2,3,4,5,,解析答案,解 由于AC＝BC＝2，D是AB的中點，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).,1,2,3,4,5,,課堂小結,利用空間向量求角的基本思路是把空間角轉化為求兩個向量之間的關系.首先要找出并利用空間直角坐標系或基向量(有明顯的線面垂直關系時盡量建系)表示出向量；其次理清要求角和兩個向量夾角之間的關系.,,返回,