2019-2020年高三數學一輪復習 第三章 導數及其應用第一節(jié) 變化率與導數、導數的計算練習.doc

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2019-2020年高三數學一輪復習 第三章 導數及其應用第一節(jié) 變化率與導數、導數的計算練習 一、選擇題(65分＝30分) 1．(xx遼寧高考)曲線y＝在點(1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝x－2　　　　　　　　 B．y＝－3x＋2 C．y＝2x－3 D．y＝－2x＋1 解析：y′＝()′＝，∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝－2， ∴切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故選D. 答案：D 2．(xx潮州一模)若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為(　　) A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0 C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析：y′＝4x3＝4，得x＝1，即切點為(1,1)，所以過該點的切線方程為y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0. 答案：A 3．(xx聊城模擬)曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍成三角形的面積為(　　) A.e2 B．2e2 C．e2 D. 解析：∵點(2，e2)在曲線上， ∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝ex|x＝2＝e2， ∴切線的方程為y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0. 與兩坐標軸的交點坐標為(0，－e2)，(1,0)， ∴S△＝1e2＝. 答案：D 4．(xx佛山模擬)一質點沿直線運動，如果由始點起經過t秒后的位移為s＝t3－t2＋2t，那么速度為零的時刻是(　　) A．0秒 B．1秒末 C．2秒末 D．1秒末和2秒末 解析：∵s＝t3－t2＋2t， ∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2. 答案：D 5．設曲線y＝xn＋1(n∈N*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn，則x1x2…xn等于(　　) A. B. C. D．1 解析：y′＝(n＋1)xn，曲線在點(1,1)處的切線方程為y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得xn＝. 則x1x2…xn＝…＝. 答案：B 6．(xx安徽高考)設函數f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，則導數f′(1)的取值范圍是(　　) A．[－2,2] B．[，] C．[，2] D．[，2] 解析：由已知f′(x)＝sinθx2＋cosθx， ∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)， 又θ∈[0，]，∴≤θ＋≤， ∴≤sin(θ＋)≤1，∴≤f′(1)≤2. 答案：D 二、填空題(35分＝15分) 7．設點P是曲線y＝－x2－3x－3上的一個動點，則以P為切點的切線中，斜率取得最小值時的切線方程是________． 解析：設切線的斜率為k， 則f′(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4. 當x＝1時，k有最小值－4. 又f(1)＝－，所以切線方程為y＋＝－4(x－1)， 即12x＋3y＋8＝0. 答案：12x＋3y＋8＝0 8．(xx濟南第一次質檢)某物體作直線運動，其運動規(guī)律是s＝t2＋(t的單位是s，s的單位是m)，則它在第4秒末的瞬時速度應該為________． 解析：s′＝2t－，∴v＝s′|t＝4＝(m/s)． 答案： m/s 9．(xx海南高考)曲線y＝xex＋2x＋1在點(0,1)處的切線方程為________． 解析：∵y′＝(xex＋2x＋1)′＝ex＋xex＋2 ∴y′|x＝0＝3. ∴切線方程為y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0. 答案：3x－y＋1＝0 三、解答題(共37分) 10．(12分)(xx紹興月考)設t≠0，點P(t,0)是函數f(x)＝x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線．試用t表示a，b，c. 解析：因為函數f(x)，g(x)的圖象都過點(t,0)， 所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因為t≠0，所以a＝－t2. g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab. 又因為f(x)，g(x)在點(t,0)處有相同的切線， 所以f′(t)＝g′(t)． 而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt. 將a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3. 故a＝－t2，b＝t，c＝－t3. 11．(12分)(xx南昌質檢)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求實數a的值． 解析：令過(1,0)的直線與y＝x3切于點(x0，y0)，切線斜率為k＝3x02. 設切線方程為y＝3x02(x－1)， ?x03＝3x03－3x02?2x03－3x02＝0. ∴x0＝0或x0＝. 故切線方程為y＝0或y＝(x－1)． ?ax2＋x－9＝0， ∵Δ＝0，∴a＝－. ?ax2＋x－9＝(x－1) 又Δ＝0，∴a＝－1 綜上實數a的取值為a＝－1或a＝－. 12．(13分)設函數f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式； (2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值． (1)解析：方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3. 當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋， 于是解得 故f(x)＝x－. (2)證明：設P(x0，y0)為曲線上任一點，由y′＝1＋，知曲線在點P(x0，y0)處的切線方程為 y－y0＝(1＋)(x－x0)， 即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0，得y＝－，從而得切線與直線x＝0的交點坐標為(0，－)； 令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點坐標為(2x0,2x0)． 所以點P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6. 故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.