2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時分層作業(yè)十三 2.10 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 理.doc

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 課時分層作業(yè)十三 2.10 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 理一、選擇題(每小題5分,共35分)1.f(x)是函數(shù)f(x)=x3+2x+1的導(dǎo)函數(shù),則f(-1)的值為()A.0B.3C.4D.-【解析】選B.因?yàn)閒(x)=x3+2x+1,所以f(x)=x2+2.所以f(-1)=3.2.已知函數(shù)f(x)=cos x,則f()+f=()A.-B.-C.-D.-【解析】選C.因?yàn)閒(x)=-cos x+(-sin x),所以f()+f=-+(-1)=-.3.(xx吉林模擬)已知曲線y=ln x的切線過原點(diǎn),則此切線的斜率為()A.eB.-eC.D.-【解析】選C.y=ln x的定義域?yàn)?0,+),且y=,設(shè)切點(diǎn)為(x0,ln x0),則y=,切線方程為y-ln x0=(x-x0),因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切線的斜率為.【變式備選】曲線y=ex在點(diǎn)A(0,1)處的切線斜率為()A.1 B.2C.eD.【解析】選A.由題意知y=ex,故所求切線斜率k=ex=e0=1.4.(xx沈陽模擬)若曲線y=x3+ax在坐標(biāo)原點(diǎn)處的切線方程是2x-y=0,則實(shí)數(shù)a=()A.1B.-1C.2D.-1【解析】選C.導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為切線的斜率,由y=3x2+a得在x=0處的切線斜率為a,所以a=2.【變式備選】直線y=x+b是曲線y=ln x(x>0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b的值為()A.2B.ln 2+1C.ln 2-1D.ln 2【解析】選C.y=ln x的導(dǎo)數(shù)為y=,由=,解得x=2,所以切點(diǎn)為(2,ln 2).將其代入直線方程y=x+b,可得b=ln 2-1.5.已知f(x)=2exsin x,則曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為()A.y=0B.y=2xC.y=xD.y=-2x【解析】選B.因?yàn)閒(x)=2exsin x,所以f(0)=0,f(x)=2ex(sin x+cos x),所以f(0)=2,所以曲線f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=2x.6.設(shè)曲線y=在點(diǎn)處的切線與直線x-ay+1=0平行,則實(shí)數(shù)a等于()A.-1B.C.-2D.2【解析】選A.因?yàn)閥=,所以y=-1,由條件知=-1,所以a=-1.7.直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點(diǎn)A(1,3),則2a+b的值等于()A.2B.-1C.1D.-2【解析】選C.依題意知,y=3x2+a,則由此解得所以2a+b=1.二、填空題(每小題5分,共15分)8.若曲線y=2x2的一條切線l與直線x+4y-8=0垂直,則切線l的方程為_.【解析】設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),y=4x,則4x0=4x0=1,所以y0=2,所以切線方程為:y-2=4(x-1)4x-y-2=0.答案:4x-y-2=09.(xx長沙模擬)若函數(shù)f(x)=ln x-f(-1)x2+3x-4,則f(1)=_.【解析】因?yàn)閒(x)=-2f(-1)x+3,所以f(-1)=-1+2f(-1)+3,解得f(-1)=-2,所以f(1)=1+4+3=8.答案:810.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2,且當(dāng)x>1時,f(x)=xe2-x,則曲線y=f(x)在x=0處的切線方程是_.【解析】因?yàn)閒(x)滿足f(1-x)+f(1+x)=2,所以y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱.當(dāng)x<1時,取點(diǎn)(x,y),該點(diǎn)關(guān)于(1,1)的對稱點(diǎn)是(2-x,2-y),代入f(x)=xe2-x可得:2-y=(2-x)e2-(2-x),所以y=2-(2-x)ex=xex,y=(x+1)ex,y|x=0=1,所以切線方程為y=x,即x-y=0.答案:x-y=01.(5分)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(2-x)=2x2-7x+6,則曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程是 ()A.y=2x-1B.y=xC.y=3x-2D.y=-2x+3【解析】選C.令x=1得f(1)=1,令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化簡整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,所以f(x)=4x-1,所以f(1)=3.所以所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.【巧思妙解】選C.令x=1得f(1)=1,由f(2-x)=2x2-7x+6,兩邊求導(dǎo)可得f(2-x)(2-x)=4x-7,令x=1可得-f(1)=-3,即f(1)=3.所以所求切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.2.(5分)(xx上饒模擬)若點(diǎn)P是曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2距離的最小值為 ()A.1B.C.D.【解析】選B.對于曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn)P,當(dāng)過該點(diǎn)的切線斜率與直線y=x-2的斜率相同時,點(diǎn)P到直線的距離最小.因?yàn)槎x域?yàn)?0,+),所以y=2x-=1,解得x=1,則在P(1,1)處的切線方程為x-y=0,所以兩平行線間的距離為d=.【變式備選】曲線y=ln(2x)上任意一點(diǎn)P到直線y=2x的距離的最小值是_.【解析】如圖,所求最小值即曲線上斜率為2的切線與y=2x兩平行線間的距離,也即切點(diǎn)到直線y=2x的距離.由y=ln(2x),則y=2,得x=,y=ln =0,即與直線y=2x平行的曲線y=ln(2x)的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)是,y=ln(2x)上任意一點(diǎn)P到直線y=2x的距離的最小值,即=.答案:3.(5分)(xx滄州模擬)若存在過點(diǎn)O(0,0)的直線l與曲線f(x)=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,則a的值為_.【解析】易知點(diǎn)O(0,0)在曲線f(x)=x3-3x2+2x上,(1)當(dāng)O(0,0)是切點(diǎn)時,切線方程為y=2x,則聯(lián)立y=2x和y=x2+a得x2-2x+a=0,由=4-4a=0,解得a=1.(2)當(dāng)O(0,0)不是切點(diǎn)時,設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則y0=-3+2x0,且k=f(x0)=3-6x0+2.又k=-3x0+2,由,聯(lián)立,得x0=(x0=0舍),所以k=-,所以所求切線l的方程為y=-x.由得x2+x+a=0.依題意,=-4a=0,所以a=.綜上,a=1或a=.答案: 1或【易錯警示】(1)片面理解“過點(diǎn)O(0,0)的直線與曲線f(x)=x3-3x2+2x相切”.這里有兩種可能:一是點(diǎn)O是切點(diǎn);二是點(diǎn)O不是切點(diǎn),但曲線經(jīng)過點(diǎn)O,解析中易忽視后面情況.(2)本題還易出現(xiàn)以下錯誤:一是當(dāng)點(diǎn)O(0,0)不是切點(diǎn),無法與導(dǎo)數(shù)的幾何意義溝通起來;二是盲目設(shè)直線l的方程,導(dǎo)致解題復(fù)雜化,求解受阻.4.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+x-16. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的方程.(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).【解析】(1)可判定點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.因?yàn)閒(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為k=f(2)=13.所以切線的方程為y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則直線l的斜率k為f(x0)=3+1,y0=+x0-16,所以直線l的方程為y=(3+1)(x-x0)+x0-16.又因?yàn)橹本€l過原點(diǎn)(0,0),所以0=(3+1)(-x0)+x0-16,整理得,=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,得切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26),k=3(-2)2+1=13.所以直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).5.(13分)已知函數(shù)f(x)=x-1+(aR,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線平行于x軸,求a的值.(2)當(dāng)a=1時,若直線l:y=kx-1與曲線y=f(x)相切,求l的直線方程.【解析】(1)f(x)=1-,因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線平行于x軸,所以f(1)=1-=0,解得a=e.(2)當(dāng)a=1時,f(x)=x-1+,f(x)=1-.設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),因?yàn)閒(x0)=x0-1+=kx0-1,f(x0)=1-=k,+得x0=kx0-1+k,即(k-1)(x0+1)=0.若k=1,則式無解,所以x0=-1,k=1-e.所以l的直線方程為y=(1-e)x-1.