2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《二次函數(shù)》(1).doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料二次函數(shù)(1)二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，而且有著豐富內(nèi)涵。在中學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)材中，對二次函數(shù)和二次方程，二次三項式及二次不等式以及它們的基本性質(zhì)，都有深入和反復(fù)的討論與練習(xí)。它對近代數(shù)學(xué)，乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)，影響深遠，為歷年來高考數(shù)學(xué)考試的一項重點考查內(nèi)容，歷久不衰，以它為核心內(nèi)容的重點試題，也年年有所變化，不僅如此，在全國及各地的高中數(shù)學(xué)競賽中，有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容也是非常重要的命題對象。因此，必須透徹熟練地掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)。 學(xué)習(xí)二次函數(shù)的關(guān)鍵是抓住頂點（-b/2a，(4ac-b2)/4a），頂點的由來體現(xiàn)了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；圖象的平移歸結(jié)為頂點的平移（y=ax2y=a(x-h)2+k）；函數(shù)的對稱性（對稱軸x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，xR），單調(diào)區(qū)間（-，-b/2a），-b/2a,+、極值（(4ac-b2)/4a），判別式（b2-4ac）與X軸的位置關(guān)系（相交、相切、相離）等，全都與頂點有關(guān)。 一、“四個二次型”概述 （一元）二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)a=0（一元）一次函數(shù)y=bx+c(b0)（一元）二次三項式ax2+bx+c(a0)a=0一次二項式bx+c(b0)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)a=0 一元一次方程bx+c=0(b0)一元二次不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a0)a=0一元一次不等式bx+c>0或bx+c<0(b0) 觀察這個框圖，就會發(fā)現(xiàn)：在a0的條件下，從二次三項式出發(fā)，就可派生出一元二次函數(shù)，一元二次方程和一元二次不等式來。故將它們合稱為“四個二次型”。其中二次三項式ax2+bx+c(a0)像一顆心臟一樣，支配著整個“四個二次型”的運動脈絡(luò)。而二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，猶如“四個二次型”的首腦或統(tǒng)帥：它的定義域即自變量X的取值范圍是全體實數(shù)，即nR；它的解析式f(x)即是二次三項式ax2+bx+c(a0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a0），就是初中重點研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a0），就是高中一年級重點研究的一元二次不等式，它總攬全局，是“四個二次型”的靈魂。討論零值的一元二次函數(shù)即一元二次方程是研究“四個二次型”的關(guān)鍵所在，它直接影響著兩大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函數(shù)的零點；一元二次不等式的解集可看作二次函數(shù)的正、負值區(qū)間。心臟、頭腦、關(guān)鍵、主干、一句話，“四個二次型”聯(lián)系密切，把握它們的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化、相互利用，便于尋求規(guī)律，靈活運用，使學(xué)習(xí)事半功倍。 二、二次函數(shù)的解析式 上面提到，“四個二次型”的心臟是二次三項式：二次函數(shù)是通過其解析式來定義的（要特別注意二次項系數(shù)a0）；二次函數(shù)的性質(zhì)是通過其解析式來研究的。因此，掌握二次函數(shù)首先要會求解析式，進而才能用解析式去解決更多的問題。 y=ax2+bx+c(a0)中有三個字母系數(shù)a、b、c，確定二次函數(shù)的解析式就是確定字母a、b、c的取值。三個未知數(shù)的確定需要3個獨立的條件，其方法是待定系數(shù)法，依靠的是方程思想及解方程組。 二次函數(shù)有四種待定形式： 過三點A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函數(shù)可設(shè)為 f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐標依次代入，即令x=x1,x2,x3,得 f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 從而得二次函數(shù)的三點式為：f(x)=f(x1)/(x1-x2)(x1-x3)(x-x2)(x-x3)+f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)(x-x1)(x-x3)+f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)(x-x1)(x-x2)根據(jù)題目所給的不同條件，靈活地選用上述四種形式求解二次函數(shù)解析式，將會得心應(yīng)手。 例題講解元素與集合的關(guān)系1. 集合=，=，求實數(shù)的取值集合2. 考察所有可能的這樣拋物線，它們與坐標軸各有三個不同的交點，對于每一條這樣的拋物線，過其與坐標軸的三個交點作圓證明：所有這些圓周經(jīng)過一定點3. 拋物線的頂點位于區(qū)域內(nèi)部或邊界上，求、的取值范圍4. 設(shè)=時，二次函數(shù)有最大值5，二次函數(shù)的最小值為2，且0， +=,=25求的解析式和值5. 已知01, =,的最小值為（1） 用表示；（2）求的最大值及此時的值6函數(shù)=，,1,該函數(shù)的最大值是25,求該函數(shù)取最大值時自變量的值7一幢（2）層樓的公寓有一部電梯，最多能容納1個人，現(xiàn)有1個學(xué)生同時在第一層樓乘電梯，他們中沒有兩人是住同一層樓的電梯只能停一次停在任意選擇的一層而對每一個學(xué)生而言，自已往下走一層感到一分不滿意，而往上走一層感到2分不滿意，問電梯停在哪一層，可使不滿意的總分達到最?。?已知方程，其中1，證明：方程的正根比1小，負根比 1大9若拋物線與連接兩點（0，1），（2，3）的線段（包括、兩點）有兩個相異的交點，求的取值范圍10設(shè)2，且，證明：11定義在上的奇函數(shù)，當0時，=另一個函數(shù)=的定義域為,值域為,其中,、0在,上, =問:是否存在實數(shù),使集合恰含有兩個元素?課后練習(xí)1 已知二次函數(shù)的圖象過（1,6），（1，2）和（2,3）三點，求二次函數(shù)的解析式。 2二次函數(shù)的圖象通過點（2，5），且它的頂點坐軸為（1，8），求它的解析式 3已知二次函數(shù)的圖象過（2,0）和（3,0）兩點，并且它的頂點的縱坐標為125/4，求它的解析式。4已知二次函數(shù)經(jīng)過3點A（1/2，3/4）、B（1,3）、C（2,3），求解析式。 5當X為何值時，函數(shù) f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+(x-an)2取最小值。6已知x1,x2是方程x2-(k-2)x+(k2+3k+5)=0(k為實數(shù))的兩個實數(shù)根，x12+x22的最大值是：（ ） （A）19；（B）18；（C）50/9(D)不存在 7已知f (x)=x2-2x+2，在xt,t+1上的最小值為g (t)，求g (t)的表達式。 8（1）當x2+2y2=1時，求2x+3y2的最值； （2）當3x2+2y2=6x時，求x2+y2的最值。 課后練習(xí)答案1解法一：用標準式 圖象過三點（1,6）、（1，2）、（2,3） 可設(shè)y=f(x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=6，a+b+c=2 ，4a+2b+c=3 解之得：a=1，b=2，c=5 所求二次函數(shù)為y=x2+2x-5 解法二：用三點式 圖象過三點（1，6），（1，2），（2,3） 可設(shè)y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2 a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)計算可得：a1=6/(11)(12)=1，a2=2/ (11)(12)=1，a3=3/ (21)(21)=1 f(x)=x22x5 2解：它的頂點坐標已知 可設(shè)f (x)=a(x1)28 ，又函數(shù)圖象通過點（2，5）， a(21)28=5 ，解之，得a=3 故所求的二次函數(shù)為：y=3(x1)28 即：y=f (x)=3x26x5 評注，以頂點坐標設(shè)頂點式a(x-h)2+k，只剩下二次項系數(shù)a為待定常數(shù)，以另一條件代入得到關(guān)于a的一元一次方程求a，這比設(shè)標準式要來得簡便得多。 3解：（2,0）和（3,0）是X軸上的兩點， x12，x23 可設(shè)y=f(x)=a(x+2)(x-3)=a(x2-x-6)=a(x-1/2)2-25/4=a(x-1/2)2-25/4a 它的頂點的縱坐標為25/4a ，25/4a=125/4，a=5 故所求的二次函數(shù)為：f (x)=5(x+2)(x-3)=5x2+5x+30 想一想：本例能否用頂點式來求？ 4 分析本例當然可用標準式、三點式求解析式，但解方程組與求a1、a2、a3計算較繁。仔細觀察三點坐標特點或畫個草圖幫助分析，注意到三點的特殊位置，則可引出如下巧解。 解法一：頂點式：由二次函數(shù)的對稱性可知，點B、C所連線段的中垂線x=(-1+2)/2=1/2即為圖象的對稱軸，從而點A（1/2，3/4）必是二次函數(shù)的頂點，故可設(shè)頂點式:f(x)=a(x-(1/2)2+(3/4) 把B或C的坐標代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得：a=1 ，f(x)=(x-(1/2)2+3/4=x2-x+1 解法二由B、C的縱坐標相等可知B、C兩點是函數(shù)y=f (x)與直線y=3的交點，亦即B、C兩點的橫坐標是方程f (x)=3即f (x)-3=0的兩個根故可設(shè)零點式為： f (x)-3=a(x+1)(x-2)把A點坐標代入，有f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即9/4=9/4a，a=1 從而f (x)=(x+1)(x-2)+3=x2-x+1 5.解：f (x)=(x2-2a1x+a12)+(x2-2a2x+a22)+(x2-2anx+an2)=nx2-2(a1+a2+an)x+(a12+a22+an2) 當x=(a1+a2+an)/n)時，f(x)有最小值。 評注：1994年全國普通高考命制了如下一個填空題，在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得n次測量分別得到a1、a2、，an共n個數(shù)據(jù)。我們規(guī)定的所測物理量的“最佳近似值”a是這樣一個量：與其它近似值比較，a與各數(shù)據(jù)差的平方和最小，依此規(guī)定，從a1,a2,an推出a=讀者從5的解答中，能否悟到解決此題的靈感？ 6解：由韋達定理得：x1+x2=k-2，x1x2=k2+3k+5 x12x22（x1x2）2-2x1x2=(k-2)2-2(k2+3k+5) =-k2-10k-6=-(k+5)2+19 如果由此得K-5時，（x12+x22）max=19，選（A），那就錯了。為什么？已知該x1,x2是方程的兩個“實數(shù)”根，即方程必須有實數(shù)根才行，而此時方程的判別式0，即 (k-2)2-4(k2+3k+5)=-3k2-16k-160 解得：-4k-4/3 k=-5-4,-4/3，設(shè)f(k)=-(k+5)2+19則f(-4)=18,f(-4/3)=50/9<18 當k=-4時，(x12+x22)max=18， 選（B） 評注：求二次函數(shù)最值時，必須首先考慮函數(shù)定義域。否則，審題不慎，忽略“實數(shù)”二字，就會掉進題目設(shè)置的“陷阱”中去了。 7解：f (x)= (x-1)2+1 (1)當t+1<1即t<0時，g(t)=f(t+1)=t2+1 (2)當t1t+1，即0t1時，g (t)=f (1)=1 (3)當t>1時，g(t)=f (t)=t2-2t+2 綜合（1）、（2）、（3）得：8解：（1）由x2+2y2=1得y2=1/2(1-x2)，代入2x+3y2=2x+(3/2)(1-x2)=(-(3/2)(x-(2/3)2+(13/6) 又1-x2=2y20，x21，1x1 當x=2/3時，y=(10)/6，（2x+3y2）max=16/3； 當x=-1時，y=0，（2x+3y2）min=2 (2)由3x2+2y2=6x，得y2=(3/2)x(2-x)，代入x2+y2=x2+(3/2)x(2-x)=-1/2 (x-3)2+9/2 又y2=(3/2)x (2-x)0，得0x2 當x=2，y=0時，（x2+y2）max=4；當x=0，y=0時，(x2+y2)min=0 例題答案：1解：、分別表示函數(shù)與函數(shù)的值域由3知=3，）而受參數(shù)的影響，要進行討論=0時，值域是符合條件0時，=是二次函數(shù)，如果0，該函數(shù)的值域為，這時不成立如果0時，由3，,得 01綜上所述, 的可取值集合為|01。說明：參數(shù)的取值決定了函數(shù)=的類別及性質(zhì)，因而對該函數(shù)的值域有影響為了由求出的允許值范圍，必須對參數(shù)分情況討論2證明：設(shè)拋物線與軸的交點為（，0）、（，0）由韋達定理知0 (因為=0,則與坐標軸只有兩個不同的交點),故點（，0）、（，0）在坐標原點的兩側(cè)又因為，由相交弦定理的逆定理知，點（，0）、（，0）、（0，），（0，1）在同一個圓周上，即過拋物線與坐標軸的三個交點（，0）、（，0）、（0，）的圓一定過定點（0，1）于是所有的這些圓周均經(jīng)過一定點（0，1）3解：拋物線的頂點坐標為（），故 ，上式即為、的取值范圍4解：由題設(shè)=5，=25，=，所以 =30，解得 =1 （= 17舍去）由于在=1時有最大值5，故設(shè) =所以 =，因的最小值為2，故,所以從而=5解：（1）把改寫成=于是知是頂點為（），開口向上的拋物線又因為0,1,故當01，即02時，的最小值為；當1,即2時，有最小值于是（2）當2時，的值小于0，而當02時，=，它的最大值為（當=1時取得），故的最大值為，此時=1說明：對于某些在給定區(qū)間上的二次函數(shù)最值問題，往往需要把頂點和區(qū)間端點結(jié)合起來考慮6分析：限定在區(qū)間,1上的函數(shù)的最大值要考慮到在這個區(qū)間上的單調(diào)情況當可取任意實數(shù)時，二次函數(shù)的圖象是對稱軸為開口向下的拋物線，與區(qū)間,1的位置關(guān)系決定了已知函數(shù)的單調(diào)狀況，因此要分區(qū)間討論當,1,即時,最大值應(yīng)是由=25, 2=,不符合的條件可見當1,即時，函數(shù)=，,1是增函數(shù)，可見，解之得=或=其中=不合的條件，舍去可見1=1=當，即時,函數(shù)=是,1是減函數(shù),可見,解之得=或=其中=不合的條件,舍去,由此知= 綜上所述,當=或=時, 函數(shù)有最大值25說明：由點與區(qū)間,1的位置關(guān)系引起的分類討論是“形”對“數(shù)”的引導(dǎo)作用本題中雖然只是求函數(shù)取最大值時的自變量的值，沒有問的值，但這個值與值有直接關(guān)系，所以要先求再求7解：設(shè)電梯停在第層，則不滿意的總分為=（122）2（12）=,所以當=時，最小，其中表示最接近于的整數(shù)例如,故當電梯停在時，不滿意總分最小8證明：原方程整理后，得=0，令=，則是開口向上的拋物線，且，故此二次函數(shù)=0有一個正根，一個負根要證明正根比1小，只須證，要證明負根比 1大，只須證0因為 從而命題得證9解：易知過兩點（0，1）、（2，3）的直線方程為，而拋物線與線段有兩個交點就是方程在區(qū)間0，2上有兩個有兩個不等的實根令則 解得的范圍為1說明：利用二次函數(shù)來研究一元二次方程的根的分布是非常有效的手段10證明：令,則原不等式為,即=0，令=,則只需證明0因，而，所以,從而0，與軸有兩個不同的交點易知這兩個交點為，下證 ，只需證,即,由于，所以，從而必有0解法二：只需證明0，而，因此只需證而，由可證得說明：通過構(gòu)造二次函數(shù)，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)來證明一些不等式問題，往往會使問題簡化11分析：是以軸為對稱軸由=的圖象平移所形成的拋物線系對給定的它表示一條拋物線，條件恰含有兩個元素的意思是函數(shù)=，,的圖象與拋物線恰有兩個交點首先要弄清楚=，,，進而作出它的圖象容易求出奇函數(shù)=在0時的解析式是=即 =函數(shù)=的定義域為,值域為,其中,、0，這表明 可見、同號也就是說=，,的圖象在第一或第三象限內(nèi)根據(jù)=（,以及的圖象可知，函數(shù)的圖象如所示曲線的一部分 值域與函數(shù)的單調(diào)狀況有關(guān)，又與定義域有關(guān)如果只考慮02或20兩種情況，不能準確地用,、表示出值域區(qū)間的端點，因此要把區(qū)間（0，2），（2，0）再分細一些，由圖中看出，當、0時，考慮以下三種情況較好01，01，12如果01，那么1但是（0，1時，1,這與的值域區(qū)間的右端點大于1矛盾可見不出現(xiàn)01的情形如果12，由圖看出是減函數(shù)，可見整理得 ，考慮到12的條件，解之得完全類似地，考慮到10，210，21三種情況后,可以在21的情況下通過值域條件得出 ，這就得到了函數(shù)對于某個，拋物線與函數(shù)的圖象有兩個交點時，一個交點在第一象限，一個交點在第三象限因此，應(yīng)當使方程，在1，內(nèi)恰有一個實數(shù)根，并且使方程，在內(nèi)恰有一個實數(shù)根問題歸結(jié)為求，使由（1）得，方程在內(nèi)恰有一根，設(shè)，則即，由（2）得，即，2易證，拋物線與函數(shù)圖象恰有兩個交點（1,1）和（ 綜上所述：題目條件下的實數(shù)2說明：解題過程可分為“求函數(shù)”，“求函數(shù)”，“求”三個階段求函數(shù)的關(guān)鍵步驟是求的值運用了數(shù)形結(jié)合的方法和分類討論的運算過程，最終把求的問題化歸到求一次方程和二次方程的一定范圍內(nèi)有解的問題 可以看出，當(2,0)時,拋物線與函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)有一個交點,當時,在第三象限內(nèi)有一個交點