2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做04 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差試題（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 必做04 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差試題（含解析） 【三年高考】 1. 【xx江蘇，理23】已知一個(gè)口袋中有個(gè)白球，個(gè)黑球()，這些球除顏色外全部相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個(gè)取出，并放入如圖所示的編號(hào)為的抽屜內(nèi)，其中第次取出的球放入編號(hào)為的抽屜． 1 2 3 （1）試求編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率； （2）隨機(jī)變量表示最后一個(gè)取出的黑球所在抽屜編號(hào)的倒數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望，證明：． 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析． 試題解析：（1）編號(hào)為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率為：． （2）隨機(jī)變量X的概率分布為 X … … P … … 隨機(jī)變量X的期望為． 所以 ， 即． 【考點(diǎn)】古典概型概率、排列組合、隨機(jī)變量及其分布、數(shù)學(xué)期望 【名師點(diǎn)睛】求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為： （1）“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義； （2）“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見(jiàn)的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率； （3）“寫(xiě)分布列”，即按規(guī)范形式寫(xiě)出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確； （4）“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見(jiàn)的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得．因此，應(yīng)熟記常見(jiàn)的典型分布的期望公式，可加快解題速度． 2. 【xx江蘇，理22】盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球，3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同. （1）從盒中一次隨機(jī)抽出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球的顏色相同的概率； （2）從盒中一次隨機(jī)抽出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別為，隨機(jī)變量表示的最大數(shù)，求的概率分布和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由題意； （2）隨機(jī)變量的取值可能為， ， ， ， 所以的分布列為 2 3 4 . 3．【xx江蘇，理22】設(shè)ξ為隨機(jī)變量．從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時(shí)，ξ＝0；當(dāng)兩條棱平行時(shí)，ξ的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時(shí)，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 【答案】(1) ．(2) ξ 0 1 P(ξ) 【解析】解：(1)若兩條棱相交，則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)，過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱，所以共有對(duì)相交棱，因此. (2)若兩條棱平行，則它們的距離為1或，其中距離為的共有6對(duì)，故， 于是P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝)＝， 所以隨機(jī)變量ξ的分布列是 ξ 0 1 P(ξ) 因此. 4．【xx山東，理18】（本小題滿分12分）在心理學(xué)研究中，常采用對(duì)比試驗(yàn)的方法評(píng)價(jià)不同心理暗示對(duì)人的影響，具體方法如下：將參加試驗(yàn)的志愿者隨機(jī)分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過(guò)對(duì)比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來(lái)評(píng)價(jià)兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機(jī)抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示. （I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。 （II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（I）(II)X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是. 【解析】試題分析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計(jì)算即得 (II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計(jì)算公式 得X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 進(jìn)一步計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望. 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P X的數(shù)學(xué)期望是 = 【考點(diǎn)】1.古典概型.2.隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.3.超幾何分布. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式和超幾何分布概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用超幾何分布的概率公式.本題屬中等難度的題目，計(jì)算量不是很大，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等. 5.【xx課標(biāo)1，理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布． （1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望； （2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查． （?。┰囌f(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性； （ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，． 用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）． 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則， ，． 【解析】 【考點(diǎn)】正態(tài)分布，隨機(jī)變量的期望和方差. 【名師點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平.求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí)，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)變量的所有取值，然后根據(jù)概率類(lèi)型選擇公式，計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率，列出對(duì)應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過(guò)一次，尤其是正態(tài)分布的原則. 6.【xx課標(biāo)II，理18】海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率分布直方圖如下： （1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率； （2） 填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： 箱產(chǎn)量＜50kg 箱產(chǎn)量≥50kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01） 附： 【答案】(1)； (2) 有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； (3)。 【解析】 ， 故的估計(jì)值為0。66 因此，事件A的概率估計(jì)值為。 （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量 箱產(chǎn)量 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 由于，故有的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)。 【考點(diǎn)】 獨(dú)立事件概率公式；獨(dú)立性檢驗(yàn)原理；頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)。 【名師點(diǎn)睛】利用獨(dú)立性檢驗(yàn)，能夠幫助我們對(duì)日常生活中的實(shí)際問(wèn)題作出合理的推斷和預(yù)測(cè)。獨(dú)立性檢驗(yàn)就是考察兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，隨機(jī)變量的觀測(cè)值值越大，說(shuō)明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可能性越大。 利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時(shí)，應(yīng)注意三點(diǎn)：①最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；②中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的；③平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。 7.【xx北京，理17】為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機(jī)分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥.一段時(shí)間后，記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù)，并制成下圖，其中“*”表示服藥者，“+”表示未服藥者. （Ⅰ）從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人，求此人指標(biāo)y的值小于60的概率； （Ⅱ）從圖中A，B，C，D四人中隨機(jī).選出兩人，記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望E（）； （Ⅲ）試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.（只需寫(xiě)出結(jié)論） 【答案】（Ⅰ）0.3；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【解析】 （Ⅱ）由圖知，A,B,C,D四人中，指標(biāo)的值大于1.7的有2人：A和C. 所以的所有可能取值為0,1,2. . 所以的分布列為 0 1 2 故的期望. （Ⅲ）在這100名患者中，服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)數(shù)據(jù)的方差. 【考點(diǎn)】1.古典概型；2.超幾何分布；3.方差的定義. 【名師點(diǎn)睛】求分布列的三種方法 1．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列； 2．由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列； 3．由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列． 8.【xx天津，理16】從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為. （Ⅰ）設(shè)表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望； （Ⅱ）若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這2輛車(chē)共遇到1個(gè)紅燈的概率. 【答案】 (1) (2) 所以，隨機(jī)變量的分布列為 0 1 2 3 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量概率分布列及數(shù)學(xué)期望 【名師點(diǎn)睛】求離散型隨機(jī)變量概率分布列問(wèn)題首先要清楚離散型隨機(jī)變量的可取值有那些？當(dāng)隨機(jī)變量取這些值時(shí)所對(duì)應(yīng)的事件的概率有是多少，計(jì)算出概率值后，列出離散型隨機(jī)變量概率分布列，最后按照數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出數(shù)學(xué)期望.；列出離散型隨機(jī)變量概率分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望是理科高考數(shù)學(xué)必考問(wèn)題. 9.【xx課標(biāo)3，理18】某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天數(shù) 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率. （1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列； （2）設(shè)六月份一天銷(xiāo)售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元）.當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ 【答案】(1)分布列略； (2) n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元. 【解析】 試題分析：(1) 所有的可能取值為200,300,500，利用題意求得概率即可得到隨機(jī)變量的分布列； (2)由題中所給條件分類(lèi)討論可得n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值520元. 試題解析：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數(shù)據(jù)知 ，，. 因此的分布列為 0.2 0.4 0.4 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的分布列；數(shù)學(xué)期望； 【名師點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列指出了隨機(jī)變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布——兩點(diǎn)分布與超幾何分布；并善于靈活運(yùn)用兩性質(zhì)：一是pi≥0(i＝1,2，…)；二是p1＋p2＋…＋pn＝1檢驗(yàn)分布列的正誤. 10．【xx高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買(mǎi)這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買(mǎi),則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買(mǎi)機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買(mǎi)幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購(gòu)買(mǎi)2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買(mǎi)的易損零件數(shù). （I）求的分布列； （II）若要求,確定的最小值； （III）以購(gòu)買(mǎi)易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)？ 【答案】（I）見(jiàn)解析（II）19（III） 【解析】 試題分析：（I）先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,,再用相互獨(dú)立事件概率模型求概率,然后寫(xiě)出分布列；（II）通過(guò)頻率大小進(jìn)行比較；（III）分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,應(yīng)選. 試題解析：（Ⅰ）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而 ； ； ； ； ； ； . 所以的分布列為 16 17 18 19 20 21 22 （Ⅱ）由（Ⅰ）知,,故的最小值為19. （Ⅲ）記表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買(mǎi)易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）. 當(dāng)時(shí), . 當(dāng)時(shí), . 可知當(dāng)時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于時(shí)所需費(fèi)用的期望值,故應(yīng)選. 考點(diǎn)：概率與統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)變量的分布列 【名師點(diǎn)睛】本題把隨機(jī)變量的分布列與統(tǒng)計(jì)及函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問(wèn)題. 11.【xx高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買(mǎi)該險(xiǎn)種的投保人稱(chēng)為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費(fèi)與其上年度的出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下： 上年度出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 保費(fèi) 0.85 1.25 1.5 1.75 2 設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下： 一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù) 0 1 2 3 4 5 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05 （Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率； （Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率； （Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；（Ⅱ）一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解. 試題解析：（Ⅰ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故 （Ⅱ）設(shè)表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出”，則事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故 又，故 因此所求概率為 （Ⅲ）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為，則的分布列為 因此續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為 考點(diǎn)： 條件概率，隨機(jī)變量的分布列、期望. 【名師點(diǎn)睛】條件概率的求法： (1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝，求P(B|A)； (2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時(shí)，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟：(1)理解隨機(jī)變量X的意義，寫(xiě)出X可能取得的全部值；(2)求X的每個(gè)值的概率；(3)寫(xiě)出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)． 12．【xx年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分） 我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案，擬確定一個(gè)合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過(guò)的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分按議價(jià)收費(fèi).為了了解居民用水情況，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖. （I）求直方圖中a的值； （II）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說(shuō)明理由； （III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計(jì)的值，并說(shuō)明理由. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9． （Ⅱ）由（Ⅰ），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12． 由以上樣本的頻率分布，可以估計(jì)全市30萬(wàn)居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 0000.12=36 000． （Ⅲ）因?yàn)榍?組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85， 而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85， 所以2.5≤x<3． 由0.3(x–2.5)=0.85–0.73， 解得x=2.9． 所以，估計(jì)月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時(shí)，85%的居民每月的用水量不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)． 考點(diǎn)：頻率分布直方圖. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.在頻率分布直方圖中，第個(gè)小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識(shí)圖的基礎(chǔ)． .13.【xx年高考北京理數(shù)】（本小題13分） A、B、C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）； A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （1）試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)； （2）從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率； （3）再?gòu)腁、B、C三個(gè)班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝艿腻憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25（單位：小時(shí)），這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記 ，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為 ，試判斷和的大小，（結(jié)論不要求證明） 【答案】（1）40；（2）；（3）. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表判斷C班人數(shù)，由分層抽樣的抽樣比計(jì)算C班的學(xué)生人數(shù)； （Ⅱ）根據(jù)題意列出“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”的所有事件，由獨(dú)立事件概率公式求概率. （Ⅲ）根據(jù)平均數(shù)公式進(jìn)行判斷即可. 試題解析：（1）由題意知，抽出的名學(xué)生中，來(lái)自班的學(xué)生有名，根據(jù)分層抽樣方法，班的學(xué)生人數(shù)估計(jì)為；（2）設(shè)事件為“甲是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人”，， 事件為“乙是現(xiàn)有樣本中班的第個(gè)人”，， 由題意可知，，；，， ，,. 設(shè)事件為“該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)”，由題意知， 因此 （3）根據(jù)平均數(shù)計(jì)算公式即可知，. 考點(diǎn)：1.分層抽樣；2.獨(dú)立事件的概率；3.平均數(shù) 【名師點(diǎn)睛】求復(fù)雜的互斥事件的概率的方法：一是直接法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥事件概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算；二是間接法，先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式，即運(yùn)用逆向思維的方法(正難則反)求解，應(yīng)用此公式時(shí)，一定要分清事件的對(duì)立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏.特別是對(duì)于含“至多”“至少”等字眼的題目，用第二種方法往往顯得比較簡(jiǎn)便. 14．【xx高考山東理數(shù)】（本小題滿分12分） 甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是，乙每輪猜對(duì)的概率是；每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求： （I）“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； （Ⅱ）“星隊(duì)”兩輪得分之和為X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）分布列見(jiàn)解析， 【解析】 試題分析：（Ⅰ）找出“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)所包含的基本事件，由獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解；（Ⅱ）由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得到X的分布列，根據(jù)期望公式求解. 試題解析： (Ⅰ)記事件A:“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”， 記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”， 記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”. 由題意， 由事件的獨(dú)立性與互斥性， , 所以“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率為. (Ⅱ)由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,4,6. 由事件的獨(dú)立性與互斥性，得 , , , , , . 可得隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 6 P 所以數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn)：1.獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式；2.隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式、隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.解答本題，首先要準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用獨(dú)立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式求解.本題較難，能很好的考查考生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力等. 15.【xx高考天津理數(shù)】（本小題滿分13分） 某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1,2,3的人數(shù)分別為3,3,4,.現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì). （I）設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率； （II）設(shè)為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見(jiàn)解析 【解析】 試題分析：（Ⅰ）先確定從這10人中隨機(jī)選出2人的基本事件種數(shù)：，再確定選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4所包含基本事件數(shù)：，最后根據(jù)概率公式求概率（Ⅱ）先確定隨機(jī)變量可能取值為再分別求出對(duì)應(yīng)概率，列出概率分布，最后根據(jù)公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望 試題解析：解：由已知，有 所以，事件發(fā)生的概率為. 隨機(jī)變量的所有可能取值為 ， ， . 所以，隨機(jī)變量分布列為 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望. 考點(diǎn)：概率，概率分布與數(shù)學(xué)期望 【名師點(diǎn)睛】求均值、方差的方法 1．已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； 2．已知隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解； 3．如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 16.【xx高考新課標(biāo)3理數(shù)】下圖是我國(guó)xx年至xx年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖 （I）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明； （II）建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測(cè)xx年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量． 附注： 參考數(shù)據(jù)：，，，≈2.646. 參考公式：相關(guān)系數(shù) 回歸方程 中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為： ． 【答案】（Ⅰ）理由見(jiàn)解析；（Ⅱ）1.82億噸． 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求出相關(guān)數(shù)據(jù)后，然后代入公式即可求得的值，最后根據(jù)其值大小回答即可；（Ⅱ）利用最小二乘法的原理提供的回歸方程，準(zhǔn)確求得相關(guān)數(shù)據(jù)即可建立關(guān)于的回歸方程，然后把代入回歸方程求得預(yù)測(cè)值． 試題解析：（Ⅰ）由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得 ，，， ， ． 因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系. （Ⅱ）由及（Ⅰ）得， ， 所以，關(guān)于的回歸方程為：. 將xx年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：， 所以預(yù)測(cè)xx年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量將約1.82億噸. 考點(diǎn)：線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用． 【方法點(diǎn)撥】（1）判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法：（1）利用散點(diǎn)圖直觀判斷；（2）將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出，然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷．求線性回歸方程時(shí)在嚴(yán)格按照公式求解時(shí)，一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性． 17．【xx高考福建，理16】某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢(qián)時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定. (Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率； (Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解析】（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則 （Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3，又 所以X的分布列為 所以． 18.【xx高考山東，理19】若是一個(gè)三位正整數(shù)，且的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱(chēng)為“三位遞增數(shù)”（如137,359,567等）.在某次數(shù)學(xué)趣味活動(dòng)中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個(gè)數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得分；若能被10整除，得1分. （I）寫(xiě)出所有個(gè)位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ； （II）若甲參加活動(dòng)，求甲得分的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（I）個(gè)位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有：125，135，145，235，245，345； （II）由題意知，全部“三位遞增烽”的個(gè)數(shù)為 ，隨機(jī)變量X的取值為：0，-1，1，因此 , , 所以X的分布列為 X 0 -1 1 P 因此 19.【xx高考天津，理16】為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加.現(xiàn)有來(lái)自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名.從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽. (I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來(lái)自同一個(gè)協(xié)會(huì)”求事件A發(fā)生的概率； (II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】(I)由已知，有，所以事件發(fā)生的概率為. (II)隨機(jī)變量的所有可能取值為， 所以隨機(jī)變量的分布列為 所以隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 20.【xx高考四川，理17】某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦3名男生，2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn)，由于集訓(xùn)后隊(duì)員的水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人，女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì) （1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率. （2）某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】（1）由題意，參加集訓(xùn)的男女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中抽?。ǖ葍r(jià)于A中沒(méi)有學(xué)生入選代表隊(duì)）的概率為.因此，A中學(xué)至少1名學(xué)生入選的概率為. （2）根據(jù)題意，X的可能取值為1，2，3.，，，，所以X的分布列為： 因此，X的期望為. 【xx年高考命題預(yù)測(cè)】 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差問(wèn)題是江蘇高考理科選修內(nèi)容，考試時(shí)一般為解答題.第一問(wèn)主要考查等可能事件的概率計(jì)算公式,互斥事件的概率加法公式，對(duì)立事件的概率減法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式,事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)種恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式等五個(gè)基本公式的應(yīng)用，第二問(wèn)主要考查分布列、均值與方差問(wèn)題，特別是離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差也是高考的重點(diǎn)，試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題. 從高考試題來(lái)看，頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差、分布列是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，客觀題考查知識(shí)點(diǎn)較單一，解答題考查得較為全面，常常和概率、平均數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起，考查學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．根據(jù)這幾年高考試題預(yù)測(cè)xx年高考，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望仍然是考查的熱點(diǎn)，同時(shí)應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等知識(shí)的結(jié)合． 【xx年高考考點(diǎn)定位】 本節(jié)主要有離散型隨機(jī)變量的分布列，超幾何分布，數(shù)學(xué)期望，方差等基本公式的應(yīng)用，‘試題多為課本例題,習(xí)題拓展加工的基礎(chǔ)題或中檔題.只要我們理解和掌握五個(gè)概率公式及其應(yīng)用,夯實(shí)基礎(chǔ),借助排列組合知識(shí)和化歸轉(zhuǎn)化思想方法,就能順利解答高考概率與統(tǒng)計(jì)試題. 最多的概率與統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的分值占整個(gè)卷面分值的12%，且本部分題多為中低檔題.從而可以看出近幾年高考中概率與統(tǒng)計(jì)所占地位的重要性. 【考點(diǎn)1】離散型隨機(jī)變量的分布列 【備考知識(shí)梳理】 1．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)隨機(jī)變量：如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量，隨機(jī)變量常用字母X，Y，ξ，η等表示． (2)離散型隨機(jī)變量：對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．若是隨機(jī)變量，，其中是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量. 2.常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為 0 1 其中，則稱(chēng)離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱(chēng)為成功概率． (2)超幾何分布：在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件{}發(fā)生的概率為，，其中，且，稱(chēng)分布列為超幾何分布列. 0 1 … m … (3)設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取得值為，，…，，…，取每一個(gè)值 ()的概率為，則稱(chēng)表 … … … … 為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)X的分布列．有時(shí)為了表達(dá)簡(jiǎn)單，也用等式，表示的分布列． 分布列的兩個(gè)性質(zhì)：①，；②. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求分布列的三種方法 (1)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到離散型隨機(jī)變量的分布列；(1)可設(shè)出隨機(jī)變量Y，并確定隨機(jī)變量的所有可能取值作為第一行數(shù)據(jù)；(2)由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)利用事件發(fā)生的頻率近似地表示該事件的概率作為第二行數(shù)據(jù)．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到分布列可幫助我們更好理解分布列的作用和意義． (2)由古典概型求出離散型隨機(jī)變量的分布列；求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識(shí)求出X取各個(gè)值的概率．而超幾何分布就是此類(lèi)問(wèn)題中的一種． (3)由互斥事件的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率及n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有k次發(fā)生的概率求離散型隨機(jī)變量的分布列． 2. 求離散型隨機(jī)變量分布列的步驟 (1)找出隨機(jī)變量X的所有可能取值xi(i＝1,2,3，…，n)； (2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確． 3. 解答離散型隨機(jī)變量的分布列及相關(guān)問(wèn)題的一般思路 (1)明確隨機(jī)變量可能取哪些值． (2)結(jié)合事件特點(diǎn)選取恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法計(jì)算這些可能取值的概率值． (3)根據(jù)分布列和期望、方差公式求解． 注意 解題中要善于透過(guò)問(wèn)題的實(shí)際背景發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1．小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(gè). （Ⅰ）若小王發(fā)放5元的紅包2個(gè)，求甲恰得1個(gè)的概率； （Ⅱ）若小王發(fā)放3個(gè)紅包，其中5元的2個(gè)，10元的1個(gè).記乙所得紅包的總錢(qián)數(shù)為X，求X的分布列和期望. 【解析】（Ⅰ）設(shè)“甲恰得一個(gè)紅包”為事件A，． （Ⅱ）X的所有可能值為0，5，10，15，20．， ，， ，． X的分布列： X 0 5 10 15 20 P E(X)＝0＋5＋10＋15＋20＝． 2.學(xué)校為測(cè)評(píng)班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師的滿意度，采用“100分制”打分的方式來(lái)計(jì)分.現(xiàn)從某班學(xué)生中隨機(jī)抽取10名，以下莖葉圖記錄了他們對(duì)某教師的滿意度分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）： 規(guī)定若滿意度不低于98分，測(cè)評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”. （I）求從這10人中隨機(jī)選取3人，至多有1人評(píng)價(jià)該教師是“優(yōu)秀”的概率； （II）以這10人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)班級(jí)的總體數(shù)據(jù)，若從該班任選3人，記表示抽到評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望. 【解析】（Ⅰ）設(shè)表示所取3人中有個(gè)人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”，至多有1人評(píng)價(jià)該教師為“優(yōu)秀”記為事件，則 （Ⅱ）的可能取值為0、1、2、3 , ; ; ; . 分布列為 . 【考點(diǎn)2】離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【備考知識(shí)梳理】 1．均值 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 … … … … 稱(chēng)為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． 若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且. 若服從兩點(diǎn)分布，則； 若，則. 2.方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 … … … … 則描述了 ()相對(duì)于均值的偏離程度，而為這些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫(huà)了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．稱(chēng)為隨機(jī)變量的方差，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差． 若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且． 若服從兩點(diǎn)分布，則． 若，則． 【規(guī)律方法技巧】. 1. 求離散型隨機(jī)變量均值、方差的基本方法 (1)已知隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機(jī)變量的均值、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，可直接利用它們的均值、方差公式求解． 2. 求離散型隨機(jī)變量均值的步驟 (1)理解隨機(jī)變量的意義，寫(xiě)出可能取得的全部值； (2)求的每個(gè)值的概率； (3)寫(xiě)出的分布列； (4)由均值定義求出． 3. 六條性質(zhì) (1) (為常數(shù)) (2) (為常數(shù)) (3) (4)如果相互獨(dú)立，則 (5) (6) 4. 均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量，則一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.某公司為招聘新員工設(shè)計(jì)了一個(gè)面試方案:應(yīng)聘者從道備選題中一次性隨機(jī)抽取道題，按照題目要求獨(dú)立完成規(guī)定:至少正確完成其中道題的便可通過(guò).已知道備選題中應(yīng)聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響 （1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列，并計(jì)算其數(shù)學(xué)期望； （2）請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性大？ 【解析】（1）設(shè)甲正確完成面試的題數(shù)為， 則的取值分別為 ；；； 考生甲正確完成題數(shù)的分布列為 ，設(shè)乙正確完成面試的題數(shù)為，則取值分別為 ，； ，， ， 考生乙正確完成題數(shù)的分布列為: （2）因?yàn)椋? ，（或），所以， (或：因?yàn)椋?，所?) 綜上所述，從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；但從方差來(lái)看甲發(fā)揮比較穩(wěn)定，從至少完成兩道題的概率考查，甲的勝算大點(diǎn) 2.某企業(yè)有位員工．?dāng)M在新年聯(lián)歡會(huì)中，增加一個(gè)摸球兌獎(jiǎng)的環(huán)節(jié)，規(guī)定：每位員工從一個(gè)裝有個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該員工所獲的中獎(jiǎng)?lì)~．企業(yè)預(yù)算抽獎(jiǎng)總額為元，共提出兩種方案． 方案一：袋中所裝的個(gè)球中有兩個(gè)球所標(biāo)的面值為元，另外兩個(gè)標(biāo)的面值為元； 方案二：袋中所裝的個(gè)球中有兩個(gè)球所標(biāo)的面值為元，另外兩個(gè)標(biāo)的面值為元． （Ⅰ）求兩種方案中，某員工獲獎(jiǎng)金額的分布列； （Ⅱ）在兩種方案中，請(qǐng)幫助該企業(yè)選擇一個(gè)適合的方案，并說(shuō)明理由． 【解析】（1）設(shè)方案一某員工獲獎(jiǎng)金額為，則的可能取值為， , ，則的分布列為 20 60 100 設(shè)方案二某員工獲獎(jiǎng)金額為，則的可能取值為， ,，則的分布列為 40 60 80 （2）, 若回答由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望相等，希望獎(jiǎng)金分配更集中，方案二的方差比方案一的方差小，所以應(yīng)該選擇方案二 若回答由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的期望相等，希望獎(jiǎng)金分配差距大一些，方案一的方差比方案二的方差大，所以應(yīng)該選擇方案一 【兩年模擬詳解析】 1．【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知袋中裝有大小相同的2個(gè)白球、2個(gè)紅球和1個(gè)黃球.一項(xiàng)游戲規(guī)定：每個(gè)白球、紅球和黃球的分值分別是0分、1分和2分，每一局從袋中一次性取出三個(gè)球，將3個(gè)球?qū)?yīng)的分值相加后稱(chēng)為該局的得分，計(jì)算完得分后將球放回袋中.當(dāng)出現(xiàn)第局得分（）的情況就算游戲過(guò)關(guān)，同時(shí)游戲結(jié)束，若四局過(guò)后仍未過(guò)關(guān)，游戲也結(jié)束. （1）求在一局游戲中得3分的概率； （2）求游戲結(jié)束時(shí)局?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【答案】（1）（2） 【解析】 解：（1）設(shè)在一局游戲中得3分為事件， 則. 答：在一局游戲中得3分的概率為. （2）的所有可能取值為1，2，3，4. 在一局游戲中得2分的概率為， ； ； ； . 所以 . 2．【南京市、鹽城市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】（本小題滿分10分） 某年級(jí)星期一至星期五每天下午排3節(jié)課，每天下午隨機(jī)選擇1節(jié)作為綜合實(shí)踐課（上午不排該課程），張老師與王老師分別任教甲、乙兩個(gè)班的綜合實(shí)踐課程. （1）求這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率； （2）設(shè)這兩個(gè)班“在一周中同時(shí)上綜合實(shí)踐課的節(jié)數(shù)”為X，求X的概率分布表與數(shù)學(xué)期望E(X). 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 解：（1）這兩個(gè)班“在星期一不同時(shí)上綜合實(shí)踐課”的概率為. ……4分 （2）由題意得，. …………6分 所以X的概率分布表為： X 0 1 2 3 4 5 P …………8分 所以，X的數(shù)學(xué)期望為. …………10分 3．【xx年第三次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為．現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即終止．若摸出白球，則記2分，若摸出黑球，則記1分．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的．用表示甲、乙最終得分差的絕對(duì)值． （1）求袋中原有白球的個(gè)數(shù)； （2）求隨機(jī)變量的分布列及期望． 【解析】（1）設(shè)袋中原有個(gè)白球，由題意，知， 解之得（負(fù)值舍去），即袋中原有3個(gè)白球．………………3分 0 2 4 P 所以的分布列為 ．………………10分 4．【xx年第一次全國(guó)大聯(lián)考江蘇卷】已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，現(xiàn)從該正四棱柱的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)點(diǎn).設(shè)隨機(jī)變量的值為以取出的個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積. （1）求概率； （2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望 【解析】 （1）因?yàn)檎睦庵牡酌孢呴L(zhǎng)為，高為， 所以面積為的三角形的個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)只能是同一底面上的頂點(diǎn)，共有個(gè). 因此……………4分 （2）顯然題設(shè)三角形三邊不可能都是正四棱柱的棱. ①若三角形中恰有兩邊為正四棱柱的棱，另一邊為底面對(duì)角線時(shí)，由（1）知，；若三角形中恰有兩邊為正四棱柱的棱，另一邊為側(cè)面對(duì)角線時(shí)，且 ②若三角形中恰有一邊為正四棱柱底面的棱時(shí)，且 若三角形中恰有一邊為正四棱柱側(cè)棱時(shí)，且 ③若三角形中的邊都不是正四棱柱的棱，則三邊中兩條為側(cè)面對(duì)角線，一條為底面對(duì)角線.于是且 所以隨機(jī)變量的分布列是 因此……………10分 5．【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測(cè)卷02（江蘇卷）】某校為了解本校學(xué)生的課后玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天玩電腦游戲的時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖． （Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)抽取樣本的平均數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （Ⅱ）已知樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在的學(xué)生中，男生比女生多1人，現(xiàn)從中選人進(jìn)行回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與期望． 【解析】解：（Ⅰ），-----------------------（1分） --------------（3分） （Ⅱ）樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在內(nèi)的學(xué)生為人，---------------------（4分） 其中男生人，女生人，則 的可能取值為，則 --------------（7分） 的分布列為 1 2 3 ---------------------------------------------（8分） 所以.----------------（10分） 6．【揚(yáng)州市xx學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)】（本小題滿分10分） 為了提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校決定在每周的同一時(shí)間開(kāi)設(shè)《數(shù)學(xué)史》、《生活中的數(shù)學(xué)》、《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》、《數(shù)學(xué)建?！匪拈T(mén)校本選修課程，甲、乙、丙三位同學(xué)每人均在四門(mén)校本課程中隨機(jī)選一門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí)，假設(shè)三人選擇課程時(shí)互不影響，且每人選擇每一課程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率； （2）設(shè)為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【解析】解：⑴甲、乙、丙三人從四門(mén)課程中各任選一門(mén)，共有種不同的選法，記“甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同”為事件，事件共包含個(gè)基本事件，則，所以甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率為. --------------------3分 ⑵方法一：可能的取值為， --------------------4分 ，， ，. --------------------8分 所以的分布列為： X 0 1 2 3 所以的數(shù)學(xué)期望. -------------10分 方法二：甲、乙、丙三人從四門(mén)課程中任選一門(mén)，可以看成三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，為甲、乙、丙三人中選修《數(shù)學(xué)史》的人數(shù)，則，所以，， 所以的分布列為： X 0 1 2 3 所以的數(shù)學(xué)期望. 7．【xx南通揚(yáng)州泰州蘇北四市高三二?！浚ū拘☆}滿分10分） 某樂(lè)隊(duì)參加一戶外音樂(lè)節(jié)，準(zhǔn)備從3首原創(chuàng)新曲和5首經(jīng)典歌曲中隨機(jī)選擇4首進(jìn)行演唱． （1）求該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率； （2）假定演唱一首原創(chuàng)新曲觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為a（a為常數(shù)），演唱一首經(jīng)典歌曲觀 眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)為2a．求觀眾與樂(lè)隊(duì)的互動(dòng)指數(shù)之和的概率分布及數(shù)學(xué)期望． 解：（1）設(shè)“至少演唱1首原創(chuàng)新曲”為事件， 則事件的對(duì)立事件為：“沒(méi)有1首原創(chuàng)新曲被演唱”． 所以． 答：該樂(lè)隊(duì)至少演唱1首原創(chuàng)新曲的概率為． …… 4分 （2）設(shè)隨機(jī)變量表示被演唱的原創(chuàng)新曲的首數(shù)，則的所有可能值為0，1，2，3． 依題意，，故的所有可能值依次為8a，7a，6a，5a． 則， ， ， ． 從而的概率分布為： …… 8分 所以的數(shù)學(xué)期望．…… 10分 8. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)xx學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測(cè)】計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水庫(kù)年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立． （1）求在未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率； （2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系； 年入流量 發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù) 1 2 3 若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年利潤(rùn)為5000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)發(fā)電機(jī)年虧損800萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？ 【答案】（1）0.9477；（2）2臺(tái)． 【解析】（1）由題意得：,由二項(xiàng)分布，在未來(lái)4年中，至多1年的年入流量超過(guò)120的概率為 (2) 設(shè)水電站年總利潤(rùn)為（萬(wàn)元） ①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)， ②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)，的分布列為 4200 10000 0.2 0.8 ③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)，的分布列為 3400 9200 15000 0.2 0.7 0.1 綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái)． 9．【江蘇省蘇中三市（南通、揚(yáng)州、泰州）xx屆高三第二次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題】（本小題滿分10分）一個(gè)摸球游戲，規(guī)則如下：在一不透明的紙盒中，裝有6個(gè)大小相同、顏色各異的玻璃球．參加者交費(fèi)1元可玩1次游戲，從中有放回地摸球3次．參加者預(yù)先指定盒中的某一種顏色的玻璃球，然后摸球．當(dāng)所指定的玻璃球不出現(xiàn)時(shí)，游戲費(fèi)被沒(méi)收；當(dāng)所指定的玻璃球出現(xiàn)1次，2次，3次時(shí)，參加者可相應(yīng)獲得游戲費(fèi)的0倍，1倍，倍的獎(jiǎng)勵(lì)（），且游戲費(fèi)仍退還給參加者．記參加者玩1次游戲的收益為元． （1）求概率的值； （2）為使收益的數(shù)學(xué)期望不小于0元，求的最小值． （注：概率學(xué)源于賭博，請(qǐng)自覺(jué)遠(yuǎn)離不正當(dāng)?shù)挠螒颍?