2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題10.1 橢圓試題（含解析）.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題10.1 橢圓試題（含解析） 【三年高考】 1．【xx江蘇】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8．點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，過點(diǎn)作直線的垂線． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線，的交點(diǎn)在橢圓上，求點(diǎn)的坐標(biāo)． 【答案】（1）；（2）． 試題解析：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c． 因?yàn)闄E圓E的離心率為，兩準(zhǔn)線之間的距離為8，所以，， 解得，于是，因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是． 因?yàn)?，，所以直線的斜率為，直線的斜率為， 從而直線的方程：， ① 直線的方程：． ② 由①②，解得，所以． 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，由對(duì)稱性，得，即或． 又在橢圓E上，故． 由，解得；，無解． 因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為． 【考點(diǎn)】橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用根與系數(shù)關(guān)系或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)在曲線上（點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程）等． 2. 【xx江蘇，理17】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是，連接并延長交橢圓于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)，連接. （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程； （2）若，求橢圓離心率的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 試題分析：（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般要找到關(guān)系的兩個(gè)等量關(guān)系，本題中橢圓過點(diǎn)，可把點(diǎn)的坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得到一個(gè)關(guān)于的方程，另外，這樣兩個(gè)等量關(guān)系找到了；（2）要求離心率，就是要列出關(guān)于的一個(gè)等式，題設(shè)條件是，即，，要求，必須求得的坐標(biāo)，由已知寫出方程，與橢圓方程聯(lián)立可解得點(diǎn)坐標(biāo)，則，由此可得，代入可得關(guān)于的等式，再由可得的方程，可求得. 試題解析：（1）由題意，，，，又，∴，解得．∴橢圓方程為． （2）直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，，又，由得，即，∴，化簡得． 3．【xx江蘇，理12】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞0，b＞0)，右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B.設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d1，F(xiàn)到l的距離為d2.若，則橢圓C的離心率為__________． 【答案】 【解析】設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可設(shè)直線BF的方程為，即bx＋cy－bc＝0.于是可知，. ∵，∴，即. ∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝. ∴. 4．【xx浙江，2】橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：，選B． 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單幾何性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等． 5.【xx課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2 為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【考點(diǎn)】 橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關(guān)系 【名師點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式e＝ ； ②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 6．【xx課標(biāo)1，理20】已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn). 【解析】 試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過，兩點(diǎn). 又由知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上. 因此，解得. 故C的方程為. 【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系. 【名師點(diǎn)睛】橢圓的對(duì)稱性是橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)，判斷點(diǎn)是否在橢圓上，可以通過這一方法進(jìn)行判斷；證明直線過定點(diǎn)的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，通過一定關(guān)系轉(zhuǎn)化，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系式，從而可以判斷過定點(diǎn)情況.另外，在設(shè)直線方程之前，若題設(shè)中為告知，則一定要討論直線斜率不存在和存在情況，接著通法是聯(lián)立方程組，求判別式、韋達(dá)定理，根據(jù)題設(shè)關(guān)系進(jìn)行化簡. 7．【xx高考新課標(biāo)1文數(shù)改編】直線l經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為　　　?。? 【答案】 【解析】 試題分析：如圖,由題意得在橢圓中, 在中,,且,代入解得 ,所以橢圓得離心率得． y x O B F D 考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì) 【名師點(diǎn)睛】求橢圓或雙曲線離心率是高考?？紗栴},求解此類問題的一般步驟是先列出等式,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程,方程兩邊同時(shí)除以a的最高次冪,轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程,解方程求e . 8．【xx高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)改編】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過的中點(diǎn)，則的離心率為　　?。? 【答案】 【解析】 試題分析：由題意設(shè)直線的方程為，分別令與得點(diǎn)，，由，得，即，整理，得，所以橢圓離心率為． 考點(diǎn)：橢圓方程與幾何性質(zhì)． 【思路點(diǎn)撥】求解橢圓的離心率問題主要有三種方法：（1）直接求得的值，進(jìn)而求得的值；（2）建立的齊次等式，求得或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等式求解；(3)通過特殊值或特殊位置，求出． 9．【xx高考北京文數(shù)】（本小題14分） 已知橢圓C：過點(diǎn)A（2,0），B（0,1）兩點(diǎn). （I）求橢圓C的方程及離心率； （Ⅱ）設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：四邊形ABNM的面積為定值. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析. 【解析】 試題分析：（Ⅰ）根據(jù)兩頂點(diǎn)坐標(biāo)可知a,b的值，則亦知橢圓方程，根據(jù)橢圓性質(zhì)及離心率公式求解；（Ⅱ）四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，分別求出對(duì)角線的值求乘積為定值即可. 試題解析：（I）由題意得，，． 所以橢圓的方程為． 又， 所以離心率． （II）設(shè)（，），則． 又，，所以， 直線的方程為． 令，得，從而． 直線的方程為． 令，得，從而． 所以四邊形的面積 ． 從而四邊形的面積為定值． 考點(diǎn)：橢圓方程，直線和橢圓的關(guān)系，運(yùn)算求解能力. 【名師點(diǎn)睛】解決定值定點(diǎn)方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點(diǎn)、定值、定線，再證明定點(diǎn)、定值、定線與變量無關(guān)；(2)直接計(jì)算、推理，并在計(jì)算、推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值、定線.應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問題的特點(diǎn)，設(shè)而不求方法、整體思想和消元的思想的運(yùn)用可有效地簡化運(yùn)算. 10．【xx高考山東文數(shù)】(本小題滿分14分) 已知橢圓C:（a>b>0）的長軸長為4，焦距為2. （I）求橢圓C的方程； (Ⅱ)過動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N，交C于點(diǎn)A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q，延長線QM交C于點(diǎn)B. (i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k，證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)見解析；(ii)直線AB 的斜率的最小值為 . 【解析】 試題分析：(Ⅰ)分別計(jì)算即得. (Ⅱ)(i)設(shè)， 利用對(duì)稱點(diǎn)可得 得到直線PM的斜率，直線QM的斜率，即可證得. (ii)設(shè)，分別將直線PA的方程，直線QB的方程與橢圓方程 聯(lián)立， 應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到、及用表示的式子，進(jìn)一步應(yīng)用基本不等式即得. 試題解析：(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距為c， 由題意知， 所以， 所以橢圓C的方程為. (Ⅱ)(i)設(shè)， 由，可得 所以 直線PM的斜率 ， 直線QM的斜率. 此時(shí)，所以為定值. (ii)設(shè)， 直線PA的方程為， 直線QB的方程為. 聯(lián)立 ， 整理得. 由可得 ， 所以， 同理. 所以， ， 所以 由，可知， 所以 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得. 此時(shí)，即，符號(hào)題意. 所以直線AB 的斜率的最小值為 . 考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.基本不等式. 【名師點(diǎn)睛】本題對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答此類題目，利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到參數(shù)的解析式或方程是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出..本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分析問題解決問題的能力等. 11．【xx高考新課標(biāo)1，理14】一個(gè)圓經(jīng)過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 【答案】 【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為. 12．【xx高考安徽，理20】設(shè)橢圓E的方程為，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)M在線段AB上，滿足，直線OM的斜率為. （I）求E的離心率e； （II）設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求E的方程. 【解析】（I）由題設(shè)條件知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，從而，進(jìn)而得，故. （II）由題設(shè)條件和（I）的計(jì)算結(jié)果可得，直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為.又點(diǎn)在直線上，且,從而有解得，所以，故橢圓的方程為. 13.【xx高考重慶，理21】如題（21）圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且 （1）若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （2）若求橢圓的離心率 【解析】 (1)由橢圓的定義，設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知，因此即從而，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且，則，求得由,得,從而由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此，于是解得. 解法二：如圖(21)圖由橢圓的定義，,從而由，有，又由，知，因此,,從而 由,知，因此 14.【xx高考湖北，理21】一種作圖工具如圖1所示．是滑槽的中點(diǎn)，短桿可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，長桿通過處鉸鏈與連接，上的栓子可沿滑槽AB滑動(dòng)，且，．當(dāng)栓子在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)繞轉(zhuǎn)動(dòng)一周（不動(dòng)時(shí)，也不動(dòng)），處的筆尖畫出的曲線記為．以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系． （Ⅰ）求曲線C的方程； （Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線與兩定直線和分別交于兩點(diǎn)．若直線總與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由． x D O M N y 【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，，依題意，，且，所以，且，即且 由于當(dāng)點(diǎn)不動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也不動(dòng)，所以不恒等于0，于是，故，代入，可得，即所求的曲線的方程為 （Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為或，都有. 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線， 由 消去，可得.因?yàn)橹本€總與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以，即. ① 又由 可得；同理可得.由原點(diǎn)到直線的距離為和，可得. ② 將①代入②得，. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，.因，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)時(shí)，的最小值為8. 15.【xx高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)， 的直線的距離為． （I）求橢圓的離心率； （II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程． 【解析】（I）過點(diǎn)，的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率. (II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1) 依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得，設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為. 解法二：由（I）知，橢圓的方程為. (2) 依題意，點(diǎn)，關(guān)于圓心對(duì)稱，且.設(shè)則，，兩式相減并結(jié)合得.易知，不與軸垂直，則，所以的斜率因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為. 【xx年高考命題預(yù)測】 縱觀xx各地高考試題，對(duì)橢圓的考查，重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，高考中以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，一般是難題，分值一般為5-12分. 展望xx年高考，對(duì)橢圓的考查，仍重點(diǎn)考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系，仍以選擇題、填空、解答題的第一小題的形式考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性質(zhì)，難度仍為容易題或中檔題，以解答題的第二問的形式考查直線與橢圓的位置關(guān)系，難度仍難題，分值保持在5-12分.在備戰(zhàn)xx年高考中，要熟記橢圓的定義，會(huì)利用定義解決橢圓上一點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，會(huì)根據(jù)題中的條件用待定系數(shù)法、定義法等方法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)根據(jù)條件研究橢圓的幾何性質(zhì)，會(huì)用舍而不求思想處理直線與橢圓的位置關(guān)系，重點(diǎn)掌握與橢圓有關(guān)的最值問題、定點(diǎn)與定值問題、范圍問題的處理方法，注意題中向量條件的轉(zhuǎn)化與向量方法應(yīng)用. 【xx年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)橢圓的考查有三種主要形式：一是直接考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；二是考查橢圓的幾何性質(zhì)；三是考查直線與橢圓的位置關(guān)系，從涉及的知識(shí)上講，常平面幾何、直線方程與兩直線的位置關(guān)系、圓、平面向量、函數(shù)最值、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系，字母運(yùn)算能力和邏輯推理能力是考查是的重點(diǎn). 【考點(diǎn)1】橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程 【備考知識(shí)梳理】 1.橢圓的定義：把平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離叫焦距，符號(hào)表述為：(). 注意：（1）當(dāng)時(shí)，軌跡是線段.(2)當(dāng)時(shí)，軌跡不存在. 2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1） 焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.給定橢圓，要根據(jù)的大小判定焦點(diǎn)在那個(gè)坐標(biāo)軸上，焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)坐標(biāo)軸上.(2)橢圓中關(guān)系為：. 【規(guī)律方法技巧】 1.利用橢圓的定義可以將橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化，對(duì)橢圓上一點(diǎn)與其兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形問題，常用橢圓的定義與正余弦定理去處理. 2.求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法 (1)定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于兩點(diǎn)之間的距離），符合橢圓的定義，該曲線是以這兩定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定值為長軸長的橢圓，從而求出橢圓方程中的參數(shù)，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (2)待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，一般分三步完成，①定性-確定它是橢圓；②定位判定中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上；③定量-建立關(guān)于基本量的關(guān)系式，解出參數(shù)即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 3.若若橢圓的焦點(diǎn)位置不定，應(yīng)分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上，也可設(shè)橢圓方程為，可避免分類討論和繁瑣的計(jì)算. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 已知橢圓 的焦距為2,過M（1,1）斜率為-直線交曲線C于且M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_____________. 【答案】 【解析】由題知，2c=2，c=1，即，① 設(shè)A，，則=2，=2，③，④， ③-④得===0， ∴===-⑤，由①⑤解得，，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，. 2.在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)F（2，0）. （Ⅰ）求直線的方程； （Ⅱ）如果一個(gè)橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解析】（Ⅰ）由于直線經(jīng)過點(diǎn)和F（2，0）， 則根據(jù)兩點(diǎn)式得，所求直線的方程為 即從而直線的方程是 （Ⅱ）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0）， 則①， 又點(diǎn)在橢圓上， 則② 由①②解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 【考點(diǎn)2】橢圓的幾何性質(zhì) 【備考知識(shí)梳理】 1.橢圓的幾何性質(zhì) 焦點(diǎn)在x軸上 焦點(diǎn)在y軸上 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn) (c,0) (0，c) 焦距 |F1F2|＝2c(c2＝a2－b2) 范圍 |x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a 頂點(diǎn) 長軸頂點(diǎn)(a,0)，短軸頂點(diǎn)(0，b) 長軸頂點(diǎn)(0，a)，短軸頂點(diǎn)(b,0) 對(duì)稱性 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱 曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱 離心率 e＝∈(0，1)，其中c＝ 2.點(diǎn)與橢圓關(guān)系（1）點(diǎn)在橢圓內(nèi)；（2）點(diǎn)在橢圓上；（3）點(diǎn)在橢圓外. 【規(guī)律方法技巧】 1.求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖像進(jìn)行分析，即使不畫圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖像.當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系. 2.橢圓取值范圍實(shí)質(zhì)實(shí)質(zhì)是橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的取值范圍，在求解一些最值、取值范圍以及存在性、判斷性問題中有著重要的應(yīng)用. 3.求離心率問題，關(guān)鍵是先根據(jù)題中的已知條件構(gòu)造出的等式或不等式，結(jié)合化出關(guān)于的式子，再利用，化成關(guān)于的等式或不等式，從而解出的值或范圍.離心率與的關(guān)系為：=. 4.橢圓上一點(diǎn)到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離的取值范圍為[]. 4.橢圓的通徑（過焦點(diǎn)垂直于焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸的直線被橢圓截得的弦叫通徑）長度為，是過橢圓焦點(diǎn)的直線被橢圓所截得弦長的最小值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.橢圓上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為________ 【答案】 【解析】橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為 2.橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為___________． 【答案】 【解析】設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以，，將其代入橢圓方程可得，化簡可得，解得． 【考點(diǎn)3】直線與橢圓的位置關(guān)系 【備考知識(shí)梳理】 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，若判別式Δ＞0，則直線與橢圓交；若△=0，則直線與橢圓相切；若△＜0，則直線與橢圓相離. 【規(guī)律方法技巧】 1. 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，則一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，常設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，用根與系數(shù)關(guān)系將橫坐標(biāo)之和與之積表示出來，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)． 2．直線y＝kx＋b(k≠0)與圓錐曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝|y1－y2|＝. 3．對(duì)中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為． （Ⅰ）若為等邊三角形,求橢圓的方程; （Ⅱ）若橢圓的短軸長為,過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且,求直線的方程． 【解析】（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為．根據(jù)題意知, 解得, 故橢圓的方程為． （Ⅱ）容易求得橢圓的方程為．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),其方程為,不符合題意; 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為．由 得．設(shè),則 對(duì)任意都成立， ，因?yàn)?所以,即 , 解得,即． 故直線的方程為或． 2.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)． （Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （Ⅱ）過點(diǎn)的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，試判斷直線是否恒過一定點(diǎn)，并證明你的結(jié)論． 【解析】（Ⅰ）由題意可得，所以，即，即，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為； （Ⅱ）設(shè)直線的方程為,，則．由消整理得， 則，即． ． 直線，，，，即 所以，直線恒過定點(diǎn)． 【兩年模擬詳解析】 1. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，是以橢圓短軸為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則 ． 【答案】 【解析】 2. 【xx年高考原創(chuàng)押題預(yù)測卷01（江蘇卷）】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過且與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為 ． 【答案】 【解析】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， 將代入橢圓方程可得，故可設(shè)，由, 可得，即有，即， 可得，代入橢圓方程可得，， 由，即有，解得，故. 3. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級(jí)第三次調(diào)研考試】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的左、右頂點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在軸上方）. （1）若，求直線的方程； （2）設(shè)直線，的斜率分別為，，是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）（2） 【解析】 解:(1) 因?yàn)?，，所以，所以的坐?biāo)為（1,0）， 設(shè)，，直線的方程為， 代入橢圓方程，得， 則，． 若，則， 解得，故直線的方程為． （2）由（1）知，，， 所以， 所以， 故存在常數(shù)，使得． 4.【xx學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）】已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線方程為. （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）已知直線交橢圓于，兩點(diǎn). ①若直線經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且滿足，.求證：為定值； ②若（為原點(diǎn)），求面積的取值范圍. 【答案】（1）（2）①② 【解析】 解：（1）由題設(shè)知，，， ，， ：. （2）①由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則. 設(shè)，，直線代入橢圓得，整理得， ，，. 由，知，， （定值）. ②當(dāng)直線，分別與坐標(biāo)軸重合時(shí)，易知的面積， 當(dāng)直線，的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)：，：， 設(shè)，，將代入橢圓得到， ，，同理，， 的面積 . 令 ， ， 令，則 . 綜上所述，. 5. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】(本小題滿分14分) 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn). （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)直線交橢圓于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，，記直線的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，求的值. l T P O y x Q 第17題圖 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 解：（1）因，所以橢圓的焦點(diǎn)在軸上， 又圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距， ……………3分 所以，即，所以橢圓的方程為. ……………6分 （2）方法一：設(shè)，，， 聯(lián)立，消去，得， 所以，又，所以， 所以，， ……………10分 則. …………14分 方法二：設(shè)，，， 則， 兩式作差，得， 又，，∴，∴， 又，在直線上，∴，∴，① 又在直線上，∴，② 由①②可得，. ……………10分 以下同方法一. 6.【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級(jí)第一次模擬】已知橢圓的離心率為，且點(diǎn)在橢圓上． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且， 求面積的最大值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）1 【解析】 解：（1）由已知得，， 解得，， ……2分 橢圓的方程是. ……4分 （2）設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為，直線，與橢圓交點(diǎn)為，， 聯(lián)立，，得， ， ∴ ，， ∴ ，即， ……6分 由，得， ……10分 則S△POQ， 令， ……12分 設(shè)，則， ……14分 當(dāng)且僅當(dāng)，即，S△POQ， ……15分 所以△面積的最大值為1. ……16分 7.【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為． （1）求橢圓的方程； （2）若為橢圓上兩不同點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.當(dāng)三角形面積等于時(shí)，求的取值范圍. 【解析】解：（1）設(shè)橢圓的焦距為. 則 ， 因此橢圓方程為.………………………4分 （2）①若直線垂直軸，則由 ，即………………………6分 ②若直線不垂直軸，設(shè)直線 由 得 所以 ，………………………8分 因此 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào). …………12分 此時(shí) ， 因此 ，. 綜合①②得的取值范圍為.………………………16分 8.【xx年第三次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分） 已知橢圓的離心率為，上、下頂點(diǎn)分別為．為直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與軸交點(diǎn)除外)，直線交橢圓于另一個(gè)點(diǎn) （1）求橢圓方程； （2）若直線的斜率分別為求證：為定值； （3）求的取值范圍． 【解析】（1）由題意得，因此橢圓方程為．……………………2分 （2）設(shè)，則， 因此， 因?yàn)椋詾槎ㄖ担?分 （3）由（2）得 ， 因?yàn)?，且，所以…………?6分 9.【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為.橢圓上一點(diǎn)滿足：在軸上方，且軸. （1）若∥，求的值； （2）連結(jié)并延長交橢圓于另一點(diǎn).若，求的取值范圍. 【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為. 因?yàn)檩S，則可設(shè). 因?yàn)樵跈E圓上，所以，解得，即.……………2分 因?yàn)椤?，所以，?……………4分 所以.……………6分 （2）設(shè)，. 由（1）知，又,故，， 由得，，且. 解得，所以，……………9分 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，變形得， 因?yàn)?，所以，…………?3分 因?yàn)椋裕? 解不等式得， 所以的取值范圍為.……………16分 10. 【江蘇省揚(yáng)州中學(xué)xx學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測】已知是橢圓：與雙曲線的一個(gè)公共焦點(diǎn)，A，B分別是，在第二、四象限的公共點(diǎn)．若，則的離心率是 ． 【答案】 【解析】設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，為橢圓：與雙曲線的另一個(gè)公共焦點(diǎn)，則由對(duì)稱性知,因此由得． 11．【江蘇省蘇中三市xx屆高三第二次調(diào)研測試】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓（）的離心率為．為橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，點(diǎn)滿足． （1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的一條直線交橢圓于兩點(diǎn)，且，直線的斜率之積，求實(shí)數(shù)的值． 【答案】（1）（2） 【解析】（1）因?yàn)?，而? 所以． 代入橢圓方程，得，① 又橢圓的離心率為，所以，② 由①②，得， 故橢圓的方程為．　 （2）設(shè)， 因?yàn)?，所以? 因?yàn)?，所以? 即 于是， 代入橢圓方程，得， 即，③ 因?yàn)樵跈E圓上，所以． ④ 因?yàn)橹本€的斜率之積為，即，結(jié)合②知．　?、? 將④⑤代入③，得， 解得． 12．【淮安、宿遷、連云港、徐州蘇北四市xx屆高三第二次調(diào)研】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率，左頂點(diǎn)為，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn). （1）求橢圓的方程; （2）已知為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，對(duì)于任意的都有，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在說明理由; （3）若過點(diǎn)作直線的平行線交橢圓于點(diǎn)，求的最小值. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】（1）因?yàn)樽箜旤c(diǎn)為，所以，又，所以. 又因?yàn)椋? 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）直線的方程為，由消元得，. 化簡得，， 所以，. 當(dāng)時(shí)，， 所以.因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為， 則. 直線的方程為，令，得點(diǎn)坐標(biāo)為， 假設(shè)存在定點(diǎn)，使得， 則，即恒成立， 所以恒成立，所以即 因此定點(diǎn)的坐標(biāo)為. （3）因?yàn)?，所以的方程可設(shè)為， 由得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， 由，得 ， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)， 所以當(dāng)時(shí)，的最小值為． 13．【江蘇省南京市xx屆高三年級(jí)第三次學(xué)情調(diào)研適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)】(本小題滿分16分) 已知點(diǎn)P是橢圓C上的任一點(diǎn)，P到直線l1：x＝－2的距離為d1，到點(diǎn)F(－1，0)的距離為d2，且． （1）求橢圓C的方程； （2）如圖，直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B(A，B都在x軸上方)，且 ∠OFA＋∠OFB＝180． （?。┊?dāng)A為橢圓C與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線l的方程； （ⅱ）是否存在一個(gè)定點(diǎn)，無論∠OFA如何變化，直線l總過該定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由． （第18題） 【答案】（1）＋y2＝1（2）（?。﹜＝x＋1（ⅱ）(－2，0) 【解析】（1）設(shè)P(x，y)，則d1＝|x＋2|，d2＝， 化簡得：＋y2＝1， ∴橢圓C的方程為：＋y2＝1 （2）（?。┯桑?）知A(0，1)，又F(－1，0)，∴kAF＝1， ∵∠OFA＋∠OFB＝180，∴kBF＝－1， ∴直線BF方程為：y＝－1(x＋1)＝－x－1 代入＋y2＝1得：3x2＋4x＝0， 解得x＝0或x＝－， ∴B(－，).，kAB＝ ∴直線AB的方程為：y＝x＋1 （ⅱ）由于∠OFA＋∠OFB＝180，所以kAF＋kBF＝0 設(shè)直線AB方程為：y＝kx＋b，代入＋y2＝1 得：(k2＋)x2＋2kbx＋b2－1＝0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2) 則x1＋x2＝－，x1x2＝ 所以，kAF＋kBF＝＝0 所以，(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝2kx1x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b ＝2k－(k＋b)＋2b＝0 ∴b－2k＝0， 所以直線AB方程為：y＝k(x＋2) 所以直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M(－2，0) 【一年原創(chuàng)真預(yù)測】 1. 橢圓，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上的點(diǎn)到中心的最短距離為，且橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的最長距離為. （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）若直線交于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)為，求的面積. 【解析】（Ⅰ）由題意可得：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （Ⅱ）直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)分別為聯(lián)立可得，所以，，又因?yàn)榈闹悬c(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，所以直線方程為：，所以點(diǎn)到直線的距離為，，所以的面積為. 【入選理由】本題考橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運(yùn)算求解能力，直線與橢圓的位置關(guān)系，面積問題，是高考考查的熱點(diǎn)，故選此題. 2. 橢圓C:的離心率為，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為. （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓C交于E,F兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率． 【解析】（1）．由橢圓的離心率為得，.設(shè) ， ， ，.所以.橢圓C的方程為. （2）由為直角三角形，若，設(shè)，則. ① 依題意直線斜率存在， ，聯(lián)立 得.根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以知道代入①整理得，得 ， 若,設(shè)直角頂點(diǎn)為， ，，，滿足，所以可以得到或. 【入選理由】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和橢圓位置關(guān)系，求直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查綜合分析問題解決問題的能力和基本運(yùn)算能力，此題是一個(gè)常規(guī)題，也是是高考考查的重點(diǎn)，故選此題. 3. 已知直角坐標(biāo)系中，以為中心，點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過第一象限的點(diǎn),的面積為，且. (1)當(dāng)取最小值時(shí)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)在(1)的條件下，設(shè)點(diǎn)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓的下頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上（與點(diǎn)均不重合），點(diǎn)在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程． 【解析】(1)設(shè)()，，得,，．，，則 ,，易得 在上遞增,當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，，.由點(diǎn)在橢圓上，且，得，則橢圓E方程為：． (2)由(1)知：，，,直線：經(jīng)過點(diǎn)，求得，設(shè),則, ,，又,所以， , , ,又直線過點(diǎn)，故所求方程為：. 【入選理由】本題考橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運(yùn)算求解能力，此題第一問出題比較新，構(gòu)思比較巧，故選此題.