2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1矩陣的概念教案 蘇教版選修4-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.1.1矩陣的概念教案 蘇教版選修4-2 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握矩陣的概念以及基本組成的含義(行、列、元素) 2.掌握零矩陣、行矩陣、列矩陣、矩陣相等的概念. 3.嘗試將矩陣與生活中的問題聯(lián)系起來, 用矩陣表示豐富的問題, 體會矩陣的現(xiàn)實意義. 過程與方法： 從具體的實例開始，通過具體的實例讓學(xué)生認(rèn)識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點來認(rèn)識矩陣、解線性方程組 情感、態(tài)度與價值觀： 體會代數(shù)與幾何的有機結(jié)合，突出數(shù)形結(jié)合的重要思想 教學(xué)重點：矩陣的概念以及基本組成的含義 教學(xué)難點：矩陣的概念以及基本組成的含義 教學(xué)過程： 一、問題情境: y x 2 3 O P (2, 3) 設(shè)O(0, 0)，P(2, 3)，則向量 = (2, 3)，將的坐標(biāo)排成一列，并簡記為 2 3 2 3 2．日常生活——矩陣 （1）某電視臺舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復(fù)賽成績?nèi)缦拢? 初賽 復(fù)賽 甲 80 90 乙 86 88 （2）某牛仔褲商店經(jīng)銷A、B、C、D、E五種不同牌子的牛仔褲，其腰圍大小分別有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四種，在一個星期內(nèi)，該商店的銷售情況可用下列矩陣形式表示： A B C D E 28英寸 1 3 0 1 2 30英寸 5 8 6 1 2 32英寸 2 3 5 6 0 34英寸 0 1 1 0 3 3．圖——矩陣 A B C D A B C D 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 B A C D 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 A B C A 0 3 1 B 3 0 0 C 1 0 2 A C B 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 矩陣： 記號：A，B，C，…或（aij）(其中i,j分別元素aij所在的行和列) 要素：行——列——元素 矩陣相等行列數(shù)目相等并且對應(yīng)元素相等。 特別：（1）21矩陣，22矩陣（二階矩陣），23矩陣 （2）零矩陣 （3）行矩陣：[a11,a12] 列矩陣：，一般用a，b等表示。 （4）行向量與列向量 三、教學(xué)運用 A B C y x O 例1、用矩陣表示圖中的△ABC , 其中A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0) . 思考: 如果用矩陣M= 表示平面中的圖形, 那么該圖形有什么幾何特征? 例2、某種水果的產(chǎn)地為A1 , A2 , 銷地為B1 , B2 , 請用矩陣表示產(chǎn)地Ai 運到銷地Bj 的水果數(shù)量(aij), 其中i=1 , 2 , j=1 , 2 . 例3、用矩陣表示下列方程組中的未知量的系數(shù). (1) (2) 例4、已知A= , B= , 若A=B , 試求x , y , z . 四、課堂小結(jié) 五、課堂練習(xí)： 1.書P10 1 , 2 , 4 2.設(shè)A= , B= , 若A=B , 試求x , y , m , n的值. 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.用矩陣表示圖中的△ABC, 其中A(2 , 3) , B(-4, 6), C(5 , -3). y x A C B O 2.在學(xué)校組織的數(shù)學(xué)智力競賽中, 甲、乙、丙三位同學(xué)獲得的成績分別為: 甲95分, 乙99分, 丙89分, 如果分別用1 , 2 , 3表示甲、乙、丙三位同學(xué), 試用矩陣表示各位同學(xué)的得分情況. 3.設(shè)A= , B= , 若A=B , 試求x , y , m , n . 4.下圖是各大洋面積統(tǒng)計表. 海洋名 面積/萬千米2 太平洋 17967.9 大西洋 9165.5 印度洋 7617.4 北冰洋 1475.0 如果分別用1 , 2 , 3 , 4表示太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋, 試用矩陣表示各大洋的面積. 5.請設(shè)計一個可用矩陣 來表示的實際問題. 2.1.2二階矩陣與平面列向量的乘法- 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.掌握二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則, 并了解其現(xiàn)實背景. 2.理解變換的含義, 了解變換與矩陣之間的聯(lián)系. 3.能夠熟練進(jìn)行由矩陣確定的變換 過程與方法： 從具體的實例開始，通過具體的實例讓學(xué)生認(rèn)識到，某些幾何變換可以用矩陣來表示，豐富學(xué)生對矩陣幾何意義的理解，并引導(dǎo)學(xué)生用映射的觀點來認(rèn)識矩陣、解線性方程組 情感、態(tài)度與價值觀：體會代數(shù)與幾何的有機結(jié)合，突出數(shù)形結(jié)合的重要思想 教學(xué)重點：二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 教學(xué)難點：二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 教學(xué)過程： 一、問題情境: 在某次歌唱比賽中, 甲的初賽和復(fù)賽的成績用A=[80 90]表示, 乙的初賽和復(fù)賽成績用B=[60 85]表示, C=表示初賽和復(fù)賽成績在比賽總分中所占的比重, 那么如何用矩陣的形式表示甲、乙的最后成績呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.行矩陣和列矩陣的乘法規(guī)則 2.二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則 3.變換 三、教學(xué)運用 例1、計算: (1) (2) (3) 例2、求在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到點(3 , 2)的平面上的點P的坐標(biāo). 例3、(1)已知變換 , 試將它寫成坐標(biāo)變換的形式; (2)已知變換→, 試將它寫成矩陣乘法的形式. 例4、 求△ABC在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到的幾何圖形, 其中A(1 , 2) , B(0 , 3) , C(2 , 4). 例5、求直線y=2x在矩陣 作用下變換得到的圖形. 四、課堂小結(jié) 五、課堂練習(xí)： 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.計算 (1) (2) 2. (1)已知→ , 試將它寫成坐標(biāo)變換形式; (2)已知→, 試將它寫成矩陣的乘法形式. 3. (1)點A(5 , 7)在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到的點為________ ; (2)在矩陣 對應(yīng)的變換作用下得到點(19 , -19)的平面上點P的坐標(biāo)為 . 4.已知矩陣P=, Q=且Px=Q , 求矩陣x . 5.線段AB , A(-2 , 3) , B(1 , -4)在矩陣 作用下變換成何種圖形? 與原線段有何區(qū)別? 6.求直線x+y=1在矩陣 作用下變換所得圖形. 2.2幾種常見的平面變換（1）-恒等變換、伸壓變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.掌握恒等變換矩陣和伸壓變換矩陣的特點. 2.熟練運用恒等變換和伸壓變換進(jìn)行平面圖形的變換 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：恒等變換、伸壓變換的概念 教學(xué)難點：恒等變換、伸壓變換的矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知△ABC , A(2 , 0) , B(-1 , 0) , C(0 , 2) , 它們在變換T作用下保持位置不變, 能否用矩陣M來表示這一變換? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.恒等變換矩陣(單位矩陣) 2.恒等變換 3.伸壓變換矩陣 4.伸壓變換 三、教學(xué)運用 例1、求x2+y2=1在矩陣M= 作用下的圖形 例2、已知曲線y=sinx經(jīng)過變換T作用后變?yōu)樾碌那€C , 試求變換T對應(yīng)的矩陣M , 以及曲線C的解析表達(dá)式. 例3、驗證圖C : x2+y2=1在矩陣A= 對應(yīng)的伸壓變換下變?yōu)橐粋€橢圓, 并求此橢圓的方程. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P33 1 , 2 . 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.已知平行四邊形ABCD, A(-1 , 0) , B(0 , 2) , C(3 , 2) , D(0 , 2) , 它們在變換T作用前后保持位置不變, 則變換矩陣M=__________ . 2.已知菱形ABCD, A(2 , 0) , B(0 , 1) , C(-2 , 0) , D(0 , -1), 在矩陣M= 作用下變?yōu)锳′, B′, C′, D′, 求A′, B′, C′, D′的坐標(biāo), 并畫出圖形. 3.求△OBC在矩陣 作用下變換的結(jié)果, 其中O為原點, B(-1 , 0) , C(1 , 0) . 4.求正方形ABCD在矩陣 作用下得到的圖形, 并畫出示意圖, 其中A(1 , 0) , B(0 , 1) , C(-1 , 0) , D(0 , -1) . 5.求拋物線 y=x2在矩陣 作用下得到的新的曲線C , 并求曲線C的函數(shù)表達(dá)式. 6.研究函數(shù)y=cosx在矩陣變換作用下的結(jié)果. 2.2幾種常見的平面變換（2）-反射變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解反射變換的有關(guān)概念, 熟知常用的幾種反射變換矩陣. 2.能熟練地對各種平面圖形進(jìn)行反射變換. 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：反射變換的概念 教學(xué)難點：反射變換矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知在平面直角坐標(biāo)的第一象限有一張汽車圖片F(xiàn), 將它做關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點對稱的變換, 分別得到圖片F(xiàn)1 , F2 , F3 , 這些變換能用矩陣來刻畫嗎? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué): 1.反射變換的有關(guān)概念 2.常用的幾種反射變換矩陣 3.二階非零矩陣對應(yīng)的變換的特點及線性變換. 三、教學(xué)運用 例1、求直線y=4x在矩陣 作用下變換所得的圖形. 例2、求曲線y=(x≥0)在矩陣 作用下變換所得的圖形. 例3、求矩形OBCD在矩陣 作用下變換所得的圖形, 并畫出示意圖, 其中O(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1), D(0 , 1). A E B C D 1 2 3 1 4 2 3 y x 練習(xí): 1.如圖, 已知格紙上有一面小旗子, 請在格紙上畫出它關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的圖形, 并利用矩陣計算進(jìn)行驗證. 2.求平行四邊形ABCD在矩陣M= 作用下變換所得的 幾何圖形, 并畫出示意圖, 其中A(0 , 0), B(3 , 0) , C(4 , 2), D(1 , 2). 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)： 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1. 將圖形變換為關(guān)于x軸對稱的圖形的變換矩陣為_____________ . 將圖形變換為關(guān)于y軸對稱的圖形的變換矩陣為_____________ . 將圖形變換為關(guān)于原點對稱的圖形的變換矩陣為_____________ . 2.求△ABC在矩陣M= 作用下變換得到的圖形, 其中A(1 , 1) , B(4 , 2) , C(3 , 0) . 3.求出曲線y=(x>0)在矩陣M= 作用下變換得到的曲線. 4.求曲線y=lgx(x>0), 在矩陣M= 作用下變換得到的曲線. 5.求曲線y=經(jīng)M1= 和M2= 作用下變換得到的曲線. 2.2幾種常見的平面變換（3）-旋轉(zhuǎn)變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)概念, 掌握旋轉(zhuǎn)變換的特點. 2.熟練運用旋轉(zhuǎn)變換矩陣對平面圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：旋轉(zhuǎn)變換的概念 教學(xué)難點：旋轉(zhuǎn)變換矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: y x P P′ O 如圖, OP繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角到OP′, 這種幾何變換如何用矩陣來刻畫? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué): 1.旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)概念 2.旋轉(zhuǎn)變換的特點 三、教學(xué)運用 例1、已知A(0 , 0), B(2 , 0) , C(2 , 1) , D(0 , 1) , 求矩形ABCD繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90后得到的圖形, 并求出其頂點坐標(biāo), 畫出示意圖. 思考: 若旋轉(zhuǎn)30, 結(jié)果如何呢? 旋轉(zhuǎn)45呢? 例2、求△ABC在矩陣M= 作用下變換得到的圖形, 并畫出示意圖, 其中A(0 , 0) , B(2 , ), C(0 , 3) . 例3、已知曲線C : y=lgx , 將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90得到曲線C′, 求C′的方程. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): 書P33 7 , 8 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.矩陣 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角θ=____________ . 矩陣 對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角θ=____________ (0≤θ<360) 2.已知△ABC, A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(1 , 2) , 求△ABC繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90后所得到的圖形, 并求出其頂點坐標(biāo), 畫出示意圖. 3.已知 ABCD, A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(3 , 1) , D(1 , 1) , 求 ABCD繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90后所得到的圖形, 并求出其頂點坐標(biāo). 4.研究函數(shù)y=sinx , x∈[0 , 2π]的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到的曲線. 5.已知曲線xy=1 , 將它繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90后得到什么曲線? 曲線方程是什么? 2.2幾種常見的平面變換（4）-投影變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解投影變換的有關(guān)概念, 掌握投影變換的特點. 2.熟知常用的幾種投影變換矩陣, 能熟練地對各種平面圖形進(jìn)行投影變換. 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：投影變換的概念 教學(xué)難點：投影變換的矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 1.研究矩陣 所確定的變換. 2.研究矩陣 所確定的變換. 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.投影變換矩陣, 投影變換. 2.投影變換的特點. 三、教學(xué)運用 例1、矩陣 對應(yīng)的變換是投影變換嗎? 它的變換作用如何? 例2、研究線段AB在矩陣 作用下變換得到的圖形, 其中A(0 , 0) , B(1 , 2). 例3、研究直線x+y=0在矩陣 作用下變換得到的圖形. 例4、△ABC在矩陣 作用下變換得到何種圖形? 并畫出示意圖, 其中A(1, 1) , B(1 , 0) , C(0 , 1) . 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P34 9 , 10 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.直線x+2y=5在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成了什么圖形? 2.研究△ABC在矩陣 作用下其面積發(fā)生了什么變化? 其中A(1 , 1) , B(2 , 0) , C(3 , 1) 3.圓x2+y2=1在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成了何種圖形? 4.求直線y=4x在矩陣 變換后, 再經(jīng)過矩陣 的變換, 最終得到什么圖形? 5.說明線段AB在矩陣 作用下變換得到的圖形, 其中A(1 , 1) , B(2 , 3). 2.2幾種常見的平面變換（5）-切變變換 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握切變變換的特點, 熟知常用的幾種切變變換矩陣. 2.能熟練地對各種平面圖形進(jìn)行切變變換 過程與方法： 借助立體幾何圖形的三視圖來研究平面圖形的幾何變換，讓學(xué)生感受具體到抽象的過程 情感、態(tài)度與價值觀： 提供自主探索的空間，通過研究實例，學(xué)會從實際出發(fā)探究問題，總結(jié)過程，得出結(jié)論。 教學(xué)重點：切變變換的概念 教學(xué)難點：切變變換的矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.切變變換 2.切變變換矩陣 3.切變變換的特點 三、教學(xué)運用 例1、如圖所示, 已知矩形ABCD在變換T的作用下變成圖形A′B′C′D′, 試求變換T對應(yīng)的矩陣M . y x 1 2 D′ 1 C′ A′ B′ 3 y x 1 2 D 1 C A B 例2、求矩形ABCD在矩陣作用下變換得到的幾何圖形, 其中A(-2 , 0) , B(2 , 0), C(2 , 2) , D(-2 , 2) , 并說明圖形的變換特點. 例3、求把三角形ABC變成三角形A′B′C′的變換矩陣, 其中A(2 , 1) , B(1 , 3) , C(4 , 2) , A′(, 1), B′(, 3) , C′(5 , 2) . 例4、研究函數(shù)y=cosx在矩陣 變換作用下的結(jié)果. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P34 11 , 12 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.矩陣 的作用是把平面上的點P(x , y)沿x軸方向平移________個單位, 當(dāng)y>0時 , 沿x軸_______方向移動, 當(dāng)y<0時, 沿x軸________方向移動, 當(dāng)y=0時, 原地不動, 在此變換作用下, __________上的點為不動點. 2.直線x－2y=3在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成了什么圖形? 畫出此圖形. 3.求曲線y=|x|在矩陣 對應(yīng)的變換作用下變成的圖形. 4.求出正方形ABCD在矩陣M= 作用后的圖形, 其中A(0 , 0) , B(2 , 0) , C(2 , 2) , D(0 , 2). y x B A C O y x O A′ C′ B′ 5.求把△ABC變換成△A′B′C′的變換矩陣, 其中A(-2 , 1) , B(0 , 1) , C(0 , -1) , A′(-2 , -3), B′(0 , 1), C′(0 , -1) . 2.3.1矩陣乘法的概念 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義. 2.能靈活運用矩陣乘法進(jìn)行平面圖形的變換 . 3.了解初等變換及初等變換矩陣的含義. 過程與方法：從實例中理解矩陣乘法的代數(shù)運算和幾何意義，掌握運算規(guī)則，從幾何角度驗證乘法規(guī)則 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義 教學(xué)難點：二階矩陣乘法法則及矩陣乘法的幾何意義 教學(xué)過程： 一、問題情境: 對向量先做變換矩陣為N=的反射變換T1, 得到向量, 再對所得向量做變換矩陣為M=的伸壓變換T2得到向量, 這兩次變換能否用一個矩陣來表示? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.矩陣乘法的乘法規(guī)則 2.矩陣乘法的幾何意義 3.初等變換, 初等變換矩陣 三、教學(xué)運用 例1、(1)已知A=, B=; 計算AB . (2)已知A=, B= , 計算AB, BA . (3)已知A=, B=, C=, 計算AB、AC . 例2、已知A=, 求A2, A3 , A4 , 你能得到An的結(jié)果嗎? (n∈N*) 例3、已知梯形ABCD, 其中A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(1 , 2) , D((1 , 2), 先將梯形作關(guān)于x軸的反射變換, 再將所得圖形繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90. (1)求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M ; (2)求點A , B , C , D在TM作用下所得到的結(jié)果; (3)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩次變換對應(yīng)的幾何圖形, 并驗證(2)中的結(jié)論. 例4、已知A= , B= , 求AB, 并對其幾何意義給予解釋. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P46 1 , 2 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.計算: (1) (2) (3) (4) 2.已知A= , 求A2 , A3 , 你能得到An的結(jié)果嗎? (n∈N*) . 3.計算, 并用文字描述二階矩陣對應(yīng)的變換方式. 4.已知△ABC, 其中A(1 , 2), B(2 , 0), C(4 , -2), 先將三角形繞原點按順時針旋轉(zhuǎn)90, 再將所得圖形的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍, 縱坐標(biāo)不變. (1)求連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M ; (2)求點A , B , C在變換矩陣M作用下所得到的結(jié)果; (3)如果先將圖形的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍, 再將所得圖形繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90, 則連續(xù)兩次變換所對應(yīng)的變換矩陣M′是什么呢? 5.設(shè)m , n∈k , 若矩陣A=把直線l : x－5y+1=0變換成另一直線 l′: 2x+y+3=0, 試求出m , n的值. 2.3.2矩陣乘法的的簡單性質(zhì) 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.能從矩陣運算和圖形變換的角度理解矩陣乘法的簡單性質(zhì). 2.能運用矩陣乘法的簡單性質(zhì)進(jìn)行矩陣乘法的運算 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：矩陣乘法的簡單性質(zhì) 教學(xué)難點：矩陣乘法的簡單性質(zhì) 教學(xué)過程： 一、問題情境: 實數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和消去律, 那么矩陣的乘法是否也滿足這些運算律呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.矩陣的乘法不滿足交換律 2.矩陣的乘法滿足結(jié)合律 3.矩陣的乘法不滿足消去律 三、教學(xué)運用： 例1、已知梯形ABCD , A(0 , 0) , B(3 , 0) , C(2 , 2 ) , D(1 , 2) , 變換T1對應(yīng)的矩陣P=, 變換T2對應(yīng)的矩陣Q=, 計算PQ , QP , 比較它們是否相同, 并從幾何變換的角度予以解釋. 例2、已知M= , P=, Q=, 求PMQ . 例3、已知M= , N= , J= . (1)試求滿足方程MX=N的二階方陣X ; (2)試求滿足方程JYN=M的二階方陣Y . 例4、已知A= , B= , 證明AB=BA , 并從幾何變換的角度予以解釋. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：練習(xí): P46 1 , 2 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.(1)已知M=, N=, 求MN , NM . （2）已知M= , N=, 求MN , NM . 2.已知A= , P= , Q= , 求PAQ . 3.證明下列等式, 并從幾何變換的角度給予解釋. (1) = (2) = 4.已知△ABC , A(0 , 0) , B(2 , 0), C(1 , 2) , 對它先作M=對應(yīng)的變換, 再作N=對應(yīng)的變換, 試研究變換作用后的結(jié)果, 并用一個矩陣來表示這兩次變換. y x A B C C′ B′ A′ O 1 2 -1 1 2 3 5.兩個矩陣的乘法的幾何意義是對應(yīng)變換的復(fù)合, 反過來, 可以對平面中的某些幾何變換進(jìn)行簡單的分解, 你能根據(jù)如圖所示變換后的圖形進(jìn)行分解, 從而知道它是從原來圖形經(jīng)過怎樣的復(fù)合變換過來的嗎? 2.4.1逆矩陣的概念 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.理解逆變換和逆矩陣的概念, 能用幾何變換的觀點判斷一個矩陣是否存在逆矩陣. 2.掌握求矩陣的逆矩陣的方法. 3.掌握AB可逆的條件及(AB) -1 的求法, 理解矩陣乘法滿足消去解的條件 . 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：逆變換和逆矩陣的概念 教學(xué)難點：求矩陣的逆矩陣 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知二階矩陣對應(yīng)的變換把點(x , y)變換為 (x′, y′) , 是否存在一個變換能把點(x′, y′)變換為(x , y)呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.逆變換和逆矩陣的概念 注: ①如果A可逆, 那么逆矩陣唯一. ②二階矩陣可逆的條件 2.逆矩陣的求法: ①定義法 ②幾何變換法 3.AB可逆的條件及(AB) -1 的求法 4.矩陣乘法滿足消去解的條件. 三、教學(xué)運用： 例1、用幾何變換的觀點判斷下列矩陣是否存在逆矩陣, 若存在, 求出其逆矩陣. (1)A= (2)B= (3)C= (4)D= 例2、求下列矩陣的逆矩陣. (1)A= (2) B= 例3、試從幾何變換的角度求解AB的逆矩陣. (1) A= , B= (2) A= , B= 例4、設(shè)可逆矩陣A= 的逆矩陣A -1 = , 求a , b . 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P63 1. (1) (2) 2. (1) 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.用幾何變換的觀點判斷下列矩陣是否存在逆矩陣, 若存在, 把它求出來. (1) A= (2) B= (3) C= (4) D= 2.求下列矩陣的逆矩陣 (1) A= (2) B= (3) C= 3.試從幾何變換的角度求矩陣AB的逆矩陣. (1) A= , B= (2) A= , B= 4.已知矩陣A=, B=, 求A-1 , B-1 , (AB)-1 5.已知二階矩陣A , B , C的逆矩陣分別為A -1 , B -1 , C -1 , 那么(ABC) -1 , (ACB) -1 , (BCA) -1 分別等于什么? 你能將你的結(jié)論作進(jìn)一步的推廣嗎? 2.4.2二階矩陣與二元一次方程組 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.掌握二階行列式的定義及運算方法, 了解行列式與矩陣的異同. 2.掌握運用行列式解方程組的方法. 3.能利用逆矩陣?yán)斫舛淮畏匠探M的求解過程, 掌握從幾何變換的角度判斷方程組的解的情況 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：二階行列式的定義及運算方法 教學(xué)難點：運用行列式解方程組 教學(xué)過程： 一、問題情境: 關(guān)于x , y的二元一次方程組當(dāng)ab－bc≠0時, 方程的解為, 觀察方程組的解的結(jié)果, 與矩陣, , 有何聯(lián)系? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.二階行列式及運算公式; 2.二元一次方程組的行列式解法; 3.利用逆矩陣?yán)斫舛淮畏匠探M的求解過程及從幾何變換的角度判斷方程組的解的情況. 三、教學(xué)運用： 例1、利用行列式解方程組. 思考: 如何用逆矩陣的知識解這個方程組? 例2、利用行列式方法求矩陣A=的逆矩陣. 例3、試從幾何變換的角度說明方程組 解的存在性和唯一性. 例4、已知二元一次方程組Ax=B, A=, B=, 試從幾何變換的角度研究方程組解的情況. 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)： 1.設(shè)A=, x=, B=, 用兩種方法解方程組Ax=B ; 2.已知方程組Ax=B , A=, x=, B=, 試從幾何變換的角度研究方程組解的情況. 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.已知M= , 且det(M)=0 , 求λ. 2.設(shè)A= , B= . (1)計算det(A) , det(B) (2)判斷矩陣AB是否可逆, 若可逆, 求其逆矩陣. 3.利用行列式解下列方程組: (1) (2) 4.設(shè)A= , x=, B=, 用兩種方法解方程Ax=B . 5.試從幾何變換角度說明方程的解的存在性和唯一性. 6.已知=A, 求使等式成立的矩陣A . 2.5特征值與特征向量（1） 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.理解特征值與特征向量的含義. 2.掌握求矩陣的特征值和特征向量的方法, 并能從幾何變換的角度加以解釋. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：特征值與特征向量的含義 教學(xué)難點：求矩陣的特征值和特征向量 教學(xué)過程： 一、問題情境: 已知伸壓變換矩陣M=, 向量α=和β=在M對應(yīng)的變換作用下得到的向量α′和β′分別與α, β有什么關(guān)系? 對伸壓變壓矩陣N=呢? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.矩陣的特征值和特征向量的定義. 2.特征多項式 3.矩陣M=的特征值和特征向量的計算方法: (1)構(gòu)造特征多項式f (λ)=0; (2)解方程f(λ)=0 ; (2)將λ代入, 求出對應(yīng)的一個特征向量. 注: 如果向量α是屬于λ的特征向量, 那么tα(t∈R , t≠0)也是屬于λ的特征向量. 三、教學(xué)運用： 例1.求下列矩陣的特征值和特征向量, 并從幾何變換的角度加以解釋. (1)A= (2) B= 例2.已知A=, P=, Q=, 試求矩陣PAQ的特征值與特征向量. 例3.已知α是矩陣M屬于特征值λ=3的特征向量, 其中M=, α=, 且a+b+m=3 , 求a , b , m . 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P72 1 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.向量在矩陣變換下（ ） A.改變了方向, 長度不變 B.改變了長度, 方向不變 C.方向和長度都不變 D.以上都不對 2.下列對于矩陣A的特征值λ的描述正確的是 ( ) A.存在向量α, 使得Aα=λα B.對任意向量α, 有Aα=λα C.對任意非零向量α, Aα=λα成立 D.存在一個非零向量α, 有Aα=λα 3.矩陣 的特征值為__________ , 對應(yīng)的特征向量為_____________ . 4.求下列矩陣的特征值和特征向量: (1) (2) 5.已知M=, 試說明和都是矩陣A的對應(yīng)于不同的特征值的特征向量. 6.已知α是矩陣A屬于特征值λ=－2的特征向量, 其中A=, α=, 求a , b . 7.如果向量α既是矩陣M的特征向量, 又是矩陣N的特征向量, 證明: α必是MN及NM的特征向量. 2.5特征值與特征向量（2） 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能： 1.進(jìn)一步理解特征值與特征向量的概念, 能熟練求矩陣的特征值和特征向量. 2.能利用矩陣的特征值和特征向量求向量多次變換的結(jié)果. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：特征值與特征向量的概念 教學(xué)難點：求矩陣的特征值和特征向量 教學(xué)過程： 一、復(fù)習(xí)回顧: 1.已知A= , B=, 求矩陣BA的特征值與特征向量; 2.說明矩陣 沒有實數(shù)特征值和特征向量. 注意： 1.矩陣M有特征值λ及對應(yīng)的特征向量α, 則M n α=λn α(n∈N*). 2.如果矩陣M有兩個不共線的特征向量α1 ,α2 , 其對應(yīng)的特征值分別為λ1 , λ2 , 那么平面內(nèi)任意個向量α=Sα1+tα2 , 因此M nα=Sλ1 nα1 +tλ2 nα2 . 二、教學(xué)運用： 例1、已知M=, β=, 求M2β. 例2、已知M=,β=, 計算M50β. 例3、 已知矩陣M=有屬于特征值λ1 = 8的特征向量α1 = , 及屬于特征值λ2=－3的特征向量α2 =. (1)對向量α=, 記作α=α1－3α2 , 利用這一表達(dá)式計算M3α及M50α; (2)對向量β=, 求M5β及M100β. 三、課堂小結(jié)： 四、課堂練習(xí)：P72 1 五、回顧反思： 六、課外作業(yè)： 1.設(shè)A=, 矩陣A的特征值為 ( ) A. 3和1 B. 3和－1 C. －3和1 D. －3和－1 2.設(shè)M= , 矩陣M的特征向量可以是 ( ) A. B. C. D. 3.設(shè)A是旋轉(zhuǎn)角為π的旋轉(zhuǎn)變換, μ是一個任意向量, μ在A下的象Aμ=－μ, 則A的屬于特征－1的特征向量為平面上的____________ . 4.(1)求矩陣M=的特征值與特征向量; (2)向量α=, 求M 4α, M 100α. 5.已知矩陣A=及向量α=. (1)計算A nα, 并分析討論當(dāng)n的值越來越大時, A nα的變化趨勢. (2)給出A nα的一個近似公式, 并利用這一近似公式計算A 100α. 6.若矩陣A有特征向量i =和j =, 且它們所對應(yīng)的特征值分別為λ1 =2 , λ2 =－1 . (1)求矩陣A及其逆矩陣A -1 ; (2)求逆矩陣A-1 的特征值及特征向量; (3)對任意向量α=, 求A 100α及A -1α. 2.6矩陣的簡單應(yīng)用 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.熟悉線階矩陣的一些簡單應(yīng)用, 能利用矩陣解決一些簡單的實際問題. 2.通過矩陣的一些計算, 認(rèn)識各種問題中的數(shù)學(xué)規(guī)律. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：矩陣的一些簡單應(yīng)用 教學(xué)難點：利用矩陣解決一些簡單的實際問題 教學(xué)過程： 一、問題情境: A B C 如圖是A、B、C三個城市間的交通情況, 小月想從其中某一城市出發(fā)直達(dá)另一個城市, 她可以有幾種選擇? 如果她想從某一城市出發(fā), 先經(jīng)過一個城市再到達(dá)另一個城市, 她又可以有幾種選擇? 二、建構(gòu)數(shù)學(xué)： 1.網(wǎng)絡(luò)圖 2.一級路矩陣和二級路矩陣 三、教學(xué)運用 例1、已知一級路矩陣表示一個網(wǎng)絡(luò)圖, 它們的結(jié)點分別為A , B , C , 試畫出一個網(wǎng)絡(luò)圖. 思考: 你能求出“七橋問題”中的一級路矩陣和二級路矩陣嗎? 例2、已知盒子A中裝有3只大小和重量相同的小球, 其中2只黑色的, 1只白色的; 盒子B中裝有5只大小和重量相同的小球, 其中3只黑色的, 2只白色的. 假定A、B兩個盒子很難分辨, 而且可以任取一個, 現(xiàn)在要求先取一個盒子, 那么從中摸到一只黑色小球的概率有多大? 例3. 書 P74 例2 例4. 書 P77 例5 例5. 書 P77 例6 四、課堂小結(jié)： 五、課堂練習(xí)：P72 1 六、回顧反思： 七、課外作業(yè)： 1.有甲、乙兩個車間都生產(chǎn)a , b , c , d四種產(chǎn)品, 每月生產(chǎn)量(單位: 千件) 由矩陣A=給出, 每生產(chǎn)一千件同一種產(chǎn)品, 一、二、三月份的耗電量各不相同, a、b、c、d四種產(chǎn)品的這三個月的耗電量(單位: 千度) 由下面的矩陣給出: B= ,問甲、乙兩個車間一、二、三月份的耗電量為多少? 2.已知一級路矩陣表示一個網(wǎng)絡(luò)圖, 它們的結(jié)點分別是A , B , C , 試畫出一個網(wǎng)絡(luò)圖, 并依圖寫出其二級路矩陣. 3.在一次軍事密碼發(fā)送任務(wù)中, 需要對方獲知的密碼信息為“stop”, 雙方約定的可逆方陣A=, 問發(fā)送方傳送出的密碼是什么? 4.已知甲、乙兩個種群相互影響, 其數(shù)量分別為{an} , {bn} , a1=20 , b1=30 , 且有關(guān)系式, 試求10個時段后甲、乙兩個種群的數(shù)量. 2矩陣與變換章節(jié)復(fù)習(xí) 教學(xué)目標(biāo)： 知識與技能：1.對本章的知識進(jìn)行歸納和梳理 2.熟練進(jìn)行圖形的變換和矩陣運算 3.能運用矩陣解決實際問題. 過程與方法： 情感、態(tài)度與價值觀： 教學(xué)重點：本章的知識 教學(xué)難點：進(jìn)行圖形的變換和矩陣運算、能運用矩陣解決實際問題. 教學(xué)過程： 一、知識梳理: 二、例題分析： 例1、已知M=, 試求在M對應(yīng)的變換TM作用下對應(yīng)得到P(1 , 0) , Q(0 , 1)的原象點. 例2、已知. a , b∈R , 若M= 所對應(yīng)的變換TM把直線l: 2x－y=3變換為自身, 求實數(shù)a , b的值. 例3、已知M= , N= , J= . (1)試求滿足方程MX=N的二階方陣X ; (2)試求滿足方程NYM=J的二階方程Y . 例4、已知M= 為可逆矩陣, 求x的取值范圍及M -1 . 例5、給定矩陣M= 及向量α=. (1)求M的特征值及對應(yīng)的特征向量; (2)確定實數(shù)a , b , 使α=ae1+be 2 ; (3)利用(2)計算M3α, M nα. 例6、已知點列P1 (x1 , y1) , P2(x2 , y2), … , Pn (x n , y n ), 滿足 且x1=1 , y1=－2, n=1 , 2 , 3 , … , 問: 當(dāng)n逐漸變大時, Pn (xn , yn)有何變化趨勢. 三、課外作業(yè)： 1.已知變換T把平面上的點(2 , －1), (－1, 2)分別變換成點(3 , －4) , (0 , 5), 試求變換T對應(yīng)的矩陣M . 2.變換矩陣把曲線y=lgx變換成什么幾何圖形? 3.判斷下列矩陣是否存在逆矩陣, 若存在, 求出逆矩陣. (1) (2) (3) 4.已知矩陣M= , N=及向量1 =, 2 =. (1)證明M和N互為逆矩陣; (2)證明1 和2 同時是M和N的特征向量. 5.設(shè)A=, 利用矩陣的特征值和特征向量計算A3 . 6.矩陣A=有特征向量α1 =,α2 =. (1)求出α1 ,α2 對應(yīng)的特征值; (2)對向量α=, 計算A4α, A20α, Anα.