2019年高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何限時檢測（文、理）.doc

2019年高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何限時檢測（文、理）一、選擇題(本大題共8小題，每小題6分，共48分；在每小題給出四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(xx福建省質(zhì)檢)如圖，AB是O的直徑，VA垂直O(jiān)所在的平面，C是圓周上不同于A、B的任意一點，M、N分別為VA、VC的中點，則下列結(jié)論正確的是()AMNABBMN與BC所成的角為45COC平面VACD平面VAC平面VBC答案D解析依題意，MNAC，又直線AC與AB相交，因此MN與AB不平行；注意到ACBC，因此MN與BC所成的角是90；注意到直線OC與AC不垂直，因此OC與平面VAC不垂直；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC.又BC平面VBC，所以平面VBC平面VAC.綜上所述可知選D.2(xx菱湖月考)若某多面體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此多面體的體積是()A.cm3 B.cm3C.cm3D.cm3答案C解析由三視圖知，該幾何體是由一個正方體割去一個角所得到的多面體，如圖，其正方體的棱長為1，則該多面體的體積為1313cm3.3(文)已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸(單位：cm)，可得這個幾何體的體積是()A.cm3B.cm3C.cm3D.cm3答案C解析由三視圖知幾何體為三棱錐，底面等腰三角形底邊長2，高為2，棱錐高為2，V(22)2cm3.(理)正方體ABCDA1B1C1D1中，E是棱AB上的動點，則直線A1D與直線C1E所成的角等于()A60B90C30D隨點E的位置而變化答案B解析A1DAB，A1DAD1，A1D平面AD1C1B，A1DC1E.4(文)(xx河北名校名師俱樂部模擬)一簡單組合體的三視圖及尺寸如圖所示(單位：cm)，該組合體的體積為()A42cm3B48cm3C56cm3D44cm3答案D解析由三視圖可知該幾何體是一個長、寬、高分別為6、4、1的長方體和一個直三棱柱組合而成，直三棱柱的底面是等腰三角形，三角形的底邊長為4，高為5，棱柱的高為2，其體積V14645244(cm3)(理)(xx鄭州市質(zhì)檢)如圖，四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD，則下列結(jié)論正確的是()AACBDBBAC90CCA與平面ABD所成的角為30D四面體ABCD的體積為答案B解析取BD的中點O，ABAD，AOBD，又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面BCD，CDBD，OC不垂直于BD.假設ACBD，OC為AC在平面BCD內(nèi)的射影，OCBD，矛盾，AC不垂直于BD，A錯誤；CDBD，平面ABD平面BCD，CD平面ABD，AC在平面ABD內(nèi)的射影為AD，ABAD1，BD，ABAD，ABAC，B正確；CAD為直線CA與平面ABD所成的角，CAD45，C錯誤；VABCDSABDCD，D錯誤，故選B.5(文)(xx濟南四校聯(lián)考)已知m、n是兩條不同直線，、為兩個不同平面，那么使m成立的一個充分條件是()Am，Bm，Cmn，n，mDm上有不同的兩個點到的距離相等答案C解析對于A，直線m可能位于平面內(nèi)；對于B，直線m可能位于平面內(nèi)；對于D，當直線m與平面相交時，顯然在該直線上也能找到兩個不同的點到平面的距離相等故選C.(理)過正方形ABCD的頂點A，引PA平面ABCD.若PABA，則平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30B45C60D90答案B解析建立如圖所示的空間直角坐標系，不難求出平面APB與平面PCD的法向量分別為n1(0,1,0)，n2(0,1,1)，故平面ABP與平面CDP所成二面角(銳角)的余弦值為，故所求的二面角的大小是45.6如圖，在正四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下列四個結(jié)論不成立的是()ABC平面PDFBDF平面PAEC平面PDF平面PAED平面PDE平面ABC答案D解析D、F分別為AB、AC的中點，BCDF，BC平面PDF，BC平面PDF，故A正確；在正四面體中，E為BC中點，易知BCPE，BCAE，BC平面PAE，DFBC，DF平面PAE，故B正確；DF平面PAE，DF平面PDF，平面PDF平面PAE，C正確，故選D.7(文)如圖，在棱長為5的正方體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一條線段，且EF2，Q是A1D1的中點，點P是棱C1D1上的動點，則四面體PQEF的體積()A是變量且有最大值B是變量且有最小值C是變量且有最大值和最小值D是常量答案D解析因為EF2，點Q到AB的距離為定值，所以QEF的面積為定值，設為S，又因為D1C1AB，所以D1C1平面QEF；點P到平面QEF的距離也為定值，設為d，從而四面體PQEF的體積為定值Sd.(理)一個四面體的四個頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(0,0,0)、(1,2,0)、(0,2,2)、(3,0,1)，則該四面體中以yOz平面為投影面的正視圖的面積為()A3B.C2D.答案A解析四個點在yOz平面上的正投影依次為(0,0,0)，(0,2,0)，(0,2,2)，(0,0,1)，故其面積S(12)23.8(文)已知、是三個不同的平面，命題“，且”是真命題，如果把、中的任意兩個換成直線，另一個保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有()A0個B1個C2個D3個答案C解析若、換成直線a、b，則命題化為“ab，且ab”，此命題為真命題；若、換為直線a、b，則命題化為“a，且abb”，此命題為假命題；若、換為直線a、b，則命題化為“a，且bab”，此命題為真命題，故選C.(理)如圖，在ABC中，ABAC，若ADBC，則AB2BDBC；類似地有命題：在三棱錐ABCD中，AD平面ABC，若A點在平面BCD內(nèi)的射影為M，則有SSBCMSBCD.上述命題是()A真命題B增加條件“ABAC”才是真命題C增加條件“M為BCD的垂心”才是真命題D增加條件“三棱錐ABCD是正三棱錐”才是真命題答案A解析因為AD平面ABC，所以ADAE，ADBC，在ADE中，AE2MEDE，又A點在平面BCD內(nèi)的射影為M，所以AM平面BCD，AMBC，所以BC平面ADE，所以BCDE，將SABC、SBCM、SBCD分別表示出來，可得SSBCMSBCD，故選A.二、填空題(本大題共2小題，每小題6分，共12分，將答案填寫在題中橫線上)9(文)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，點E、F分別是棱PC、PD的中點，則棱AB與PD所在直線垂直；平面PBC與平面ABCD垂直；PCD的面積大于PAB的面積；直線AE與平面BF是異面直線以上結(jié)論正確的是_(寫出所有正確結(jié)論的編號)答案解析由條件可得AB平面PAD，ABPD，故正確；若平面PBC平面ABCD，由PBBC，得PB平面ABCD，從而PAPB，這是不可能的，故錯；SPCDCDPD，SPABABPA，由ABCD，PD>PA知正確；由E、F分別是棱PC、PD的中點，可得EFCD，又ABCD，EFAB，故AE與BF共面，錯，故填.(理)如圖，正方形BCDE的邊長為a，已知ABBC，將直角ABE沿BE邊折起，A點在面BCDE上的射影為D點，則翻折后的幾何體中有如下描述：AB與DE所成角的正切值是；VBACE的體積是a3；ABCD；平面EAB平面ADE；直線BA與平面ADE所成角的正弦值為.其中正確的敘述有_(寫出所有正確結(jié)論的編號)答案解析由題意可得如圖所示的幾何體，對于，AB與DE所成角為ABC，在ABC中，ACB90，ACa，BCa，所以tanABC，故正確；對于，VBACEVAECBaaaa3，故正確；明顯錯誤；對于，因為AD平面BCDE，所以ADBE，又因為DEBE，所以BE平面ADE，可得平面EAB平面ADE，故正確；對于，由可知，BAE即為直線BA與平面ADE所成的角，在ABE中，AEB90，ABa，BEa，所以sinBAE，故正確10(xx邯鄲一模)已知直角梯形ABCD，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2沿AC折成三棱錐，當三棱錐體積最大時，求此時三棱錐外接球的體積_答案解析在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，AB2，AD1，CD1，AC，BC，BCAC，取AC的中點E，AB中點O，當三棱錐體積最大時，平面DCA平面ACB，OAOBOCOD，OB1，VR3.三、解答題(本大題共3小題，共40分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)11(本小題滿分13分)(文)如圖，已知矩形ABCD中，AB10，BC6，沿對角線BD把ABD折起，使A點移到A1點，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上(1)求證：BCA1D；(2)求證：平面A1BC平面A1BD；(3)求三棱錐A1BCD的體積解析(1)A1在平面BCD上的射影O在CD上，A1O平面BCD，又BC平面BCD，BCA1O.又BCCO，COA1OO，CO平面A1CD，A1O平面A1CD，BC平面A1CD，又A1D平面A1CD，BCA1D.(2)四邊形ABCD為矩形，A1DA1B，由(1)知BCA1D.又BCA1BB，BC平面A1BC，A1B平面A1BC，A1D平面A1BC，又A1D平面A1BD，平面A1BC平面A1BD.(3)A1D平面A1BC，A1DA1C.CD10，A1D6，A1C8，VA1BCDVDA1BC68648.(理)(xx大興區(qū)模擬)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是等邊三角形，D是BC的中點(1)求證：直線A1DB1C1；(2)判斷A1B與平面ADC1的位置關系，并證明你的結(jié)論解析(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1BC，在等邊ABC中，D是BC中點，所以ADBC，因為在平面A1AD中，A1AADA，所以BC平面A1AD，又因為A1D平面A1AD，所以A1DBC，在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形BCC1B1是平行四邊形，所以B1C1BC，所以，A1DB1C1.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，在平行四邊形ACC1A1中連接A1C，交AC1于點O，連接DO.故O為A1C的中點在三角形A1CB中，D為BC中點，O為A1C中點，故DOA1B.因為DO平面ADC1，A1B平面ADC1，所以，A1B平面ADC1，故A1B與平面ADC1平行12(本小題滿分13分)(文)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.(1)求證：AC平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一點P，使得DP和平面BCB1、平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論解析(1)直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1平面ABCD，AC平面ABCD，BB1AC.又BADADC90，AB2AD2CD2，AC，CAB45，BC，BCAC，又BB1BCB，BB1、BC平面BB1C1C，AC平面BB1C1C；(2)存在符合條件的點P，且P為A1B1的中點證明：P為A1B1的中點，所以PB1AB，且PB1AB，又DCAB，DCAB，DCPB1，且DCPB1.四邊形CDPB1為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1平面ACB1，DP平面ACB1.DP平面ACB1，同理DP平面BCB1.點評(2)問中假如存在點P，使得DP平面BCB1，DP平面ACB1，又平面BCB1平面ACB1CB1，DPCB1，又CDPB1，故四邊形CDPB1為平行四邊形，A1B12CD，故只須P為A1B1的中點，即有PB1綊DC，而獲解對于存在性命題，常常是先假設存在，把其作為一個條件與其他已知條件結(jié)合加以分析，探尋解題的思路(理)(xx哈三中一模)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，BAD60，Q為AD的中點(1)若PAPD，求證：平面PQB平面PAD；(2)若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，點M在線段PC上，試確定點M的位置，使二面角MBQC大小為60，并求出的值解析(1)PAPD，Q為AD的中點，PQAD，又底面ABCD為菱形，BAD60，BQAD，又PQBQQ，AD平面PQB，又AD平面PAD，平面PQB平面PAD；(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQAD, PQ平面ABCD.以Q為坐標原點，分別以QA、QB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖則Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(2，0)，設(0<<1)，所以M(2，(1)，平面CBQ的一個法向量是n1(0,0,1)，設平面MQB的一個法向量為n2(x，y，z)，所以取n2(，0，)，由二面角MBQC大小為60，可得：，解得，此時.13(本小題滿分14分)(文)(xx福建文，18)如圖，在四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，ABDC，ABAD，BC5，DC3，AD4，PAD60.(1)當正視方向與向量的方向相同時，畫出四棱錐PABCD的正視圖(要求標出尺寸，并寫出演算過程)；(2)若M為PA的中點，求證：DM平面PBC；(3)求三棱錐DPBC的體積解析(1)在梯形ABCD中，過點C作CEAB，垂足為E.由已知得，四邊形ADCE為矩形，AECD3，在RtBEC中，由BC5，CE4，依勾股定理知BE3，從而AB6.又由PD平面ABCD得PDAD，從而在RtPDA中，由AD4，PAD60，得PD4.正視圖如圖所示：(2)取PB中點為N，連接MN、CN.在PAB中，M是PA中點，MNAB，MNAB3，又CDAB，CD3，MNCD，MNCD，四邊形MNCD為平行四邊形，DMCN.又DM平面PBC，CN平面PBC，DM平面PBC.(3)VDPBCVPDBCSDBCPD，又SDBC6，PD4，所以VDPBC8.(理)(xx陜西理，18)如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.(1)證明：A1C平面BB1D1D(2)求平面OCB1與平面BB1D1D的夾角的大小解析如圖建立空間直角坐標系，由ABAA1可知O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，B1(1,1,1)，C(1,0,0)，A1(0,0,1)，D1(1，1,1)，D(0，1,0)(1)(1,0，1)，(0,2,0)，(1，0,1)0，0，即A1CDB，A1CBB1且DBBB1B，A1C平面BB1D1D(2)易求得平面OCB1的一個法向量n(0,1，1)，平面BB1D1D的一個法向量為m(1,0,1)，所求夾角余弦值為cos，所求夾角的大小為60.一、選擇題1(xx鄭州質(zhì)檢)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為()A6B62C8D82答案D解析由三視圖可知該幾何體為一橫放的直三棱柱，其中底面正對觀察者，為一直角三角形，兩直角邊長分別為1,2，棱柱的高為2，故其表面積S(21)22182.2(xx福州質(zhì)檢)如圖是一個空間幾何體的三視圖，這個幾何體的體積是()A2B4C6D8答案D解析由圖可知該幾何體是一個圓柱內(nèi)挖去一個圓錐所得的幾何體，VV圓柱V圓錐2232238，故選D.3(文)在正四面體(棱長都相等的四面體)ABCD中，棱長為4，M是BC的中點，點P在線段AM上運動(P不與A、M重合)，過點P作直線l平面ABC，l與平面BCD交于點Q，給出下列命題：BC平面AMD；Q點一定在直線DM上；VCAMD4.其中正確的是()ABCD答案A解析由BCAM，BCMD，可得BC平面AMD，即正確；由BC平面AMD可得平面AMD平面ABC，則若過P作直線l平面ABC，l與平面BCD交于點Q，Q點一定在直線DM上，即正確；由VCAMDVCABD43，即不正確，綜上可得正確的命題序號為，故應選A.(理)(xx唐山市二模)直三棱柱ABCA1B1C1的所有頂點都在半徑為的球面上，ABAC，AA12，則二面角BAA1C的余弦值為()ABC.D.答案D解析如圖，設球心為O，底面ABC外接圓的圓心為O，則OAOBOC，OO1，OAOBOC1，BC，ABC為正三角形，二面角BAA1C的平面角BAC60，二面角BAA1C的余弦值為.4(文)設m、n是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題不正確的是()A若mn，m，n，則nB若m，則m或mC若mn，m，n，則D若m，則m答案D解析對于選項D，當直線m位于平面內(nèi)且與平面，的交線平行時，直線m，顯然m與平面不垂直，因此選項D不正確(理)(xx嘉興二測)已知、是三個不重合的平面，m、n是不重合的直線，下列判斷正確的是()A若，則B若，l，則lC若m，n，則mnD若m，n，則mn答案D解析A錯，兩平面還可垂直；B錯，還可能有l(wèi)；C錯，兩直線m，n的位置關系不確定；D正確，垂直于同一平面的兩直線互相平行5.如圖，正ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知AED是AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是()A動點A在平面ABC上的投影在線段AF上B恒有平面AGF平面BCEDC三棱錐AFED的體積有最大值D異面直線AE與BD不可能垂直答案D解析由題意，DE平面AGA，A、B、C正確，故選D.6(文)(xx山西太原月考)如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為1, E、F分別是棱AA、CC的中點，過直線EF的平面分別與棱BB、DD交于M、N，設BMx，x0,1，給出以下四個命題：平面MENF平面BDDB；當且僅當x時，四邊形MENF的面積最??； 四邊形MENF周長Lf(x)，x0,1是單調(diào)函數(shù)；四棱錐CMENF的體積Vh(x)為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號為()AB CD答案C解析AC平面BDDB，EFAC，EF平面BDDB，正確；EF為所在棱的中點，由對稱性及條件知四邊形EMFN為菱形，其面積隨著對角線MN的增大而增大，當x時，M為BB的中點，此時MN取最小值，正確，錯誤；V四棱錐CMENF2VCMEF2VEMFC為常數(shù)，Vh(x)為常函數(shù)(理)(xx杭州質(zhì)檢)如圖，設平面EF，AB，CD，垂足分別是B、D，如果增加一個條件，就能推出BDEF，這個條件不可能是下面四個選項中的()AACBACEFCAC與BD在內(nèi)的射影在同一條直線上DAC與、所成的角相等答案D解析因為BD是AC在平面內(nèi)的射影，所以只需得到ACEF，那么由三垂線定理的逆定理可得BDEF.對于選項A，因為AC，EFACEFBDEF.選項B，因為ACEF，所以BDEF.對于選項C，可得平面ABDC，所以BDEF.對于選項D，AC與、所成的角相等，無法保證ACEF.綜上知選D.7(文)已知某個幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標出的尺寸，可知這個幾何體的側(cè)面積是()A.B.C.D.答案D解析由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，底半徑為1，高為2，母線長l，側(cè)面積S.(理)已知正四面體ABCD，設異面直線AB與CD所成的角為，側(cè)棱AB與底面BCD所成的角為，側(cè)面ABC與底面BCD所成的角為，則()A>>B>>C>>D>>答案B解析如圖，設底面BCD的中心為點O，連接AO，BO，易知ABO，取BC的中點E，連接AE、OE，易知AEO，在正三角形BCD中，OB>OE，因此0<<<，延長BO交CD于F，則BFCD，又AOCD，CD平面ABF.CDAB，即.>>.8(文)在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M為AB的中點，則點C到平面A1DM的距離為()A.aB.aC.aD.a答案A解析設點C到平面A1DM的距離為h，則由已知得DMA1Ma，A1Da，SA1DMaa2，連接CM，SCDMa2，由VCA1DMVA1CDM，得SA1DMhSCDMa，即a2ha2a，得ha，所以點C到平面A1DM的距離為a，選A.(理)已知正方形ABCD的邊長為2，將ABC沿對角線AC折起，使平面ABC平面ACD，得到如右圖所示的三棱錐BACD.若O為AC邊的中點，M、N分別為線段DC、BO上的動點(不包括端點)，且BNCM.設BNx，則三棱錐NAMC的體積yf(x)的函數(shù)圖象大致是()答案B解析由條件知，AC4，BO2，SAMCCMADx，NO2x，VNAMCSAMCNOx(2x)，即f(x)x(2x)，故選B.二、填空題9如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一動點，則三棱錐PABC的正(主)視圖與側(cè)(左)視圖的面積的比值為_答案1解析依題意得三棱錐PABC的主視圖與左視圖均為三角形，且這兩個三角形的底邊長都等于正方體的棱長，底邊上的高也都相等，因此三棱錐PABC的主視圖與左視圖的面積之比等于1.10(文)一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為_m3.答案30解析本題考查三視圖及柱體體積公式由三視圖知該幾何體由一個棱長為3,4,2的長方體和一個底面是直角梯形高為4的直棱柱組成，則體積V3421430.點評解決三視圖問題應弄清圖中各量與原幾何體的量的關系(理)設C是AOB所在平面外的一點，若AOBBOCAOC，其中是銳角，而OC和平面AOB所成角的余弦值等于，則的值為_答案60解析作CC1平面AOB于點C1，C1A1OA于點A1，C1B1OB于點B1，連接OC1，則COC1為直線OC與平面AOB所成的角，且OC1是AOB的平分線，設OA1x，則OC，OC1，易求得cosCOC1，即2cos2cos10，解之得cos或cos(舍去)，故30，所以60.三、解答題11(文)(xx威海兩校質(zhì)檢)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱PA底面ABCD，且PA2，E是側(cè)棱PC上的動點(1)求四棱錐PABCD的體積；(2)如果E是PA的中點，求證PC平面BDE；(3)是否不論點E在側(cè)棱PA的任何位置，都有BDCE？證明你的結(jié)論解析(1)PA平面ABCD，VPABCDS正方形ABCDPA122.即四棱錐PABCD的體積為.(2)連接AC交BD于O，連接OE.四邊形ABCD是正方形，O是AC的中點又E是PA的中點，PCOE.PC平面BDE，OE平面BDE，PC平面BDE.(3)不論點E在何位置，都有BDCE.證明如下：四邊形ABCD是正方形，BDAC.PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPA.又ACPAA，BD平面PAC.不論點E在何位置，都有CE平面PAC.不論點E在何位置，都有BDCE.(理)(xx成都一診)如圖，PO平面ABCD，點O在AB上，EAPO，四邊形ABCD為直角梯形，BCAB，BCCDBOPO，EAAOCD.(1)求證：PE平面PBC；(2)直線PE上是否存在點M，使DM平面PBC，若存在，求出點M；若不存在，說明理由(3)求二面角EBDA的余弦值解析(1)證明：EAOP，AO平面ABP，點A，B，P，E共面PO平面ABCD，PO平面PEAB.平面PEAB平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面PEAB平面ABCDAB，BC平面PEAB，PEBC.由平面幾何知識知PEPB，又BCPBB，PE平面PBC.(2)點E即為所求的點，即點M與點E重合取PB的中點F，連接EF、CF、DE，延長PE交BA的延長線于H，則E為PH的中點，O為BH的中點，EF綊OB，又OB綊CD，EFCD，且EFDC，四邊形DCFE為平行四邊形，所以DECF.CF在平面PBC內(nèi)，DE不在平面PBC內(nèi)，DE平面PBC.(3)由已知可知四邊形BCDO是正方形，顯然OD、OB、OP兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標系，設DC1，則B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0，)，設平面BDE的一個法向量為n1(x，y，z)，(1，1,0)，(0，)，即取y1，則x1，z3，從而n1(1,1,3)取平面ABD的一個法向量為n2(0,0,1)cosn1，n2，故二面角EBDA的余弦值為.12(文)已知四棱錐PABCD的直觀圖和三視圖如圖所示，E是PB的中點(1)求三棱錐CPBD的體積；(2)若F是BC上任一點，求證：AEPF；(3)邊PC上是否存在一點M，使DM平面EAC，并說明理由解析(1)由該四棱錐的三視圖可知，四棱錐PABCD的底面是邊長為2和1的矩形，側(cè)棱PA平面ABCD，且PA2，VCPBDVPBCD122.(2)證明：BCAB，BCPA，ABPAA.BC平面PAB，BCAE，又在PAB中，PAAB，E是PB的中點，AEPB.又BCPBB，AE平面PBC，且PF平面PBC，AEPF.(3)存在點M，可以使DM平面EAC.連接BD，設ACBDO，連接EO.在PBD中，EO是中位線PDEO，又EO平面EAC，PD平面EAC，PD平面EAC，當點M與點P重合時，可以使DM平面EAC.(理)如圖，邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別為AB、BC的中點，將BEF剪去，將AED、DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點P，得一三棱錐如圖所示(1)求證：PDEF；(2)求三棱錐PDEF的體積；(3)求DE與平面PDF所成角的正弦值解析(1)依題意知圖折前ADAE，CDCF，折起后PDPE，PFPD，PEPFP，PD平面PEF.又EF平面PEF，PDEF.(2)依題意知圖中AECF，PEPF，在BEF中EFBE，在PEF中，PE2PF2EF2，PEPF，SPEFPEPF，VPDEFVDPEFSPEFPD1.(3)由(2)知PEPF，又PEPD，PE平面PDF，PDE為DE與平面PDF所成的角在RtPDE中，DE，PE，sinPDE.13(文)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1BC，AC1平面A1BD，D為AC的中點(1)求證：B1C平面A1BD；(2)求證：B1C1平面ABB1A1；(3)在CC1上是否存在一點E，使得BA1E45，若存在，試確定E的位置，并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直？若不存在，請說明理由分析(1)連接AB1，交A1B于M，則MD就是平面A1BD內(nèi)與B1C平行的直線；(2)需在平面ABB1A1中找兩條相交直線都與B1C1垂直，由直三棱柱的概念，知BB1B1C1，另一條的尋找，從AC1平面A1BD，以平行四邊形ABB1A1為正方形入手，證明A1B平面AB1C1從而得出A1BB1C1.(3)用余弦定理解A1BE.解析(1)連接AB1與A1B相交于M，則M為A1B的中點連接MD，又D為AC的中點，B1CMD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)ABB1B，平行四邊形ABB1A1為正方形，A1BAB1.又AC1平面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1.又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)設ABa，CEx，B1C1A1B1，在RtA1B1C1中有A1C1a，同理A1B1a，C1Eax，A1E，BE，在A1BE中，由余弦定理得BE2A1B2A1E22A1BA1Ecos45，即a2x22a2x23a22ax2a，2ax，xa，即E是C1C的中點，D、E分別為AC、C1C的中點，DEAC1.AC1平面A1BD，DE平面A1BD.又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.點評空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關系為線線垂直線面垂直面面垂直(理)(xx齊魯名校聯(lián)考)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90，D是BC的中點(1)求證：A1B平面ADC1；(2)求二面角C1ADC的余弦值；(3)試問線段A1B1上是否存在點E，使得AE與DC1成60角？若存在，確定E點位置；若不存在，說明理由解析(1)證明：連接A1C，交AC1于點O，連接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱得四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點又D為BC中點，所以OD為A1BC中位線，所以A1BOD，所以OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.(2)由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90，故BA、BC、BB1兩兩垂直如圖建立空間直角坐標系Bxyz.設BA2，則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，C1(2,0,1)，D(1,0,0)所以(1，2,0)，(2，2,1)設平面ADC1的法向量為n(x，y，z)，則有所以取y1，得n(2,1，2)易知平面ADC的法向量為v(0,0,1)由二面角C1ADC的平面角是銳角，得cosn，v.所以二面角C1ADC的余弦值為.(3)假設存在滿足條件的點E.因為E在線段A1B1上，A1(0,2,1)，B1(0,0,1)，故可設E(0，1)，其中02.所以(0，2,1)，(1,0,1)因為AE與DC1成60角，所以.即，解得1，舍去3.所以當點E為線段A1B1中點時，AE與DC1成60角