2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題8.2 點、直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)試題（含解析）.doc

2019-2020年高考數(shù)學總復習 專題8.2 點、直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)試題（含解析）【三年高考】1. 【xx江蘇高考，15】如圖，在三棱錐A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD 求證：（1）EF平面ABC； （2）ADAC【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】試題分析：（1）先由平面幾何知識證明，再由線面平行判定定理得結(jié)論；（2）先由面面垂直性質(zhì)定理得平面，則，再由ABAD及線面垂直判定定理得AD平面ABC，即可得ADAC試題解析：（1）在平面內(nèi)，因為ABAD，所以又因為平面ABC，平面ABC，所以EF平面ABC【考點】線面平行判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理、面面垂直性質(zhì)定理【名師點睛】垂直、平行關系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直2【xx江蘇高考，16】如圖，在直三棱柱中，已知，設的中點為，.求證：（1）； （2）.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】試題分析（1）由三棱錐性質(zhì)知側(cè)面為平行四邊形,因此點為的中點，從而由三角形中位線性質(zhì)得，再由線面平行判定定理得（2）因為直三棱柱中，所以側(cè)面為正方形，因此，又，（可由直三棱柱推導），因此由線面垂直判定定理得,從而，再由線面垂直判定定理得,進而可得試題解析：（1）由題意知，為的中點，又為的中點，因此又因為平面，平面，所以平面（2）因為棱柱是直三棱柱，所以平面因為平面，所以又因為，平面，平面，所以平面又因為平面，所以因為，所以矩形是正方形，因此因為，平面，所以平面又因為平面，所以【考點定位】線面平行判定定理，線面垂直判定定理3【xx江蘇，理16】)如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點求證：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析4. 【xx江蘇，理16】如圖在三棱錐中，分別為棱的中點，已知，求證（1）直線平面；（2）平面平面.【答案】證明見解析【解析】試題分析：（1）本題證明線面平行，根據(jù)其判定定理，需要在平面內(nèi)找到一條與平行的直線，由于題中中點較多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面內(nèi)，即可證得結(jié)論；（2）要證兩平面垂直，一般要證明一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直，由（1）可得，因此考慮能否證明與平面內(nèi)的另一條與相交的直線垂直，由已知三條線段的長度，可用勾股定理證明，因此要找的兩條相交直線就是，由此可得線面垂直.試題解析：（1）由于分別是的中點，則有，又，所以（2）由（1），又，所以，又是中點，所以，又，所以，所以，是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，又，所以平面平面5【xx課標1，文6】如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是 A B C D【答案】A【解析】【考點】空間位置關系判斷【名師點睛】本題主要考查線面平行的判定定理以及空間想象能力，屬容易題證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面6【xx課標3，文10】在正方體中，E為棱CD的中點，則（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)三垂線逆定理，平面內(nèi)的線垂直平面的斜線，那也垂直于斜線在平面內(nèi)的射影，A.若，那么，很顯然不成立；B.若，那么，顯然不成立；C.若，那么，成立，反過來時，也能推出,所以C成立，D.若，則，顯然不成立，故選C.【考點】線線位置關系7【xx高考浙江理數(shù)改編】已知互相垂直的平面交于直線l.若直線m，n滿足 則直線中垂直關系是【答案】【解析】試題分析：由題意知，考點：空間點、線、面的位置關系【思路點睛】解決這類空間點、線、面的位置關系問題，一般是借助長方體（或正方體），能形象直觀地看出空間點、線、面的位置關系8【xx高考新課標2理數(shù)】 是兩個平面，是兩條直線，有下列四個命題：（1）如果，那么.（2）如果，那么.（3）如果，那么.（4）如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有 (填寫所有正確命題的編號）【答案】考點： 空間中的線面關系.9【xx高考山東文數(shù)改編】已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的（在充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件中選填）【答案】充分不必要條件【解析】試題分析：“直線和直線相交”“平面和平面相交”，但“平面和平面相交”“直線和直線相交”，所以“直線和直線相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件考點：1.充要條件；2.直線與平面的位置關系.【名師點睛】充要條件的判定問題，是高考?？碱}目之一，其綜合性較強，易于和任何知識點結(jié)合.本題涉及直線與平面的位置關系，突出體現(xiàn)了高考試題的基礎性，能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、空間想象能力等.10【xx高考新課標文數(shù)】如圖，四棱錐中，平面，為線段上一點，為的中點（I）證明平面；（II）求四面體的體積.【答案】（）見解析；（）【解析】試題分析：（）取的中點，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；（）由條件可知四面體的高，即點到底面的距離為棱的一半，由此可順利求得結(jié)果試題解析：（）由已知得，取的中點，連接，由為中點知，. .3分又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因為平面，平面，所以平面. .6分（）因為平面，為的中點，所以到平面的距離為. .9分取的中點，連結(jié).由得，.由得到的距離為，故，所以四面體的體積. .12分考點：1、直線與平面間的平行與垂直關系；2、三棱錐的體積【技巧點撥】（1）證明立體幾何中的平行關系，常常是通過線線平行來實現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關系來推證；（2）求三棱錐的體積關鍵是確定其高，而高的確定關鍵又推出頂點在底面上的射影位置，當然有時也采取割補法、體積轉(zhuǎn)換法求解11.【xx高考北京文數(shù)】（本小題14分）如圖，在四棱錐中，平面，（I）求證：；（II）求證：；（III）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得平面?說明理由.【答案】（）見解析；（）見解析；（III）存在.理由見解析.【解析】試題分析：（）利用線面垂直判定定理證明；（）利用面面垂直判定定理證明；（III）取中點，連結(jié)，則，根據(jù)線面平行定理則平面.試題解析：（I）因為平面，所以又因為，所以平面（II）因為，所以因為平面，所以所以平面所以平面平面（III）棱上存在點，使得平面證明如下：取中點，連結(jié)，又因為為的中點，所以又因為平面，所以平面 考點：空間垂直判定與性質(zhì)；空間想象能力，推理論證能力【名師點睛】平面與平面垂直的性質(zhì)的應用：當兩個平面垂直時，常作的輔助線是在其中一個面內(nèi)作交線的垂線，把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，進而可以證明線線垂直(必要時可以通過平面幾何的知識證明垂直關系)，構造(尋找)二面角的平面角或得到點到面的距離等.12【xx高考山東文數(shù)】（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，D是AC的中點，EFDB.（I）已知AB=BC，AE=EC.求證：ACFB；（II）已知G,H分別是EC和FB的中點.求證：GH平面ABC.【答案】（）證明：見解析；（）見解析.【解析】試題分析：（）根據(jù)，知與確定一個平面，連接，得到，從而平面，證得.（）設的中點為，連，在，中，由三角形中位線定理可得線線平行，證得平面平面，進一步得到平面.試題解析：（）證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，。（）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面.考點：1.平行關系；2.垂直關系.【名師點睛】本題主要考查直線與直線垂直、直線與平面平行.此類題目是立體幾何中的基本問題.解答本題，關鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理，給出規(guī)范的證明.本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想等.13.【xx高考北京，文18】如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為，的中點（I）求證：平面；（II）求證：平面平面；（III）求三棱錐的體積【解析】（）因為分別為，的中點，所以.又因為平面，所以平面.（）因為，為的中點，所以.又因為平面平面，且平面，所以平面.所以平面平面.（）在等腰直角三角形中，所以.所以等邊三角形的面積.又因為平面，所以三棱錐的體積等于.又因為三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，所以三棱錐的體積為. 【xx年高考命題預測】縱觀xx各地高考試題，考查的重點及難點穩(wěn)定，高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點.在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，是知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重.高考對這部分知識的考查側(cè)重以下幾個方面： 1從命題形式來看，涉及立體幾何內(nèi)容的命題形式最為多變.除保留傳統(tǒng)的“四選一”的選擇題型外，還嘗試開發(fā)了“多選填空”、“完型填空”、“構造填空”等題型，并且這種命題形式正在不斷完善和翻新；解答題則設計成幾個小問題，此類考題往往以多面體為依托，第一小問考查線線、線面、面面的位置關系，后面幾問考查空間角、空間距離、面積、體積等度量關系，其解題思路也都是“作證求”，強調(diào)作圖、證明和計算相結(jié)合.2從內(nèi)容上來看，主要是：考查直線和平面的各種位置關系的判定和性質(zhì)，這類試題一般難度不大，多為選擇題和填空題與解答題的第一步； 3從能力上來看，著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會”：會畫圖根據(jù)題設條件畫出適合題意的圖形或畫出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實分明；會識圖根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關線面的位置關系；會析圖對圖形進行必要的分解、組合；會用圖對圖形或其某部分進行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開或?qū)嵭懈钛a術；考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.從高考試題來看，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時還考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力直線與直線、直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考查重點，題型既有選擇題、填空題又有解答題，在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標教材中將立體幾何要求進行了降低，重點在對圖形及幾何體的認識上，實現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識深化和拓展的重點，因而在這部分知識點上命題，將是重中之重.預測xx年高考，將以多面體為載體，第一問以線面平行與垂直，面面平行與垂直為主要考查點，第二問可能給出一個角，求點的位置或設置一個探索性命題，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力復習建議;證明空間線面平行與垂直，是必考題型，解題時要由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證明思路. 【xx年高考考點定位】高考始終把直線與直線、直線與平面、平面與平面平行與垂直的性質(zhì)和判定作為考察重點.）考題既有選擇題，填空題，又有解答題；在考題上的特點為：熱點問題為平面的基本性質(zhì)，考察線線、線面和面面關系的論證，此類題目將以客觀題和解答題的第一步為主，考查邏輯思維能力、運算能力和探索能力.【考點1】空間點、直線、平面之間的位置關系【備考知識梳理】1平面概述：（1）平面的兩個特征：無限延展 平的（沒有厚度）；（2）平面的畫法：通常畫平行四邊形來表示平面；（3）平面的表示：用一個小寫的希臘字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個相對頂點的字母表示，如平面AC.2三公理三推論:公理1：若一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi)，則該直線上所有的點都在這個平面內(nèi)：A,B,A,B公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.公理3：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面.推論一：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點,有且只有一個平面.推論二：經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面.推論三：經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面3空間直線:（1）空間兩條直線的位置關系：相交直線有且僅有一個公共點；平行直線在同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點.相交直線和平行直線也稱為共面直線.異面直線的畫法常用的有下列三種：（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個結(jié)論在空間也是成立的.即公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.（3）異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線.推理模式：與是異面直線.異面直線所成的角：定義：設是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點作直線，把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)范圍：.4直線和平面的位置關系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點）；（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線和平面平行（沒有公共點）用兩分法進行兩次分類.它們的圖形分別可表示為如下，符號分別可表示為，.5兩個平面的位置關系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒有公共點）【規(guī)律方法技巧】1求異面直線所成角的方法(1)平移法：即選點平移其中一條或兩條直線使其轉(zhuǎn)化為平面角問題，這是求異面直線所成角的常用方法(2)補形法：即采用補形法作出平面角2證明共面問題的兩種途徑(1)首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面，再證其他線(或點)在此平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個平面重合3證明共線問題的兩種途徑：(1)先由兩點確定一條直線，再證其他點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上4證明共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點【考點針對訓練】1.已知l 是直線，、是兩個不同的平面，下列命題中的真命題是 (填所有真命題的序號) 若l，l，則 若，l，則l若l，則l 若l，l/，則 【答案】2已知m ，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題錯誤的是若，則；若，則；若，則；若，則【答案】【解析】若，則或與相交，所以錯誤；若，則或，所以錯誤；若，則，所以正確；若，則或，所以錯誤故填.【考點2】直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)【備考知識梳理】1. 線面平行的判定定理：如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.推理模式：2.線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行.推理模式：3.兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于一個平面，那么這兩個平面平行.定理的模式：推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個平面互相平行.推論模式：4.兩個平面平行的性質(zhì)（1）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面；（2）如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.易錯點：1直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關鍵條件2面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件3如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交【規(guī)律方法技巧】1. 證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件.2.線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個平面內(nèi)的一個向量互相平行；證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互垂直. 線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行. 證明直線與平面平行的關鍵是設法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線；利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)，或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行；3.面面平行的證明方法：反證法:假設兩個平面不平行，則它們必相交，在導出矛盾；面面平行的判斷定理；利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個平面平行；平行于同一平面的兩個平面平行；平行于同一個平面的兩個平面平行.；向量法：證明兩個平面的法向量平行.4.兩個平面平行的性質(zhì)有五條：（1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個平面，這個定理可簡記為：“面面平行，則線面平行”.用符號表示是：，則.（2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”.用符號表示是：，則.（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面.這個定理可用于證線面垂直.用符號表示是：，則.（4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等（5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行5.證明空間線面平行需注意以下幾點：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論.關鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行平行之間的轉(zhuǎn)化.6“升降維”思想直線是一維的，平面是二維的，立體空間是三維的.運用降維的方法把立體空間問題轉(zhuǎn)化為平面或直線問題進行研究和解題，可以化難為易，化新為舊，化未知為已知，從而使問題得到解決.運用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學會學習”的重要方法.平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運用的過程.7反證法：反證法是立體幾何中常用的間接證明方法.其步驟是：否定結(jié)論；進行推理；導出矛盾；肯定結(jié)論用反證法證題要注意：宜用此法否；命題結(jié)論的反面情況有幾種. 【考點針對訓練】1.如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點， 是線段的中點（）求證：平面；（）求三棱錐的體積【解析】（）連接，如圖，、分別是、的中點，是矩形，四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面；（）連接，正方形的邊長為2，則，又在長方體中，且，平面，又平面，又 ，平面，即為三棱錐的高，.2如圖，在四棱錐中，已知底面為矩形，平面,點為棱的中點，求證：（1）平面；（2）平面平面.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】(1) 連接BD與AC相交于點O，連結(jié)OE 因為四邊形ABCD為矩形，所以O為BD中點因為E為棱PD中點，所以PBOE 因為PB平面EAC，OE平面EAC，所以直線PB平面EAC (2) 因為PA平面PDC，CD平面PDC，所以 PACD因為四邊形ABCD為矩形，所以ADCD因為 PAADA，PA，AD平面PAD，所以 CD平面PAD 因為CD平面ABCD，所以 平面PAD平面ABCD OPABCDE【考點3】直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【備考知識梳理】1線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直.推理模式： .注意：三垂線指都垂直內(nèi)的直線其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理要考慮的位置，并注意兩定理交替使用.2線面垂直：定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線和平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面,直線與平面的交點叫做垂足.直線與平面垂直記作：.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行.3面面垂直兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面.兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面.【規(guī)律方法技巧】1.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過程中要特別體會平行關系性質(zhì)的傳遞性，垂直關系的多樣性.2.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個直線的方向向量和這個平面的法向量相互平行.線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直.3.面面垂直的證明方法：定義法；面面垂直的判斷定理；向量法：證明兩個平面的法向量垂直.解題時要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關鍵在于對題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進行垂直之間的轉(zhuǎn)化.4.證面面垂直，關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結(jié)合條件中各種垂直關系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；條件中告訴我們某種位置關系，就要聯(lián)系到相應的性質(zhì)定理.已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式（如勾股定理）證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結(jié)論是線面垂直5.證明線面垂直，就考慮證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線；而證明異面的線線垂直，很多題都要通過線面垂直來證明；對相交直線垂直的證明，一般考慮用平面幾何里的方法.常見的有以下幾種，若是等腰三角形，則底邊上的中線與底邊垂直；若是錐形、菱形（正方形），則對角線互相垂直；若是矩形，則鄰邊互相垂直；有時還用到以下結(jié)論：如下圖，在矩形中，若，則；若告訴了線段的長度，或者是告訴了邊與邊之間的關系，則用勾股定理.6在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化注意以下幾點：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路.立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質(zhì)適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一.明確何時應用判定定理，何時應用性質(zhì)定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論.三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應優(yōu)先考慮.應用時常需先認清所觀察的平面及它的垂線，從而明確斜線、射影、面內(nèi)直線的位置，再根據(jù)定理由已知的兩直線垂直得出新的兩直線垂直.另外通過計算證明線線垂直也是常用的方法之一.7面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可每一垂直的判定就是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理，在一個平面內(nèi)作交線的垂線，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.8.易錯點：（1）證明線面垂直時，易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件（2）面面垂直的判定定理中，直線在面內(nèi)且垂直于另一平面易忽視（3）面面垂直的性質(zhì)定理在使用時易忘面內(nèi)一線垂直于交線而盲目套用造成失誤【考點針對訓練】1.已知三棱錐的四個頂點均在半徑為1的球面上，且滿足，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為_.【答案】2【解析】由，可知PA，PB，PC兩兩垂直，又三棱錐P-ABC的四個頂點均在半徑為1的球面上，故則由基本不等式可得，即，則三棱錐P-ABC的側(cè)面積則三棱錐的側(cè)面積的最大值為22.如圖4，在邊長為的菱形中，點，分別是邊，的中點，沿將翻折到，連接，得到如圖5的五棱錐，且（1）求證：平面；（2）求四棱錐的體積【解析】（1）點，分別是邊，的中點，. 菱形的對角線互相垂直，. . ，.平面，平面，平面. 平面. （2）設，連接，為等邊三角形.，.在R t中，在中，. ，平面，平面，平面.梯形的面積為，四棱錐的體積. 【兩年模擬詳解析】1. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）xx屆高三年級第三次調(diào)研考試】如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點在棱上（異于點，），平面與棱交于點.（1）求證：；（2）若平面平面，求證：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】 解:(1) 因為是矩形，所以又因為平面，平面，所以平面又因為平面，平面平面，所以（2）因為是矩形，所以又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面又平面，所以 又由（1）知，所以2. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（二）】如圖，在四面體中，平面平面，分別為，的中點，.（1）求證：平面；（2）若為上任一點，證明平面.【答案】（1）見解析（2）見解析（2）連，因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，且，平面，平面，所以平面平面，又為上任一點，所以平面，所以平面.3. 【南京市、鹽城市xx屆高三年級第一次模擬】(本小題滿分14分)如圖，在直三棱柱中，,分別是,的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】證明：（1）因為,分別是,的中點，所以， .2分又因為在三棱柱中，所以. .4分又平面，平面，所以平面. .6分（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以. .8分又，所以， .10分又平面，且，所以平面. .12分又平面，所以平面平面 .14分（注：第（2）小題也可以用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面，類似給分）4. 【鎮(zhèn)江市xx屆高三年級第一次模擬】在長方體中，（1）求證：平面；（2）求證：平面【答案】（）詳見解析（）詳見解析（2）連結(jié)B1E設ABa，則在BB1E中，BEB1E，BB12a所以 ，所以B1EBE 8分由ABCDA1B1C1D1為長方體，則A1B1平面BB1C1C，平面BB1C1C，所以A1B1BE 10分因B1EA1B1= B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，則BE平面A1B1E12分 又因為A1E平面A1B1E, 所以A1EBE 同理A1EDE又因為BE 平面BDE，DE 平面BDE，所以A1E平面BDE 14分5. 【xx年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分14分）在如圖所示的幾何體中，, 分別為的中點. （I）求證： （II）求證：平面.【解析】（）證明：因，所以與確定一個平面，連接，因為為的中點，所以；同理可得，又因為，所以平面，因為平面，6分（）設的中點為，連，在中，是的中點，所以，又，所以；在中，是的中點，所以，又，所以平面平面，因為平面，所以平面.14分6. 【xx年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】（本小題滿分14分）如圖，在三棱柱中，已知分別為線段的中點，且.求證：（1）平面平面；（2）平面.【解析】證明：（1）因為，且為線段的中點，所以.又，平面，平面，所以平面，6分因為平面，所以平面平面.8分（2）取中點，連結(jié)，因為為線段的中點，為中點，所以，且.在三棱柱中，且.又為線段的中點，故，且.所以，且，于是四邊形是平行四邊形，從而.12分又平面，平面，故平面14分7. 【xx學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（一）】如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面是菱形，與交于點，是棱上一點，且平面（1）求證：是中點；（2）若，求證：（1）連接，因為平面，平面，平面平面，所以. 4分因為側(cè)面是菱形，所以是中點， 5分所以，E是AB中點.7分（2）因為側(cè)面是菱形，所以，9分又，面，所以面，12分因為平面，所以14分8. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】（本小題滿分14分）在正三棱柱中，,點D是BC的中點，點在上，且（1）求證： 平面；（2）求證：平面平面【答案】（1）詳見解析 （2）詳見解析【解析】（1） 記，連接.四邊形為矩形，是的中點，又是的中點，.3分又平面，平面，平面.6分（2）是正三角形，是的中點，.平面平面，平面平面，平面，平面.9分【或利用平面，證明平面.】平面，.，是中點，10分，又，平面，平面.12分又平面，平面平面14分9. 【xx年高考原創(chuàng)押題預測卷02（江蘇卷）】（本小題滿分14分）如圖，四棱錐的底面是矩形，平面分別是的中點，且.（）求證：平面；（）求證：平面平面. 【解析】證明：（1）取的中點，連則，-（2分）又，所以，所以四邊形是平行四邊形，-（3分）則平面.-（6分）（2）因平面，故-（8分）又因為，故平面；-（10分）因為，所以平面，-（12分）又平面，所以平面平面.-（14分）10. 【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】6已知，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同直線，l，m給出下列命題：lm； l； ml； lm其中正確的命題是 (填寫所有正確命題的序號)【答案】【解析】試題分析：，l l lm，命題正確；，l l、m可平行，可相交，可異面，命題錯誤；m，l lm l與可平行，l可在內(nèi)，l可與相交，命題錯誤； l、lm命題正確.11【江蘇省揚州中學xx學年第二學期質(zhì)量檢測】如圖，已知直三棱柱中， ，分別是棱，中點（1）求證：平面；（2）求證：平面； 【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（2）證明：取的中點，連結(jié)，因為，分別是棱，中點，所以，. 又因為，所以，.所以四邊形是平行四邊形 所以. 因為平面，平面， 所以平面. 12【南京市、鹽城市xx屆高三年級第二次模擬考試】如圖，在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，M，N分別為AB，PA的中點（1）求證：PB平面MNC；（2）若ACBC，求證：PA平面MNC.（第16題圖）【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）因為M，N分別為AB，PA的中點，所以MNPB 因為MN平面MNC，PB平面MNC， 所以PB平面MNC. （2）因為PAPB，MNPB，所以PAMN. 因為ACBC，AMBM，所以CMAB. 因為平面PAB平面ABC，CM平面ABC，平面PAB平面ABCAB，所以CM平面PAB 因為PA平面PAB，所以CMPA 因為PAMN，MN平面MNC，CM平面MNC，MNCMM，所以PA平面MNC. 13【江蘇省蘇中三市xx屆高三第二次調(diào)研測試】如圖，在正方體中，分別為棱的中點求證：（1）平面； （2）平面平面【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）在正方體中，因為分別為棱的中點，所以又，故，所以四邊形為平行四邊形從而，又平面平面，所以平面； （2）連結(jié)，在正方形中，又分別為棱的中點，故所以在正方體中，平面，又平面，所以平面， 而平面，所以平面又平面，所以平面平面14【江蘇省揚州中學xx屆高三4月質(zhì)量監(jiān)測】如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面AA1C1C底面ABC，側(cè)面AA1C1C是菱形，A1AC60，E、F分別是A1C1、AB的中點求證：（1）EF平面BB1C1C； （2）平面CEF平面ABC【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】ABCOMFE證明：（1）取BC中點M，連接FM，C1M，在ABC中，因為F，M分別為BA、BC的中點，所以AC,因為E為A1C1的中點，ACA1C1，所以FMEC1，且FM=EC1從而四邊形EFMC1為平行四邊形，所以EFC1M，又因為C1M平面BB1C1C，EF平面BB1C1C，因此EF平面BB1C1C；（2）在平面AA1C1C內(nèi)，作A1OAC，O為垂足，因為A1AC=60，所以AO=從而O為AC的中點所以OCA1E，且OC=A1E，因而ECA1O，因為側(cè)面AA1C1C底面ABC，交線為AC，A1OAC，所以A1O底面ABC因而A1OAB所以ECAB，ECAC，而ABAC=A，所以EC底面ABC，又因為EC平面EFC，所以平面CEF平面ABC15【江蘇省南京市xx屆高三年級第三次學情調(diào)研適應性測試數(shù)學】如圖，在四棱錐EABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點.（1）求證：DE/平面ACF；（2）若ABCE，在線段EO上是否存在點G，使得CG平面BDE？若存在，請證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.【答案】（1）詳見解析（2）EO的中點【解析】（1）證明：連接OF由四邊形ABCD是正方形可知，點O為BD的中點又F為BE的中點，所以OF/DE 又OF平面ACF，DE平面ACF所以DE/平面ACF (2) 解：在線段EO上存在點G，使CG平面BDE，證明如下：取EO的中點G，連接CG，在四棱錐EABCD中ABCE，COABCE，所以CGEO 又由EC底面ABCD，BD底面ABCD，所以ECBD 由四邊形ABCD是正方形可知，ACBD又ACECC所以BD平面ACE ，而BD平面BDE 所以，平面ACE平面BDE，且平面ACE平面BDEEO因為CGEO，CG平面ACE，所以CG平面BDE16【南京市xx屆高三年級第三次模擬考試】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D為棱BC上一點 （1）若ABAC，D為棱BC的中點，求證：平面ADC1平面BCC1B1；（2）若A1B平面ADC1，求的值 【答案】（1）詳見解析（2）1【解析】（1）因為ABAC，點D為BC中點，所以ADBC 因為ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以BB1平面ABC因為AD平面ABC，所以BB1AD 因為BCBB1B，BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1 因為AD平面ADC1，所以平面ADC1平面BCC1B1 (2)連結(jié)A1C，交AC1于O，連結(jié)OD，所以O為AC1中點 因為A1B平面ADC1，A1B平面A1BC，平面ADC1平面A1BCOD，所以A1BOD因為O為AC1中點，所以D為BC中點，所以1 17【江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市xx屆高三教學情況調(diào)研（二）數(shù)學試題】在直三棱柱中， 是的中點（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且，求證：平面【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【解析】（1）連結(jié)，設交于點，連結(jié)四邊形是矩形，是的中點 在中， ，分別是，的中點， 又平面，平面，平面 （2），是的中點，又在直三棱柱中，底面?zhèn)让?，交線為，平面，平面 平面， ， ， ，從而=，所以+=+=， 又，平面，平面平面 18【江蘇省蘇北三市xx屆高三最后一次模擬考試】如圖，在直三棱柱中，已知，分別為的中點，求證：（1）平面平面；（2）平面.【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析（2）取中點，連結(jié)，.由于，分別為，的中點，所以且故且.則四邊形為平行四邊形，所以.又平面，平面，所以平面. 由于分別為，的中點，所以.又，分別為，的中點，所以.則.又平面，平面，所以平面. 由于,所以平面平面.由于平面，所以平面. 【一年原創(chuàng)真預測】1. 下列四個命題：如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面 如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面 如果平面平面，平面平面，那么平面如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面其中正確的有【答案】【解析】對于，若平面平面，則平面內(nèi)的直線可能不垂直于平面，甚至可能平行于平面，其余選項均是正確的.【入選理由】本題考察空間直線和平面的位置關系等基礎知識，意在考察學生空間想象能力. 線面的平行與垂直，是立體幾何的主體內(nèi)容，也是高考考查的重點與難點，一般選擇題多考查線面位置關系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題.2. 如圖，在三棱錐中，、分別是、的中點（I）證明：平面平面； （II）若，求三棱錐的體積【解析】（I）證明：E、F分別是AC、BC的中點,同理，,;（II）解：取的中點，連結(jié)、，,在等腰直角三角形中，是斜邊的中點,同理，,是等邊三角形,.【入選理由】本題考查空間圖形平行與垂直的證明、三棱錐的體積等基礎知識，意在考查學生空間想象能力、邏輯推理能力，及幾何體體積的計算能力.本題常規(guī)題型,符合高考要求，故選此題.3.如圖，已知矩形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，且分別為的中點（I）求證：平面；（II）求證：平面平面【解析】（I）取的中點，連接在中，又在梯形中，又 平面平面又平面，平面（II）平面平面，平面平面，在矩形中平面，又在和中，又平面，平面平面平面【入選理由】本題考查線面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理等基本知識理解和應用，意在考查學生的空間想象力和推理論證能力, 高考對立體幾何的考查，主要以柱體、錐體或其組合體為載體，考查線面位置關系的判定與證明，特別是解答題的第一問，主要考查線面位置關系的判定與性質(zhì)，一般難度不大，故選此題.