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2019-2020年高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應用 第2節(jié) 函數(shù)模型及其應用（2）教案 新人教A版必修1
導入新課
思路1.(情境導入)
國際象棋起源于古代印度．相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他要什么．發(fā)明者說：“請在棋盤的第一個格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里的麥粒數(shù)都是前一個格子里放的麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子．請給我足夠的麥粒以實現(xiàn)上述要求．”國王覺得這個要求不高，就欣然同意了．假定千粒麥子的質(zhì)量為40g，據(jù)查，目前世界年度小麥產(chǎn)量為6億噸，但這仍不能滿足發(fā)明者要求，這就是指數(shù)增長．本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．
思路2.(直接導入)
我們知道，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)與冪函數(shù)y＝xn(n>0)在區(qū)間(0，＋∞)上都是增函數(shù)．但這三類函數(shù)的增長是有差異的．本節(jié)我們討論指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的增長差異．
推進新課
①在區(qū)間(0，＋∞)上判斷y＝log2x，y＝2x，y＝x2的單調(diào)性.
②列表并在同一坐標系中畫出三個函數(shù)的圖象.
③結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點坐標.
④請在圖象上分別標出使不等式log2x<2x
1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，通過探索可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間(0，＋∞)上，無論n比a大多少，盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，ax會小于xn，但由于ax的增長快于xn的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，就會有ax>xn.
同樣地，對于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)和冪函數(shù)y＝xn(n>0)，在區(qū)間(0，＋∞)上，隨著x的增大，logax增長得越來越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣．盡管在x的一定變化范圍內(nèi)，logax可能會大于xn，但由于logax的增長慢于xn的增長，因此總存在一個x0，當x>x0時，就會有l(wèi)ogax1)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)與冪函數(shù)y＝xn(n>0)在區(qū)間(0，＋∞)上都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于y＝xn(n>0)的增長速度，而y＝logax(a>1)的增長速度則會越來越慢．因此，總會存在一個x0，當x>x0時，就會有l(wèi)ogax0)增長快于對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)增長，但它們與指數(shù)增長比起來相差甚遠，因此指數(shù)增長又稱“指數(shù)爆炸”．
例1某市的一家報刊攤點，從報社買進晚報的價格是每份0.20元，賣出價是每份0.30元，賣不掉的報紙可以以每份0.05元的價格退回報社．在一個月(以30天計)里，有20天每天可賣出400份，其余10天每天只能賣出250份，但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，這個攤主每天從報社買進多少份，才能使每月所獲的利潤最大？并計算他一個月最多可賺得多少元？
活動：學生先思考或討論，再回答．教師根據(jù)實際，可以提示引導：
設(shè)攤主每天從報社買進x份，顯然當x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．而每月所獲利潤＝賣報收入的總價－付給報社的總價．賣報收入的總價包含三部分：①可賣出400份的20天里，收入為200.30x；②可賣出250份的10天里，收入為100.30250；③10天里多進的報刊退回給報社的收入為100.05(x－250)．付給報社的總價為300.20x.
解：設(shè)攤主每天從報社買進x份晚報，顯然當x∈[250,400]時，每月所獲利潤才能最大．于是每月所獲利潤y為
y＝200.30x＋100.30250＋100.05(x－250)－300.20x＝0.5x＋625，x∈[250,400]．
因函數(shù)y在[250,400]上為增函數(shù)，故當x＝400時，y有最大值825元．
例2某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y與時間t之間近似滿足如圖12所示的曲線．
圖12
(1)寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于4微克時治療疾病有效，假若某病人一天中第一次服藥時間為上午7：00，問一天中怎樣安排服藥的時間(共4次)效果最佳？
解：(1)依題意，得y＝
(2)設(shè)第二次服藥時在第一次服藥后t1小時，則－t1＋＝4，t1＝4.因而第二次服藥應在11：00；
設(shè)第三次服藥在第一次服藥后t2小時，則此時血液中含藥量應為兩次服藥量的和，即有－t2＋－(t2－4)＋＝4，解得t2＝9，故第三次服藥應在16：00；
設(shè)第四次服藥在第一次后t3小時(t3>10)，則此時第一次服進的藥已吸收完，此時血液中含藥量應為第二、三次的和，－(t2－4)＋－(t2－9)＋＝4，解得t3＝13.5，故第四次服藥應在20：30.
變式訓練
通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間：講座開始時，學生興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)；隨后學生的注意力開始分散．分析結(jié)果和實驗表明，用f(x)表示學生接受概念的能力[f(x)的值愈大，表示接受的能力愈強]，x表示提出和講授概念的時間(單位：分鐘)，可有以下的公式：
f(x)＝
(1)開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？
(2)開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學生的接受能力何時強一些？
解：(1)當087.5可知，h(t)在區(qū)間[0,300]上可以取得最大值100，此時t＝50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．
點評：本題主要考查由函數(shù)圖象建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最大值的問題，考查運用所學知識解決實際問題的能力．
探究內(nèi)容
①在函數(shù)應用中如何利用圖象求解析式．
②分段函數(shù)解析式的求法．
③函數(shù)應用中的最大值、最小值問題．
舉例探究：(xx山東省青島高三教學質(zhì)量檢測，理21)某跨國公司是專門生產(chǎn)健身產(chǎn)品的企業(yè)，第一批產(chǎn)品A上市銷售40天內(nèi)全部售完，該公司對第一批產(chǎn)品A上市后的國內(nèi)外市場銷售情況進行調(diào)研，結(jié)果如圖14(1)、圖14(2)、圖14(3)所示．其中圖14(1)的折線表示的是國外市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖14(2)的拋物線表示的是國內(nèi)市場的日銷售量與上市時間的關(guān)系；圖14(3)的折線表示的是每件產(chǎn)品A的銷售利潤與上市時間的關(guān)系．
圖14
(1)分別寫出國外市場的日銷售量f(t)、國內(nèi)市場的日銷售量g(t)與第一批產(chǎn)品A上市時間t的關(guān)系式；
(2)第一批產(chǎn)品A上市后的哪幾天，這家公司的國內(nèi)和國外日銷售利潤之和超過6 300萬元？
分析：1.利用圖象求解析式，先要分清函數(shù)類型再利用待定系數(shù)法求解析式．
2．在t∈[0,40]上，有幾個分界點，請同學們思考應分為幾段．
3．回憶函數(shù)最值的求法．
解：(1)f(t)＝
g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件A產(chǎn)品銷售利潤h(t)＝
該公司的日銷售利潤F(t)＝
當0≤t≤20時，F(xiàn)(t)＝3t(－t2＋8t)，先判斷其單調(diào)性．
設(shè)0≤t1＜t2≤20，則F(t1)－F(t2)＝3t1(－t＋8t1)－3t2(－t＋8t2)＝－(t1＋t2)(t1－t2)2.
∴F(t)在[0,20]上為增函數(shù)．
∴F(t)max＝F(20)＝6 000<6 300.
當206 300，
則1 000，
∴該規(guī)劃方案有極大實施價值．
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