2019-2020年高中數(shù)學《推理與證明》教案蘇教版選修2-2.doc

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2019-2020年高中數(shù)學《推理與證明》教案蘇教版選修2-2 掌握歸納推理的技巧，并能運用解決實際問題。 通過“自主、合作與探究”實現(xiàn)“一切以學生為中心”的理念。 感受數(shù)學的人文價值，提高學生的學習興趣，使其體會到數(shù)學學習的美感。 ●教學重點：歸納推理及方法的總結。 ●教學難點：歸納推理的含義及其具體應用。 ●教具準備：與教材內容相關的資料。 ●課時安排：1課時 ●教學過程： 一.問題情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾對國王說，給我一個支點，我將撬起整個地球！” ②提問：大家認為可能嗎？他為何敢夸下如此?？?？理由何在？ ③探究：他是怎么發(fā)現(xiàn)“杠桿原理”的？ 從而引入兩則小典故：（圖片展示-阿基米德的靈感） A：一個小孩，為何輕輕松松就能提起一大桶水？ B：修筑河堤時，奴隸們是怎樣搬運巨石的？ 正是基于這兩個發(fā)現(xiàn)，阿基米德大膽地猜想，然后小心求證，終于發(fā)現(xiàn)了偉大的“杠桿原理”。 ④思考：整個過程對你有什么啟發(fā)？ ⑤啟發(fā)：在教師的引導下歸納出：“科學離不開生活，離不開觀察，也離不開猜想和證明”。 歸納推理的發(fā)展過程 觀察 猜想 證明 (2)皇冠明珠 追逐先輩的足跡，接觸數(shù)學皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。 世界近代三大數(shù)學難題之一。哥德巴赫是德國一位中學教師，也是一位著名的數(shù)學家，生于1690年，1725年當選為俄國彼得堡科學院院士。1742年，哥德巴赫在教學中發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個素數(shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當時的大數(shù)學家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一個≥6之偶數(shù)，都可以表示成兩個奇質數(shù)之和。 (b) 任何一個≥9之奇數(shù)，都可以表示成三個奇質數(shù)之和。 這就是著名的哥德巴赫猜想。歐拉在6月30日給他的回信中說，他相信這個猜想是正確的，但他不能證明。敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數(shù)學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數(shù)學家的注意。從提出這個猜想至今，許多數(shù)學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。當然曾經有人作了些具體的驗證工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人對33108以內且大過6之偶數(shù)一一進行驗算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但驗格的數(shù)學證明尚待數(shù)學家的努力。從此，這道著名的數(shù)學難題引起了世界上成千上萬數(shù)學家的注意。200年過去了，沒有人證明它。哥德巴赫猜想由此成為數(shù)學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。到了20世紀20年代，才有人開始向它靠近。1920年、挪威數(shù)學家布爵用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比大的偶數(shù)都可以表示為（99）。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們于是從（9十9）開始，逐步減少每個數(shù)里所含質數(shù)因子的個數(shù)，直到最后使每個數(shù)里都是一個質數(shù)為止，這樣就證明了“哥德巴赫”。 思考：其他偶數(shù)是否也有類似的規(guī)律？ ③討論：組織學生進行交流、探討。 ④檢驗：2和4可以嗎？為什么不行？ ⑤歸納：通過剛才的探究，由學生歸納“歸納推理”的定義及特點。 3.數(shù)學建構 ●把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納). 注:歸納推理的特點; 簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。 ●歸納推理的一般步驟： 4.師生活動 例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鱷魚是用肺呼吸的,海龜是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。蛇、鱷魚、海龜、蜥蜴都是爬行動物. 結論：所有的爬行動物都是用肺呼吸的。 例2 前提：三角形的內角和是1800，凸四邊形的內角和是3600，凸五邊形的內角和是5400，…… 結論：凸n邊形的內角和是（n—2）1800。 例3 探究：上述結論都成立嗎？ 強調：歸納推理的結果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 5.提高鞏固 ①探索：先讓學生獨立進行思考。 ②活動：“千里走單騎”　—　鼓勵學生說出自己的解題思路。 ③活動：“圓桌會議”　—　鼓勵其他同學給予評價，對在哪里？錯在哪里？還有沒有更好的方法？ 【設計意圖】：提供一個舞臺, 讓學生展示自己的才華，這將極大地調動學生的積極性，增強學生的榮譽感，培養(yǎng)學生獨立分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了“自主探究”，同時，也鍛煉了學生敢想、敢說、敢做的能力。 【一點心得】：在“千里走單騎”和“圓桌會議”的探究活動中，教師一定要以“鼓勵和表揚”為主，面帶微笑，消除學生的恐懼感，提高學生的自信心． ⑵能力培養(yǎng)（例2拓展） ①思考：怎么求？組織學生進行探究，尋找規(guī)律。 ②歸納：由學生討論，歸納技巧，得到技巧②和③。 技巧②:有整數(shù)和分數(shù)時,往往將整數(shù)化為分數(shù). 技巧③:當分子分母都在變化時,往往統(tǒng)一分子 (或分母),再尋找另一部分的變化規(guī)律. 6.課堂小結 (1)歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法。 (2)歸納推理的一般步驟： 通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質 從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想） 證明 課題：類比推理 ●教學目標： 通過對已學知識的回顧，認識類比推理這一種合情推理的基本方法，并把它用于對問 題的發(fā)現(xiàn)中去。 類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質，類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。 正確認識合情推理在數(shù)學中的重要作用，養(yǎng)成從小開始認真觀察事物、分析問題、發(fā)現(xiàn)事物之間的質的聯(lián)系的良好個性品質，善于發(fā)現(xiàn)問題，探求新知識。 認識數(shù)學在日常生產生活中的重要作用，培養(yǎng)學生學數(shù)學，用數(shù)學，完善數(shù)學的正確數(shù)學意識。 ●教學重點：了解合情推理的含義，能利用類比進行簡單的推理。 ●教學難點：用類比進行推理，做出猜想。 ●教具準備：與教材內容相關的資料。 ●課時安排：1課時 ●教學過程： 一．問題情境 從一個傳說說起：春秋時代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子. 他的思路是這樣的： 茅草是齒形的； 茅草能割破手. 我需要一種能割斷木頭的工具； 它也可以是齒形的. 這個推理過程是歸納推理嗎？ 二．數(shù)學活動 我們再看幾個類似的推理實例。 例1、試根據等式的性質猜想不等式的性質。 等式的性質： 猜想不等式的性質： (1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c; (2) a=b ac=bc; (2) a＞b ac＞bc; (3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。 問：這樣猜想出的結論是否一定正確？ 例2、試將平面上的圓與空間的球進行類比. 圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的集合. 球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合. 圓 球 弦←→截面圓 直徑←→大圓 周長←→表面積 面積←→體積 圓的性質 球的性質 圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦 球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓 與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長 與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大 圓的切線垂直于過切點的半徑；經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點 球的切面垂直于過切點的半徑；經過球心且垂直于切面的直線必經過切點 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心 經過切點且垂直于切面的直線必經過球心 ☆上述兩個例子均是這種由兩個（兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出他們在其他方面也相似或相同；或其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）． 簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理． 類比推理的一般步驟： ⑴ 找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征； ⑵ 用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想； ⑶ 檢驗猜想。即 觀察、比較 聯(lián)想、類推 猜想新結論 例3.在平面上,設ha,hb,hc是三角形ABC三條邊上的高.P為三角形內任一點,P到相應三邊的距離分別為pa,pb,pc,我們可以得到結論: 試通過類比,寫出在空間中的類似結論. 鞏固提高 1．(xx年上海)已知兩個圓①x2+y2=1:與②x2+(y-3)2=1,則由①式減去②式可得上述兩圓的對稱軸方程.將上述命題在曲線仍然為圓的情況下加以推廣,即要求得到一個更一般的命題,而已知命題應成為所推廣命題的一個特例,推廣的命題為----------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2．類比平面內直角三角形的勾股定理,試給出空間中四面體性質的猜想． 直角三角形 3個面兩兩垂直的四面體 ∠C＝90 3個邊的長度a，b，c 2條直角邊a，b和1條斜邊c ∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90 4個面的面積S1，S2，S3和S 3個“直角面” S1，S2，S3和1個“斜面” S 3．（xx，北京）定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。 已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為______________，這個數(shù)列的前n項和的計算公式為________________ 課堂小結 1．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。 2． 類比推理的一般步驟： ①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。 ②用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想） 課 題：演繹推理 教學目標：1. 了解演繹推理 的含義。 2. 能正確地運用演繹推理 進行簡單的推理。 3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。 教學重點：正確地運用演繹推理 進行簡單的推理 教學難點：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。 教學過程： 一． 復習:合情推理 歸納推理 從特殊到一般 類比推理 從特殊到特殊 從具體問題出發(fā)――觀察、分析比較、聯(lián)想――歸納。類比――提出猜想 二． 問題情境。 觀察與思考 1所有的金屬都能導電 銅是金屬, 所以，銅能夠導電 2.一切奇數(shù)都不能被2整除, (2100+1)是奇數(shù)， 所以， (2100+1)不能被2整除. 3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), tan 是三角函數(shù), 所以，tan 是 周期函數(shù)。 提出問題 ：像這樣的推理是合情推理嗎？ 二．學生活動 ： 1.所有的金屬都能導電 ←————大前提 銅是金屬, ←-----小前提 所以，銅能夠導電 ←――結論 2.一切奇數(shù)都不能被2整除 ←————大前提 (2100+1)是奇數(shù)，←――小前提 所以， (2100+1)不能被2整除. ←―――結論 3.三角函數(shù)都是周期函數(shù), ←——大前提 tan 是三角函數(shù), ←――小前提 所以，tan 是 周期函數(shù)。←――結論 三， 建構數(shù)學 演繹推理的定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理． １．演繹推理是由一般到特殊的推理； ２．“三段論”是演繹推理的一般模式；包括　 ?、糯笄疤?--已知的一般原理；　　　　　　　　 ⑵小前提---所研究的特殊情況；　　　　　　　 ⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷． 三段論的基本格式 M—P（M是P） （大前提） S—M（S是M） （小前提） S—P（S是P） （結論） 3.三段論推理的依據,用集合的觀點來理解: 若集合M的所有元素都具有性質P,S是M的一個子集,那么S中所有元素也都具有性質P. 四，數(shù)學運用 解：二次函數(shù)的圖象是一條拋物線 （大前提） 例2.已知lg2=m,計算lg0.8 解 （1） lgan=nlga(a>0)---------大前提 lg8=lg23————小前提 lg8=3lg2————結論 lg(a/b)=lga-lgb(a>0,b>0)——大前提 lg0.8=lg(8/10)——－小前提 lg0.8=lg(8/10)——結論 例3.如圖;在銳角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC, D,E是垂足,求證AB的中點M到D,E的距離相等 解： (1)因為有一個內角是只直角的三角形是直角三角形,——大前提 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90——-小前提 所以△ABD是直角三角形——結論 (2)因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,——大前提 因為 DM是直角三角形斜邊上的中線,——小前提 所以 DM= AB——結論 同理 EM= AB 所以 DM=EM. 練習：第35頁 練習第 1，2，3，4，題 五 回顧小結： 演繹推理具有如下特點:課本第33頁 。 演繹推理錯誤的主要原因是 1．大前提不成立；2, 小前提不符合大前提的條件。 作業(yè)：第35頁 練習 第5題 。習題2。1 第4題。 課題：推理案例賞識 課型：新授課 教學目標： 1. 了解合情推理和演繹推理 的含義。 2. 能正確地運用合情推理和演繹推理 進行簡單的推理。 3. 了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別。 教學重點：了解合情推理與演繹推理之間的聯(lián)系與差別 教學難點：了解合情推理和演繹推理是怎樣推進數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動的。 教學過程： 2 復習 合情推理和演繹推理的過程 3 案例： 例一 正整數(shù)平方和公式的推導。 提出問題 我們知道，前n個正整數(shù)的和為 (n)=1+2+3+…….+n= n(n+i) ① 那么，前n 個正整數(shù)的平方和 （n）＝＝？ ② 三，數(shù)學活動 思路1 （歸納的方案） 參照課本 第36頁 －37頁 三表 猜想 （n）＝ 思考 ：上面的數(shù)學活動是由哪些環(huán)節(jié)構成的？ 在這個過程中提出了哪些猜想？ 提出猜想時使用了哪些推理方法？ 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？ 思路2 （演繹的方案） 嘗試用直接相加的方法求出正整數(shù)的平方和。 2 把正整數(shù)的平方和表示出來，參照課本棣37頁 左右兩邊分別相加，等號兩邊的（n）被消去了，所以無法從中求出 （n）的值，嘗試失敗了。 （2）從失敗中吸取有用信息，進行新的嘗試 （3）嘗試把兩項和的平方公式改為兩項和的立方公式。左右兩邊相加， 終于導出了公式。 思考： 上面的數(shù)學活動是由哪些環(huán)節(jié)構成的？ 在這個過程中提出了哪些猜想？ 提出猜想時使用了哪些推理方法？ 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用。 四，數(shù)學理論： 上面的案例說明： （1）數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程.是一個不斷地提出猜想驗證猜想的過程，合情推理和論證推理相輔相成，相互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進程。 （2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結論，提供思路的作用。 （3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出“判決”和證明，從而為調控探索活動提供依據。 五，鞏固練習： 閱讀課本第39頁 棱臺體積公式的探求 通過閱讀或查資料，尋找合情推理和演繹推理在數(shù)學推理在數(shù)學活動中的作用的案例，并回答問題： 1 。案例中的數(shù)學活動是由哪些環(huán)節(jié)構成的？ 2 。在上這個過程中提出了哪些猜想？ 3 ， 提出猜想時使用了哪些推理方法？ 4， 合情推理和演繹推理分別發(fā)揮了什么作用？ 六，教學小結： （1）數(shù)學發(fā)現(xiàn)過程是一個探索創(chuàng)造的過程.是一個不斷地提出猜想驗證猜想的過程，合情推理和論證推理相輔相成，相互為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進程。 （2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結論，提供思路的作用。 （3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出“判決”和證明，從而為調控探索活動提供依據。 七，作業(yè)： 八，教后感： 課題：直接證明--綜合法與分析法 1．教學目標： 知識與技能：結合已經學過的數(shù)學實例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。 過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力； 情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。 2．教學重點：了解分析法和綜合法的思考過程、特點 3．教學難點：分析法和綜合法的思考過程、特點 4．教具準備：與教材內容相關的資料。 5．教學設想：分析法和綜合法的思考過程、特點. “變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。 6．教學過程: 學生探究過程：證明的方法 （1）、分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學解題中，分析法是從數(shù)學題的待證結論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數(shù)學題的已知條件出發(fā)，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。 （2）、例1．設a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a3+b3＞a2b+ab2． 證明：(用分析法思路書寫) 要證 a3+b3＞a2b+ab2成立， 只需證(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需證a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需證a2-2ab+b2＞0成立， 即需證(a-b)2＞0成立。 而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0顯然成立，由此命題得證。 (以下用綜合法思路書寫) ∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab 由題設條件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命題得證 例2、若實數(shù)，求證： 證明：采用差值比較法： = = = = ∴ ∴ 例3、已知求證 本題可以嘗試使用差值比較和商值比較兩種方法進行。 證明：1) 差值比較法：注意到要證的不等式關于對稱，不妨設 ，從而原不等式得證。 2）商值比較法：設 故原不等式得證。 注：比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法。用比較法證明不等式的步驟是：作差（或作商）、變形、判斷符號。 討論：若題設中去掉這一限制條件，要求證的結論如何變換？ 鞏固練習：第81頁練習1 , 2 , 3 , 4 課后作業(yè)：第84頁 1，2, 3 教學反思：本節(jié)課學習了分析法和綜合法的思考過程、特點. “變形”是解題的關鍵，是最重一步。因式分解、配方、湊成若干個平方和等是“變形”的常用方法。 課題：間接證明--反證法 1．教學目標： 知識與技能：結合已經學過的數(shù)學實例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。 過程與方法: 多讓學生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力； 情感、態(tài)度與價值觀：通過學生的參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。 2.教學重點：了解反證法的思考過程、特點 3. 教學難點：反證法的思考過程、特點 4．教具準備：與教材內容相關的資料。 5．教學設想：利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。 6．教學過程: 學生探究過程：綜合法與分析法 (1)、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。 (2)、例子 例1、求證：不是有理數(shù) 例2、已知，求證：（且） 例3、設，求證 證明：假設，則有，從而 因為，所以，這與題設條件矛盾，所以，原不 等式成立。 例4、設二次函數(shù)，求證：中至少有一個不小于. 證明：假設都小于，則 （1） 另一方面，由絕對值不等式的性質，有 （2） （1）、（2）兩式的結果矛盾，所以假設不成立，原來的結論正確。 注意：諸如本例中的問題，當要證明幾個代數(shù)式中，至少有一個滿足某個不等式時，通常采用反證法進行。 議一議：一般來說，利用反證法證明不等式的第三步所稱的矛盾結果，通常是指所推出的結果與已知公理、定義、定理或已知條件、已證不等式，以及與臨時假定矛盾等各種情況。試根據上述兩例，討論尋找矛盾的手段、方法有什么特點？ 例5、設0 < a, b, c < 1，求證：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同時大于 證：設(1 - a)b >, (1 - b)c >, (1 - c)a >, 則三式相乘：ab < (1 - a)b?(1 - b)c?(1 - c)a < ① 又∵0 < a, b, c < 1 ∴ 同理：, 以上三式相乘： (1 - a)a?(1 - b)b?(1 - c)c≤ 與①矛盾 ∴原式成立 例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求證：a, b, c > 0 證：設a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 則b + c = -a > 0 ∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 與題設矛盾 又：若a = 0，則與abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可證：b > 0, c > 0 鞏固練習：第83頁練習3、4、5、6 課后作業(yè)：第84頁 4、5、6 教學反思： 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然后，從這個假設出發(fā)，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。 反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發(fā)，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。 課題:數(shù)學歸納法 一、教學目標： 1．了解數(shù)學歸納法的原理，理解數(shù)學歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學歸納法證明問題的方法。 3．能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。 二、教學重點：掌握數(shù)學歸納法的原理及證明問題的方法。 難點：能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。 三、教學過程： 【創(chuàng)設情境】 1．華羅庚的“摸球實驗”。 2．“多米諾骨牌實驗”。 問題：如何保證所摸的球都是紅球？多米諾骨牌全部倒下？處了利用完全歸納法全部枚舉之外，是否還有其它方法？ 數(shù)學歸納法：數(shù)學歸納法實際上是一種以數(shù)學歸納法原理為依據的演繹推理，它將一個無窮的歸納過程轉化為一個有限步驟的演繹過程，是處理自然數(shù)問題的有力工具。 【探索研究】 1．數(shù)學歸納法的本質： 無窮的歸納→有限的演繹（遞推關系） 2．數(shù)學歸納法公理： （1）（遞推奠基）：當n取第一個值n0結論正確； （2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；（歸納假設） 證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 【例題評析】 例1：以知數(shù)列{an}的公差為d，求證： 說明：①歸納證明時，利用歸納假設創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關系，是解題的關鍵。 ②數(shù)學歸納法證明的基本形式； （1）（遞推奠基）：當n取第一個值n0結論正確； （2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；（歸納假設） 證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 EX: 1.判斷下列推證是否正確。 P88 2,3 2. 用數(shù)學歸納法證明 　　　　　　 例2：用數(shù)學歸納法證明(n∈N,n≥2) 說明：注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。 EX:1.用數(shù)學歸納法證明: (1)當n=1時,左邊有_____項,右邊有_____項； (2)當n=k時,左邊有_____項,右邊有_____項； (3)當n=k+1時,左邊有_____項,右邊有_____項； (4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同? 變題: 用數(shù)學歸納法證明 (n∈N+) 例3：設f(n)=1+,求證n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 說明：注意分析f(k)和f(k+1)的關系。 【課堂小結】 1．數(shù)學歸納法公理： （1）（遞推奠基）：當n取第一個值n0結論正確； （2）（遞推歸納）：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；（歸納假設） 證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 2. 注意從n=k到n=k+1時,添加項的變化。利用歸納假設創(chuàng)造遞推條件，尋求f(k+1)與f(k)的遞推關系. 【反饋練習】 1．用數(shù)學歸納法證明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步應驗證( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4 2．用數(shù)學歸納法證明第二步證明從“k到k+1”，左端增加的項數(shù)是( ) A. B C D 3．若n為大于1的自然數(shù)，求證 證明 (1)當n=2時， (2)假設當n=k時成立，即 4．用數(shù)學歸納法證明 【課外作業(yè)】 《課標檢測》 課題:數(shù)學歸納法 一、教學目標： 1．了解數(shù)學歸納法的原理，理解數(shù)學歸納法的一般步驟。 2．掌握數(shù)學歸納法證明問題的方法，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題 3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。 二、教學重點：能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題。 難點：歸納→猜想→證明。 三、教學過程： 【創(chuàng)設情境】 問題1：數(shù)學歸納法的基本思想？ 以數(shù)學歸納法原理為依據的演繹推理，它將一個無窮歸納（完全歸納）的過程，轉化為一個有限步驟的演繹過程。（遞推關系） 問題2：數(shù)學歸納法證明命題的步驟？ （1）遞推奠基：當n取第一個值n0結論正確； （2）遞推歸納：假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確；（歸納假設） 證明當n=k+1時結論也正確。（歸納證明） 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確。 數(shù)學歸納法是直接證明的一種重要方法，應用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關的恒等式、不等式；數(shù)的整除性、幾何問題；探求數(shù)列的通項及前n項和等問題。 【探索研究】 問題：用數(shù)學歸納法證明：能被9整除。 法一：配湊遞推假設： 法二：計算f(k+1)-f(k)，避免配湊。 說明：①歸納證明時，利用歸納假設創(chuàng)造條件，是解題的關鍵。 ②注意從“n=k到n=k+1”時項的變化。 【例題評析】 例1：求證: 能被整除（n∈N+）。 例2：數(shù)列{an}中，,a1=1且 （1）求的值； （2）猜想{an}的通項公式，并證明你的猜想。 說明：用數(shù)學歸納法證明問題的常用方法：歸納→猜想→證明 變題：（xx全國理科）設數(shù)列{an}滿足，n∈N+, (1)當a1=2時，求，并猜想{an}的一個通項公式； （2）當a1≥3時，證明對所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ② 例3：平面內有n條直線，其中任何兩條不平行，任何三條直線不共點，問：這n條直線將平面分成多少部分？ 變題：平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交與兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成n2+n+2個部分。 例4：設函數(shù)f(x)是滿足不等式,(k∈N+)的自然數(shù)x的個數(shù)； （１）求f(x)的解析式； （２）記Sn=f(1)+f(2)+…+f(n),求Sn的解析式； （３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),試比較Ｓn與Ｐn的大小。 【課堂小結】 1.猜歸法是發(fā)現(xiàn)與論證的完美結合 數(shù)學歸納法證明正整數(shù)問題的一般方法： 歸納→猜想→證明。 2.兩個注意： （1）是否用了歸納假設？ （2）從n=k到n=k+1時關注項的變化？ 【反饋練習】 1 觀察下列式子 …則可歸納出____ (n∈N*) 1．用數(shù)學歸納法證明 2．已知數(shù)列計算根據計算結果，猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明。 3.是否存在常數(shù)a、b、c，使等式 對一切都成立？并證明你的結論. 【課外作業(yè)】 《課標檢測》 課題:復習課 一、教學目標： 1．了解本章知識結構。 2．進一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數(shù)學的完整認識。課題:數(shù)學歸納法 3．認識數(shù)學本質，把握數(shù)學本質，增強創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力。 二、教學重點：進一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數(shù)學的完整認識。 難點：認識數(shù)學本質，把握數(shù)學本質，增強創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力 三、教學過程： 【創(chuàng)設情境】 推理與證明 推理 證明 合情推理 演繹推理 直接證明 間接證明 類比推理 歸納推理 分析法 綜合法 反證法 數(shù)學歸納法 一、知識結構： 【探索研究】 我們從邏輯上分析歸納、類比、演繹的推理形式及特點；揭示了分析法、綜合法、數(shù)學歸納法和反證法的思維過程及特點。通過學習，進一步感受和體會常用的思維模式和證明方法，形成對數(shù)學的完整認識。 【例題評析】 例1：如圖第n個圖形是由正ｎ＋２邊形“擴展”而來,（ｎ＝１，２，３，…）。則第n－2個圖形中共有________個頂點。 變題：黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個圖案： 第1個 第2個 第3個 則第n個圖案中有白色地面磚 塊。 例2：長方形的對角線與過同一個頂點的兩邊所成的角為，則 =1，將長方形與長方體進行類比，可猜測的結論為：_______________________; 變題1：已知，m是非零常數(shù)，x∈R,且有= ,問f(x)是否是周期函數(shù)？若是，求出它的一個周期，若不是，說明理由。 變題2：數(shù)列的前n項和記為Sn，已知證明： （Ⅰ）數(shù)列是等比數(shù)列； （Ⅱ） 例3：設f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x+1)與函數(shù)f(x)的圖象關于y軸對稱，求證： 為偶函數(shù)。 例4：設Sn=1+ (n>1,n∈N),求證： （） 評析：數(shù)學歸納法證明不等式時，經常用到“放縮”的技巧。 變題：是否存在a、b、c使得等式122+232+…+n(n+1)2=(an2+bn+c) 對于一切正整數(shù)n都成立？證明你的結論。 解 假設存在a、b、c使題設的等式成立， 這時令n=1,2,3,有 于是，對n=1,2,3下面等式成立 122+232+…+n(n+1)2= 記Sn=122+232+…+n(n+1)2 （1）n=1時，等式以證，成立。 （2）設n=k時上式成立，即Sk= (3k2+11k+10) 那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 = (3k2+5k+12k+24)=［3(k+1)2+11(k+1)+10］ 也就是說，等式對n=k+1也成立 綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數(shù)n均成立 【課堂小結】 體會常用的思維模式和證明方法。 【反饋練習】 1．（xx遼寧）在R上定義運算若不等式對任意實數(shù)成立， 則 A． B． C． D． 2．定義A*B，B*C，C*D，D*B分別對應下列圖形 （1） （2） （3） （4） 那么下列圖形中 （1） （2） （3） （4） 可以表示A*D，A*C的分別是 ( ) A．（1）、（2） B．（2）、（3） C．（2）、（4） D．（1）、（4） 3 已知f(n)=(2n+7)3n+9,存在自然數(shù)m,使得對任意n∈N,都能使m整除f(n)，則最大的m的值為( ) A 30 B 26 C 36 D 6 解析 ∵f(1)=36,f(2)=108=336,f(3)=360=1036 ∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除 證明 n=1,2時，由上得證，設n=k(k≥2)時， f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除，則n=k+1時， f(k+1)－f(k)=(2k+9)3k+1－(2k+7)3k=(6k+27)3k－(2k+7)3k =(4k+20)3k=36(k+5)3k－2(k≥2) f(k+1)能被36整除 ∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的m值等于36 4 已知數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+…+b10=145 (1)求數(shù)列{bn}的通項公式bn; (2)設數(shù)列{an}的通項an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)記Sn是數(shù)列{an}的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結論 解 (1) 設數(shù)列{bn}的公差為d, 由題意得,∴bn=3n－2 (2)證明 由bn=3n－2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小 比較(1+1)(1+)…(1+)與的大小 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推測 (1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ①當n=1時，已驗證(*)式成立 ②假設n=k(k≥1)時(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞ 則當n=k+1時， , 即當n=k+1時，(*)式成立 由①②知，(*)式對任意正整數(shù)n都成立 于是，當a＞1時，Sn＞logabn+1,當 0＜a＜1時，Sn＜logabn+1 【課外作業(yè)】 《課標檢測》