2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教案 理 北師大版.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第十章10.5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教案 理 北師大版考綱要求1理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念，能計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題2利用實(shí)際問題的直方圖，了解正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義知識(shí)梳理1離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值：稱EX_為隨機(jī)變量X的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_(2)方差：稱DX_為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的_，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的_2均值與方差的性質(zhì)(1)E(aXb)_；(2)D(aXb)_(a，b為實(shí)數(shù))3兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布的均值和方差若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則EX_，DX_.若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，即XB(n，p)，則EX_，DX_.若隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX_，DX_.4正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：如果連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，(x)，x(，)，其中，為參數(shù)，則稱，(x)的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線(2)正態(tài)分布：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(ab)，隨機(jī)變量X滿足P(aXb)，(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，用XN(，2)表示(3)正態(tài)分布的性質(zhì)：曲線位于_軸的上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，關(guān)于_對(duì)稱；曲線在X時(shí)達(dá)到峰值_；當(dāng)一定時(shí)，曲線的形狀由確定越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越_；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越_；曲線與x軸之間的面積為_基礎(chǔ)自測(cè)1已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3，2)，則P(3)()A B C D2某市進(jìn)行一次高三教學(xué)質(zhì)量抽樣檢測(cè)，考試后統(tǒng)計(jì)的所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布已知數(shù)學(xué)成績(jī)平均分為90分，60分以下的人數(shù)占10%，則數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?0分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為()A10% B20% C30% D40%3隨機(jī)變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，若EX，則DX的值是_4某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p0.6.(1)求一次投籃時(shí)命中次數(shù)的均值；(2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)的均值思維拓展1離散型隨機(jī)變量的均值與分布列有什么區(qū)別？提示：雖然離散型隨機(jī)變量的分布列和均值都是從整體上刻畫隨機(jī)變量的，但二者有所不同分布列只給了隨機(jī)變量取所有可能值的概率，而均值卻反映了隨機(jī)變量取值的平均水平2樣本的方差與隨機(jī)變量的方差有何不同？提示：樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個(gè)隨機(jī)變量；而隨機(jī)變量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度，因此它是一個(gè)常量而非變量3方差、標(biāo)準(zhǔn)差的單位與隨機(jī)變量的單位有什么關(guān)系？提示：方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方；標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位4參數(shù)，在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么？提示：參數(shù)是反映隨機(jī)變量取值的平均水平的特征數(shù)，可以用樣本的均值去估計(jì)；是衡量隨機(jī)變量總體波動(dòng)大小的特征數(shù)，可以用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)一、離散型隨機(jī)變量的均值【例11】已知隨機(jī)變量X的分布列為：X21012Pm(1)求EX；(2)若Y2X3，求EY.【例12】在10件產(chǎn)品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品從這10件產(chǎn)品中任取3件，求取出的3件產(chǎn)品中一等品件數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望方法提煉1求數(shù)學(xué)期望(均值)的關(guān)鍵是求出其分布列若已知離散型分布列，可直接套用公式EXx1p1x2p2xnpn求其均值隨機(jī)變量的均值是一個(gè)常數(shù)，它不依賴于樣本的抽取，只要找準(zhǔn)隨機(jī)變量及相應(yīng)的概率即可計(jì)算2若X是隨機(jī)變量，且YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量且EYaEXb.請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練2二、離散型隨機(jī)變量的方差【例21】袋中有20個(gè)大小相同的球，其中標(biāo)號(hào)為0號(hào)的有10個(gè)，標(biāo)號(hào)為n號(hào)的有n個(gè)(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號(hào)(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若aXb，E1，D11，試求a，b的值【例22】有甲、乙兩種品牌的手表，它們?nèi)兆邥r(shí)誤差分別為X，Y(單位：s)，其分布列如下：X101P0.10.80.1Y21012P0.10.20.40.20.1試比較這兩種品牌手表的質(zhì)量方法提煉均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平如果兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值周圍的變化，方差大，說明隨機(jī)變量取值較分散；方差小，說明取值較集中請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練3三、二項(xiàng)分布的均值與方差【例31】某人投彈命中目標(biāo)的概率p0.8.(1)求投彈一次，命中次數(shù)X的均值和方差；(2)求重復(fù)10次投彈時(shí)命中次數(shù)Y的均值和方差【例32】為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物某人一次種植了n株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望E3，標(biāo)準(zhǔn)差為.(1)求n，p的值并寫出的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種沙柳的概率方法提煉1若X服從兩點(diǎn)分布，則EXp，DXp(1p)；2若XB(n，p)，則EXnp，DXnp(1p)請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練4四、正態(tài)分布及其應(yīng)用【例41】已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，P(4)0.84，則P(0)()A0.16 B0.32 C0.68 D0.84【例42】已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)i(x)(xR，i1,2,3)的圖像如圖所示，則()A123，123 B123，123C123，123 D123，123方法提煉1若連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，即N(，2)，則E，D2，這兒，的意義是期望和標(biāo)準(zhǔn)差在正態(tài)分布曲線中確定曲線的位置，而確定曲線的形狀如果給出兩條正態(tài)分布曲線，我們可以根據(jù)正態(tài)分布曲線的位置和形狀判別相應(yīng)的和的大小關(guān)系2正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，從而在關(guān)于x對(duì)稱的區(qū)間上概率相等正態(tài)曲線與x軸之間面積為1.請(qǐng)做針對(duì)訓(xùn)練1考情分析離散型隨機(jī)變量的分布列、期望與方差是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容之一，題型以解答題為主，有時(shí)也以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度適中確定離散型隨機(jī)變量的取值，找準(zhǔn)其適用的概率模型，求出隨機(jī)變量的分布列是正確求得其期望與方差的關(guān)鍵對(duì)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)考查最多的是其對(duì)稱性，即正態(tài)分布曲線關(guān)于x對(duì)稱，也可以推廣到P(0)P(0)針對(duì)訓(xùn)練1設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函數(shù)圖像如圖所示，則有()A12，12 B12，12C12，12 D12，122(xx上海高考，理9)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：x123P(x)？！？請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案E_.3袋中有同樣的5個(gè)球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，現(xiàn)從中隨機(jī)且不放回地摸球，每次摸1個(gè)，當(dāng)兩種顏色的球都被摸到時(shí)，即停止摸球，記隨機(jī)變量為此時(shí)已摸球的次數(shù)，求：(1)隨機(jī)變量的概率分布；(2)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差4在一次數(shù)學(xué)考試中，第21題和第22題為選做題規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題設(shè)4名考生選做每一道題的概率均為.(1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名考生中選做第22題的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn數(shù)學(xué)期望平均水平(2)平均偏離程度標(biāo)準(zhǔn)差2(1)aEXb(2)a2DX3pp(1p)npnp(1p)n4(3)xx集中分散1基礎(chǔ)自測(cè)1D解析：服從正態(tài)分布N(3，2)，曲線關(guān)于x3對(duì)稱，P(3).2D解析：由題意可知，120分以上的人數(shù)也占10%，故90分至120分之間的考生人數(shù)所占百分比約為40%.3解析：a，b，c成等差數(shù)列，2bac，又abc1，EX1a1cca.所以a，b，c，DX.4解：(1)投籃一次，命中次數(shù)的分布列為01P0.40.6則Ep0.6.(2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即B(5,0.6)則Enp50.63.考點(diǎn)探究突破【例11】解：(1)由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得m1，解得m，EX(2)(1)012.(2)方法一：由公式E(aXb)aEXb，得EYE(2X3)2EX323.方法二：由于Y2X3，所以Y的分布列如下：Y75311PEY(7)(5)(3)(1)1.【例12】解：從10件產(chǎn)品中任取3件共有C種結(jié)果從10件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有k件一等品的結(jié)果數(shù)為，其中k0,1,2,3.P(Xk)，k0,1,2,3.隨機(jī)變量X的分布列是X0123PEX0123.【例21】解：(1)X的分布列是X01234PEX012341.5，DX(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.(2)由Da2DX，得a22.7511，即a2.又EaEXb，當(dāng)a2時(shí)，由121.5b，得b2；當(dāng)a2時(shí)，由121.5b，得b4.或【例22】解：EX10.100.810.10(s)，EY20.110.200.410.220.10(s)，則EXEY，所以由期望值難以判斷質(zhì)量的好壞又因?yàn)镈X(10)20.1(00)20.8(10)20.10.2(s2)，DY(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20.11.2(s2)所以DXDY，可見乙的波動(dòng)性大，甲的穩(wěn)定性好，故甲的質(zhì)量高于乙【例31】解：(1)隨機(jī)變量X的分布列為X01P0.20.8因?yàn)閄服從兩點(diǎn)分布，故EXp0.8，DXp(1p)0.80.20.16.(2)由題意知，命中次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布，即YB(10,0.8)，所以EYnp100.88，DY100.80.21.6.【例32】解：(1)由E()np3，D()np(1p)，得1p，從而n6，p.的分布列為0123456P(2)記“需要補(bǔ)種沙柳”為事件A，則P(A)P(3)，得P(A)，或P(A)1P(3)1.【例41】A解析：由正態(tài)分布的特征得P(0)1P(4)10.840.16.【例42】D解析：是曲線的對(duì)稱軸越小，曲線越瘦高；越大，曲線越矮胖演練鞏固提升1A解析：正態(tài)分布曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，它是在x處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線越“矮胖”；反過來，越小，曲線越“瘦高”22解析：設(shè)P(1)P(3)a，P(2)b，則2ab1.于是，E()a2b3a2(2ab)2.3解：(1)隨機(jī)變量可取的值為2,3,4，P(2)；P(3)；P(4)，所以隨機(jī)變量的概率分布列為x234P(x)(2)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E234；隨機(jī)變量的方差D(22.5)2(32.5)2(42.5)2.4解：(1)設(shè)事件A表示“甲選做第21題”，事件B表示“乙選做第21題”，則甲、乙2名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB”，且事件A、B相互獨(dú)立P(AB)P(A)P(B)P()P().(2)隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3,4，且B.P(k)(k0,1,2,3,4)變量的分布列為01234PE012342.