2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 單元檢測（A）蘇教版選修2-1.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 單元檢測（A）蘇教版選修2-1 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，使a⊥b成立的x與使a∥b成立的x分別為________． 2．設(shè)a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，且a∥b，則xz的值為________． 3．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z＝______. 4．若向量(1,0，z)與向量(2,1,2)的夾角的余弦值為，則z＝________. 5．已知a、b、c是不共面的三個向量，則下列選項中能構(gòu)成空間一個基底的一組向量是________．(填序號) ①2a，a－b，a＋2b； ②2b，b－a，b＋2a； ③a,2b，b－c； ④c，a＋c，a－c. 6．設(shè)點C(2a＋1，a＋1,2)在點P(2,0,0)、A(1，－3,2)、B(8，－1，4)確定的平面上，則a＝________. 7．設(shè)直線a，b的方向向量是e1，e2，平面α的法向量是n，則下列命題中錯誤的是________．(寫出所有錯誤命題的序號) ①b∥α；　?、赼∥b； ③b∥α；　?、躡⊥α. 8．如圖所示， 已知正四面體ABCD中，AE＝AB，CF＝CD，則直線DE和BF所成角的余弦值為________． 9．二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面角的大小為________． 10．若兩個不同平面α，β的法向量分別為u＝(1,2，－1)，v＝(－3，－6,3)，則α與β的關(guān)系為________． 11．在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是棱長為1的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，點D在棱BB1上，且BD＝1，若AD與平面AA1C1C所成的角為α，則sinα的值是________． 12．如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么這條斜線與平面所成的角是________． 13．已知力F1＝(1,2,3)，F(xiàn)2＝(－2,3，－1)，F(xiàn)3＝(3，－4,5)，若F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3共同作用于同一物體上，使物體從M1(0，－2，1)移到M2(3,1,2)，則合力作的功為________． 14．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a∥b，則x＝______，y＝______. 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15．(14分)如圖，四棱錐P－ABCD中，底 面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是棱PB的中點．證明：AE⊥平面PBC. 16．(14分)在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE＝AB＝2，CD＝1，若F是AE的中點．求證：DF∥平面ABC. 17．(14分) 如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45，∠OAB＝60，求OA與BC所成角的余弦值． 18.(16分) 如圖所示，已知點P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對角線BD′上，∠PDA＝60. (1)求DP與CC′所成角的大??； (2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小． 19．(16分)在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面所成的角為30. (1)若AE⊥PD，垂足為E，求證：BE⊥PD； (2)求異面直線AE與CD所成角的余弦值． 20.(16分) 如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求證：CF⊥平面BDE； (2)求二面角A－BE－D的大小． 第3章　空間向量與立體幾何(A) 1.，－6 解析　若a⊥b，則－8－2＋3x＝0，x＝； 若a∥b，則2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x，x＝－6. 2．9 解析　∵a＝(x,4,3)，b＝(3,2，z)，且a∥b， ∴存在實數(shù)λ使得a＝λb， ∴　解得∴xz＝9. 3．－9 解析　∵l⊥α，∴u⊥v，∴(1，－3，z)(3，－2,1)＝0，即3＋6＋z＝0，∴z＝－9. 4．2或 解析　由題知 ＝＝， 即2z2－5z＋2＝0，得z＝2或. 5．③ 解析　∵a，b不共線，由共線向量定理知由a，b表示出的向量與a，b共面，即①、②中的向量因共面不能構(gòu)成空間一個基底，同理④中的三向量也不能構(gòu)成空間一個基底． 6．16 解析?。?－1，－3,2)，＝(6，－1,4)． 根據(jù)共面向量定理，設(shè)＝x＋y(x、y∈R)， 則(2a－1，a＋1,2)＝x(－1，－3,2)＋y(6，－1,4)＝(－x＋6y，－3x－y,2x＋4y)， ∴　解得x＝－7，y＝4，a＝16. 7．① 8. 解析　因四面體ABCD是正四面體，頂點A在底面BCD內(nèi)的射影為△BCD的垂心，所以有BC⊥DA，AB⊥CD.設(shè)正四面體的棱長為4，則＝(＋)(＋)＝0＋＋＋0＝41cos120＋14cos120＝－4，BF＝DE＝＝，所以異面直線DE與BF的夾角θ的余弦值為： cosθ＝＝. 9．60 解析　由條件，知＝0，＝0，＝＋＋. ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2 ＝62＋42＋82＋268cos〈，〉＝(2)2， ∴cos〈，〉＝－，即〈，〉＝120，所以二面角的大小為60. 10．α∥β 解析　∵v＝－3u，∴v∥u.故α∥β. 11. 解析　 如圖所示，建立坐標(biāo)系，易求點D， 平面AA1C1C的一個法向量是 n＝(1,0,0)， 所以cos〈n，〉＝＝， 即sinα＝. 12．60 解析　∵cosθ＝＝，∴θ＝60. 13．16 解析　合力F＝F1＋F2＋F3＝(2,1,7)，F(xiàn)對物體作的功 即為W＝F＝(2,1,7)(3,3,1)＝23＋13＋71＝16. 14.　－ 解析　∵a∥b，∴＝＝， ∴x＝，y＝－. 15．證明　如圖所示，以A為坐標(biāo)原點，射線AB、AD、AP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz. 設(shè)D(0，a,0)， 則B(，0,0)，C(，a,0)， P(0,0，)，E(，0，)． 于是＝(，0，)，＝(0，a,0)，＝(，a，－)， 則＝0，＝0. 所以⊥，⊥， 即AE⊥BC，AE⊥PC. 又因為BC∩PC＝C， 所以AE⊥平面PBC. 16．證明　如圖所示，以點B為原點，BA、BC、BE所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)． 由中點坐標(biāo)公式知F(1,0,1)． ∴＝(1，－2,0)，＝(0,0,2)． ∵BE⊥平面ABC， ∴是平面ABC的一個法向量． ∵＝(1，－2,0)(0,0,2)＝0， ∴⊥. 又∵DFD平面ABC，∴DF∥平面ABC. 17．解　因為＝－， 所以＝－ ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉 ＝84cos 135－86cos 120 ＝－16＋24. 所以cos〈，〉＝ ＝＝. 即OA與BC所成角的余弦值為. 18．解　如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz. (1)＝(1,0,0)，＝(0,0,1)． 連結(jié)BD，B′D′. 在平面BB′D′D中， 延長DP交B′D′于H. 設(shè)＝(m，m,1) (m>0)，由已知〈，〉＝60， 由 ＝||||cos〈，〉， 可得2m＝. 解得m＝，所以＝. 因為cos〈，〉 ＝＝， 所以〈，〉＝45，即DP與CC′所成的角為45. (2)平面AA′D′D的一個法向量是＝(0,1,0)． 因為cos〈，〉＝＝， 所以〈，〉＝60， 可得DP與平面AA′D′D所成的角為30. 19．(1)證明　以A為坐標(biāo)原點， 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz， 由題意知A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)． ∵PD在底面的射影是DA， 且PD與底面所成的角為30， ∴∠PDA＝30，∴P，∵AE⊥PD， ∴||＝||＝a，E， ∴＝，＝， ∴＝0(－a)＋2a＋＝0， ∴⊥，即BE⊥PD. (2)解　由(1)知＝， ＝(－a，a,0)， ∴＝，又||＝a，||＝a， ∴cos〈，〉＝＝， ∴異面直線AE與CD所成角的余弦值為. 20．(1)證明　因為正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，且CE⊥AC，所以CE⊥平面ABCD. 如圖，以C為原點，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz. 則C(0,0,0)，A(，，0)， B(0，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(，，1)． 所以＝(，，1)，＝(0，－，1)，＝(－，0,1)． 所以＝0－1＋1＝0， ＝－1＋0＋1＝0. 所以⊥，⊥，即CF⊥BE，CF⊥DE. 又BE∩DE＝E，所以CF⊥平面BDE. (2)解　由(2)知，＝(，，1)是平面BDE的一個法向量． 設(shè)平面ABE的法向量n＝(x，y，z)， 則n＝0，n＝0， 即 所以x＝0，且z＝y(tǒng). 令y＝1，則z＝，所以n＝(0,1，)． 從而cos〈n，〉＝＝. 因為二面角A－BE－D為銳角， 所以二面角A－BE－D的大小為.