2019-2020年高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽 平面幾何教案講義(16).doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽 平面幾何教案講義(16).doc
2019-2020年高考數(shù)學(xué)競(jìng)賽 平面幾何教案講義(16)一、常用定理(僅給出定理,證明請(qǐng)讀者完成)梅涅勞斯定理 設(shè)分別是ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn),若三點(diǎn)共線,則梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上,若則三點(diǎn)共線。塞瓦定理 設(shè)分別是ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn),若三線平行或共點(diǎn),則塞瓦定理的逆定理 設(shè)分別是ABC的三邊BC,CA,AB或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn),若則三線共點(diǎn)或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分別是ABC的三邊BC,CA,AB所在直線上的點(diǎn),則平行或共點(diǎn)的充要條件是廣義托勒密定理 設(shè)ABCD為任意凸四邊形,則ABCD+BCADACBD,當(dāng)且僅當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)。斯特瓦特定理 設(shè)P為ABC的邊BC上任意一點(diǎn),P不同于B,C,則有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線,則三垂足共線。西姆松定理的逆定理 若一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,則該點(diǎn)在三角形的外接圓上。九點(diǎn)圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線段的中點(diǎn),這九點(diǎn)共圓。蒙日定理 三條根軸交于一點(diǎn)或互相平行。(到兩圓的冪(即切線長(zhǎng))相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線,這條直線稱根軸)歐拉定理 ABC的外心O,垂心H,重心G三點(diǎn)共線,且二、方法與例題1同一法。即不直接去證明,而是作出滿足條件的圖形或點(diǎn),然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合。例1 在ABC中,ABC=700,ACB=300,P,Q為ABC內(nèi)部?jī)牲c(diǎn),QBC=QCB=100,PBQ=PCB=200,求證:A,P,Q三點(diǎn)共線。2面積法。例2 ABCD中,E,F(xiàn)分別是CD,BC上的點(diǎn),且BE=DF,BE交DF于P,求證:AP為BPD的平分線。3幾何變換。例3 (蝴蝶定理)AB是O的一條弦,M為AB中點(diǎn),CD,EF為過M的任意弦,CF,DE分別交AB于P,Q。求證:PM=MQ。例4 平面上每一點(diǎn)都以紅、藍(lán)兩色之一染色,證明:存在這樣的兩個(gè)相似三角形,它們的相似比為1995,而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色。4三角法。例5 設(shè)AD,BE與CF為ABC的內(nèi)角平分線,D,E,F(xiàn)在ABC的邊上,如果EDF=900,求BAC的所有可能的值。5向量法。例6 設(shè)P是ABC所在平面上的一點(diǎn),G是ABC的重心,求證:PA+PB+PC>3PG.6解析法。例7 H是ABC的垂心,P是任意一點(diǎn),HLPA,交PA于L,交BC于X,HMPB,交PB于M,交CA于Y,HNPC交PC于N,交AB于Z,求證:X,Y,Z三點(diǎn)共線。7四點(diǎn)共圓。例8 直線l與O相離,P為l上任意一點(diǎn),PA,PB為圓的兩條切線,A,B為切點(diǎn),求證:直線AB過定點(diǎn)。三、習(xí)題精選1O1和O2分別是ABC的邊AB,AC上的旁切圓,O1與CB,CA的延長(zhǎng)線切于E,G,O2與BC,BA的延長(zhǎng)線切于F,H,直線EG與FH交于點(diǎn)P,求證:PABC。2設(shè)O的外切四邊形ABCD的對(duì)角線AC,BD的中點(diǎn)分別為E,F(xiàn),求證:E,O,F(xiàn)三點(diǎn)共線。3已知兩小圓O1與O2相外切且都與大圓O相內(nèi)切,AB是O1與O2的一條外公切線,A,B在O上,CD是O1與O2的內(nèi)公切線,O1與O2相切于點(diǎn)P,且P,C在直線AB的同一側(cè),求證:P是ABC的內(nèi)心。4ABC內(nèi)有兩點(diǎn)M,N,使得MAB=NAC且MBA=NBC,求證:5ABC中,O為外心,三條高AD,BE,CF相交于點(diǎn)H,直線ED和AB相交于點(diǎn)M,直線FD和AC相交于點(diǎn)N,求證:(1)OBDF,OCDE;(2)OHMN。6設(shè)點(diǎn)I,H分別是銳角ABC的內(nèi)心和垂心,點(diǎn)B1,C1分別是邊AC,AB的中點(diǎn),已知射線B1I交邊AB于點(diǎn)B2(B2B),射線C1I交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C2,B2C2與BC相交于點(diǎn)K,A1為BHC的外心。試證:A,I,A1三點(diǎn)共線的充要條件是BKB2和CKC2的面積相等。7已知點(diǎn)A1,B1,C1,點(diǎn)A2,B2,C2,分別在直線l1,l2上 ,B2C1交B1C2于點(diǎn)M,C1A2交A1C2于點(diǎn)N,B1A2交B2A1于L。求證:M,N,L三點(diǎn)共線。8ABC中,C=900,A=300,BC=1,求ABC的內(nèi)接三角形(三個(gè)頂點(diǎn)分別在三條邊上的三角形)的最長(zhǎng)邊的最小值。9ABC的垂心為H,外心為O,外接圓半徑為R,頂點(diǎn)A,B,C關(guān)于對(duì)邊BC,CA,AB的對(duì)稱點(diǎn)分別為,求證:三點(diǎn)共線的充要條件是OH=2R。