2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 三角函數(shù)教案 舊人教版.doc

2019-2020 年高考數(shù)學(xué)回歸課本 三角函數(shù)教案 舊人教版 一、基礎(chǔ)知識 定義 1 角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向， 則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任 意的。 定義 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所 對的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長為 L，則其弧度數(shù)的絕對值 |=,其中 r 是圓的半徑。 定義 3 三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點放在原點，始邊與 x 軸的正半軸重 合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點 P，設(shè)它的坐標(biāo)為（ x,y） ，到原點的距離為 r,則 正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù) cos=,正切函數(shù) tan=，余切函數(shù) cot=，正割函數(shù) sec=,余 割函數(shù) csc= 定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，倒數(shù)關(guān)系： tan=,s in=， cos=；商數(shù)關(guān)系： tan=；乘積關(guān)系： tan cos=s in, cots in= cos；平方關(guān)系： sin2+ cos2=1, tan2+1=se c2, cot2+1= csc2. 定理 2 誘導(dǎo)公式（）s in(+)=-s in, cos(+)=- cos, tan(+)= tan, cot(+)= cot;（）s in(-)=-s in, cos(-)= cos, tan(-)=- tan, cot(- )= cot; （）s in(-)=s in, cos(-)=- cos, tan=(-)=- tan, cot(-)=- cot; （）s in=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號看象 限） 。 定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx（ xR）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間 上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，最小正周期為 2. 奇偶數(shù). 有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+時， y 取最大值 1，當(dāng)且僅當(dāng) x=3k-時, y 取最小值-1。對稱性：直線 x=k+均為其對稱軸，點 （ k, 0）均為其對稱中心，值域為-1，1。這里 k Z. 定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2 k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間2 k-, 2 k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性： 偶函數(shù)。對稱性：直線 x=k 均為其對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2k 時， y 取最大值 1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2k- 時， y 取最小值-1。值域為-1，1。這里 k Z. 定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xk+)在開區(qū)間( k-, k+)上為增函 數(shù), 最小正周期為 ，值域為（-，+） ，點（ k，0） ， （ k+，0）均為其對稱中心。 定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式： cos()= cos coss ins in,s in() =sin cos coss in; tan()= 定理 7 和差化積與積化和差公式: sin+s in=2s incos,sin-s in=2s incos, cos+ cos=2 coscos, cos- cos=-2s insin, sin cos=s in(+)+s in(-), coss in=s in(+)-s in(-), cos cos= cos(+)+ cos(-),s ins in=- cos(+)- cos(-). 定理 8 倍角公式:s in2=2s in cos, cos2= cos2-s in2=2 cos2-1=1-2s in2, tan2= 定理 9 半角公式:s in=,cos=, tan= 定理 10 萬能公式: 2tan1si, 2tan1cos2 , .2tan1t 定理 11 輔助角公式：如果 a, b 是實數(shù)且 a2+b20，則取始邊在 x 軸正半軸，終邊經(jīng)過點 (a, b)的一個角為 ，則 sin=, cos=，對任意的角 . asin+ bcos=s in(+). 定理 12 正弦定理：在任意 ABC 中有 RCcBA2sinisin，其中 a, b, c 分別 是角 A， B， C 的對邊，R 為 ABC 外接圓半徑。 定理 13 余弦定理：在任意 ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分別是角 A， B， C 的 對邊。 定理 14 圖象之間的關(guān)系： y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得 y=sinx+k 的圖象；經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象（相位變換） ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得?y=sin()的圖象 （周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ； y=Asin(x+)(>0)的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ； y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單位得到 y=Asinx 的圖象。 定義 4 函數(shù) y=sinx 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x-1, 1)，函數(shù) y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù) y=tanx 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數(shù) 稱為反余切函數(shù)，記作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集，如果 a(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是 x|x=n+(-1) narcsina, n Z。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, k Z. 如果 aR，方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+ arctana, k Z。恒等式： arcsina+arccosa=； arctana+arccota=. 定理 16 若，則 sinx<x-1，所以 cos， 所以 sin(cosx) 0,又 00， 所以 cos(sinx)>sin(cosx). 若，則因為 sinx+cosx= 2cosin2x(sinxcos+sincosx)=sin(x+) <， 所以 0<sinx<-cosxcos(-cosx)=sin(cosx). 綜上，當(dāng) x(0,)時，總有 cos(sinx)0，求證： .2sincosixx 【證明】 若 +>，則 x>0，由 >->0 得 cos< cos(-)=s in, 所以 0<s in(-)= cos, 所以 0<<1， 所以 .2sincosisincosi 00 xx 若 +<，則 x<0，由 0<<- cos(-)=s in>0, 所以>1。又 0<sin1， 所以 2sincosisincosi 00x ，得證。 注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。 3最小正周期的確定。 例 4 求函數(shù) y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先， T=2 是函數(shù)的周期（事實上，因為 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx） ； 其次，當(dāng)且僅當(dāng) x=k+時， y=0（因為|2 cosx|2<）, 所以若最小正周期為 T0，則 T0=m, m N+，又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以 T0=2。 4三角最值問題。 例 5 已知函數(shù) y=sinx+，求函數(shù)的最大值與最小值。 【解法一】 令 sinx= 430sin2co1,s2x, 則有 y= ).4in(ico2 因為，所以， 所以1， 所以當(dāng)，即 x=2k-( k Z)時， ymin=0， 當(dāng)，即 x=2k+( k Z)時， ymax=2. 【解法二】 因為 y=sinx+ )cos1(sin2cos12xx, =2（因為( a+b)22( a2+b2)） ， 且|s inx|1，所以 0s inx+2， 所以當(dāng)=s inx，即 x=2k+( k Z)時, ymax=2， 當(dāng)=-s inx，即 x=2k-( k Z)時, ymin=0。 例 6 設(shè) 0<<，求 sin 的最大值。 【解】因為 0<0, cos>0. 所以 sin（1+ cos）=2s incos2= 2cosin22 3223coin = 當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan 時，s in(1+cos)取得最大值。 例 7 若 A， B， C 為 ABC 三個內(nèi)角，試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因為 sinA+sinB=2sincos, sinC+sin 23sin23cosin23C, 又因為 3sin24cos43sin23sin2si CBACBACBA ， 由，得 sinA+sinB+sinC+sin4s in, 所以 sinA+sinB+sinC3s in=, 當(dāng) A=B=C=時， （s inA+sinB+sinC） max=. 注：三角函數(shù)的有界性、|s inx|1、| cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。 5換元法的使用。 例 8 求的值域。 【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2cosin2xx 因為 所以 又因為 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=，所以 21 2ty ， 所以 因為 t-1，所以，所以 y-1. 所以函數(shù)值域為 .,1, 例 9 已知 a0=1, an=(n N+)，求證： an>. 【證明】 由題設(shè) an>0，令 an=tanan, an，則 an= .tan2tsico1tsect11 112 nnn 因為， an，所以 an=，所以 an= 又因為 a0=tana1=1，所以 a0=，所以。 又因為當(dāng) 0<xx，所以 注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。 另外當(dāng) x時，有 tanx>x>sinx，這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學(xué)完導(dǎo)數(shù)后，證明是很 容易的。 6圖象變換： y=sinx(xR)與 y=Asin(x+)(A, , >0). 由 y=sinx 的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，然后再 保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得?y=Asin(x+)的圖象；也可以由 y=sinx 的圖象 先保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模?后向左平移個單位，得到 y=Asin(x+)的圖象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(>0, 0)是 R 上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點對稱，且 在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。 【解】 由 f(x)是偶函數(shù)，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin(+)=sin(-x+)，所以 cossinx=0，對 任意 xR 成立。 又 0，解得=， 因為 f(x)圖象關(guān)于對稱，所以=0。 取 x=0，得=0，所以 sin 所以( kZ)，即=(2 k+1) (kZ). 又>0，取 k=0 時，此時 f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)； 取 k=1 時，=2，此時 f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數(shù)； 取 k=2 時，此時 f(x)=sin(x+)在0，上不是單調(diào)函數(shù)， 綜上，=或 2。 7三角公式的應(yīng)用。 例 11 已知 sin(-)=， sin(+)=- ，且 -，+，求 sin2, cos2 的 值。 【解】 因為 -，所以 cos(-)=- 又因為 +，所以 cos(+)= 所以 sin2= sin(+)+(-)= sin(+) cos(-)+ cos(+) sin(-)=, cos2= cos(+)-(-)= cos(+) cos(-)+ sin(+) sin(-)=-1. 例 12 已知 ABC 的三個內(nèi)角 A， B， C 成等差數(shù)列，且，試求的值。 【解】 因為 A=1200-C，所以 cos=cos(600-C)， 又由于 )120cos(cos112cos(cos10 C = )2(6)206(00 ， 所以 32coscos4CA=0。 解得或。 又>0，所以。 例 13 求證： tan20+4cos70. 【解】 tan20+4cos70=+4sin20 20cos4ini20cosin4si s13i.20cos6in20cos4i8in 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1已知銳角 x 的終邊上一點 A 的坐標(biāo)為(2 sin3, -2cos3)，則 x 的弧度數(shù)為_。 2適合 xcos1cs-2cscx 的角的集合為_。 3給出下列命題：（1）若 ，則 sin sin；（2）若 sin sin,則 ；（3）若 sin>0，則 為第一或第二象限角；（4）若 為第一或第二象限角，則 sin>0. 上 述四個命題中，正確的命題有_個。 4已知 sinx+cosx=(x(0, )，則 cotx=_。 5簡諧振動 x1=Asin 和 x2=Bsin 疊加后得到的合振動是 x=_。 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則 1， 2， 3， 4分別是第 _象限角。 7滿足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角 x 共有_個。 8已知，則=_。 9 40cos1sintan3540co=_。 10 cot15cos25cot35cot85=_。 11已知 ,(0, ), tan, sin(+)=，求 cos 的值。 12已知函數(shù) f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減，試求實數(shù) m 的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1已知一扇形中心角是 a,所在圓半徑為 R，若其周長為定值 c(c>0)，當(dāng)扇形面積最大時， a=_. 2. 函數(shù) f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_. 3. 函數(shù)的值域為_. 4. 方程=0 的實根個數(shù)為_. 5. 若 sina+cosa=tana, a， 則_ a（填大小關(guān)系）. 6. (1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_. 7. 若 0<y x0, k=-1，求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；（3）試求最小正整數(shù) k，使得當(dāng) x 在任意兩個整數(shù)（包括整數(shù) 本身）間變化時，函數(shù) f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題（一） 1若 x, yR，則 z=cosx2+cosy2-cosxy 的取值范圍是_. 2已知圓 x2+y2=k2至少蓋住函數(shù) f(x)=的一個最大值點與一個最小值點，則實數(shù) k 的取值 范圍是_. 3 f()=5+8cos+4cos2+cos3 的最小值為_. 4方程 sinx+cosx+a=0 在（0，2）內(nèi)有相異兩實根 ，則 +=_. 5函數(shù) f(x)=|tanx|+|cotx|的單調(diào)遞增區(qū)間是_. 6設(shè) sina>0>cosa, 且 sin>cos，則的取值范圍是_. 7方程 tan5x+tan3x=0 在0，中有_個解. 8若 x, yR, 則 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_. 9若 0<0)在一個最小正周期長的區(qū)間上的 圖象與函數(shù) g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_. 2若，則 y=tan-tan+cos 的最大值是_. 3在 ABC 中，記 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0，則=_. 4設(shè) f(x)=x2- x, = arcsin, = arctan, = arccos, = arccot, 將 f(), f(), f(), f()從小到大排列為_. 5 logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將 a, b, c, d 從小到大 排列為_. 6在銳角 ABC 中， cosA=cos sin, cosB=cos sin, cosC=cos sin，則 tan tan tan=_. 7已知矩形的兩邊長分別為 tan 和 1+cos(0<0 恒成立，則的取值范圍是 _. 10已知 sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則 cos2x+ cos2y+ cos2z=_. 11已知 a1, a2, ,an是 n 個實常數(shù)，考慮關(guān)于 x 的函數(shù)： f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +cos(an+x)。求證：若實數(shù) x1, x2滿足 f(x1)=f(x2)=0，則存在整數(shù) m，使得 x2-x1=m. 12在 ABC 中，已知 3coscosiiCBA，求證：此三角形中有一個內(nèi)角為。 13求證：對任意自然數(shù) n, 均有| sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|>. 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1已知 x>0, y>0, 且 x+y0（wR）. 2. 已知 a 為銳角， n2, nN +，求證：2 n-2+1. 3. 設(shè) x1, x2, xn, y1, y2, yn,滿足 x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證： 2<xnyn<3(n2). 4已知 ， 為銳角，且 cos2+ cos2+ cos2=1，求證；<+m，求證：對一切 x 都有 2|sinnx-cosnx|3| sinnx-cosnx|. 7在 ABC 中，求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8求的有的實數(shù) a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一項均為負數(shù)。 9已知 i， tan1tan2tann=2, nN +, 若對任意一組滿足上述條件的 1， 2， n都有 cos1+cos2+cosn，求 的最小值。