2019-2020年高考數(shù)學(xué)回歸課本 三角函數(shù)教案 舊人教版.doc
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2019-2020 年高考數(shù)學(xué)回歸課本 三角函數(shù)教案 舊人教版 一、基礎(chǔ)知識(shí) 定義 1 角,一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向, 則角為正角,若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r(shí)針方向,則角為負(fù)角,若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任 意的。 定義 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等價(jià)為一度,弧度制:把等于半徑長的圓弧所 對(duì)的圓心角叫做一弧度。360 度=2 弧度。若圓心角的弧長為 L,則其弧度數(shù)的絕對(duì)值 |=,其中 r 是圓的半徑。 定義 3 三角函數(shù),在直角坐標(biāo)平面內(nèi),把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn),始邊與 x 軸的正半軸重 合,在角的終邊上任意取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn) P,設(shè)它的坐標(biāo)為( x,y) ,到原點(diǎn)的距離為 r,則 正弦函數(shù) sin=,余弦函數(shù) cos=,正切函數(shù) tan=,余切函數(shù) cot=,正割函數(shù) sec=,余 割函數(shù) csc= 定理 1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,倒數(shù)關(guān)系: tan=,s in=, cos=;商數(shù)關(guān)系: tan=;乘積關(guān)系: tan cos=s in, cots in= cos;平方關(guān)系: sin2+ cos2=1, tan2+1=se c2, cot2+1= csc2. 定理 2 誘導(dǎo)公式()s in(+)=-s in, cos(+)=- cos, tan(+)= tan, cot(+)= cot;()s in(-)=-s in, cos(-)= cos, tan(-)=- tan, cot(- )= cot; ()s in(-)=s in, cos(-)=- cos, tan=(-)=- tan, cot(-)=- cot; ()s in=cos, cos=sin, tan=cot(奇變偶不變,符號(hào)看象 限) 。 定理 3 正弦函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)圖象可得 y=sinx( xR)的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間:在區(qū)間 上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),最小正周期為 2. 奇偶數(shù). 有界性:當(dāng)且僅當(dāng) x=2kx+時(shí), y 取最大值 1,當(dāng)且僅當(dāng) x=3k-時(shí), y 取最小值-1。對(duì)稱性:直線 x=k+均為其對(duì)稱軸,點(diǎn) ( k, 0)均為其對(duì)稱中心,值域?yàn)?1,1。這里 k Z. 定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)圖象可得 y=cosx(xR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間:在區(qū)間2 k, 2k+上單調(diào)遞減,在區(qū)間2 k-, 2 k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性: 偶函數(shù)。對(duì)稱性:直線 x=k 均為其對(duì)稱軸,點(diǎn)均為其對(duì)稱中心。有界性:當(dāng)且僅當(dāng) x=2k 時(shí), y 取最大值 1;當(dāng)且僅當(dāng) x=2k- 時(shí), y 取最小值-1。值域?yàn)?1,1。這里 k Z. 定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì):由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xk+)在開區(qū)間( k-, k+)上為增函 數(shù), 最小正周期為 ,值域?yàn)椋?,+) ,點(diǎn)( k,0) , ( k+,0)均為其對(duì)稱中心。 定理 6 兩角和與差的基本關(guān)系式: cos()= cos coss ins in,s in() =sin cos coss in; tan()= 定理 7 和差化積與積化和差公式: sin+s in=2s incos,sin-s in=2s incos, cos+ cos=2 coscos, cos- cos=-2s insin, sin cos=s in(+)+s in(-), coss in=s in(+)-s in(-), cos cos= cos(+)+ cos(-),s ins in=- cos(+)- cos(-). 定理 8 倍角公式:s in2=2s in cos, cos2= cos2-s in2=2 cos2-1=1-2s in2, tan2= 定理 9 半角公式:s in=,cos=, tan= 定理 10 萬能公式: 2tan1si, 2tan1cos2 , .2tan1t 定理 11 輔助角公式:如果 a, b 是實(shí)數(shù)且 a2+b20,則取始邊在 x 軸正半軸,終邊經(jīng)過點(diǎn) (a, b)的一個(gè)角為 ,則 sin=, cos=,對(duì)任意的角 . asin+ bcos=s in(+). 定理 12 正弦定理:在任意 ABC 中有 RCcBA2sinisin,其中 a, b, c 分別 是角 A, B, C 的對(duì)邊,R 為 ABC 外接圓半徑。 定理 13 余弦定理:在任意 ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分別是角 A, B, C 的 對(duì)邊。 定理 14 圖象之間的關(guān)系: y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得 y=sinx+k 的圖象;經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象(相位變換) ;縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,得?y=sin()的圖象 (周期變換) ;橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍,得到 y=Asinx 的圖象(振幅變換) ; y=Asin(x+)(0)的圖象(周期變換) ;橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍,得到 y=Asinx 的圖象(振幅變換) ; y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個(gè)單位得到 y=Asinx 的圖象。 定義 4 函數(shù) y=sinx 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù),記作 y=arcsinx(x-1, 1),函數(shù) y=cosx(x0, ) 的反函數(shù)叫反余弦函數(shù),記作 y=arccosx(x-1, 1). 函數(shù) y=tanx 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作 y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數(shù) 稱為反余切函數(shù),記作 y=arccotx(x-, +). 定理 15 三角方程的解集,如果 a(-1,1),方程 sinx=a 的解集是 x|x=n+(-1) narcsina, n Z。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, k Z. 如果 aR,方程 tanx=a 的解集是 x|x=k+ arctana, k Z。恒等式: arcsina+arccosa=; arctana+arccota=. 定理 16 若,則 sinxsin(cosx). 若,則因?yàn)?sinx+cosx= 2cosin2x(sinxcos+sincosx)=sin(x+) , 所以 0sinx,則 x0,由 -0 得 cos cos(-)=s in, 所以 0s in(-)= cos, 所以 01, 所以 .2sincosisincosi 00 xx 若 +,則 x0,由 00, 所以1。又 0sin1, 所以 2sincosisincosi 00x ,得證。 注:以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式,值得注意的是角的討論。 3最小正周期的確定。 例 4 求函數(shù) y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先, T=2 是函數(shù)的周期(事實(shí)上,因?yàn)?cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx) ; 其次,當(dāng)且僅當(dāng) x=k+時(shí), y=0(因?yàn)閨2 cosx|2), 所以若最小正周期為 T0,則 T0=m, m N+,又 sin(2cos0)=sin2sin(2cos),所以 T0=2。 4三角最值問題。 例 5 已知函數(shù) y=sinx+,求函數(shù)的最大值與最小值。 【解法一】 令 sinx= 430sin2co1,s2x, 則有 y= ).4in(ico2 因?yàn)?,所以?所以1, 所以當(dāng),即 x=2k-( k Z)時(shí), ymin=0, 當(dāng),即 x=2k+( k Z)時(shí), ymax=2. 【解法二】 因?yàn)?y=sinx+ )cos1(sin2cos12xx, =2(因?yàn)? a+b)22( a2+b2)) , 且|s inx|1,所以 0s inx+2, 所以當(dāng)=s inx,即 x=2k+( k Z)時(shí), ymax=2, 當(dāng)=-s inx,即 x=2k-( k Z)時(shí), ymin=0。 例 6 設(shè) 0,求 sin 的最大值。 【解】因?yàn)?00. 所以 sin(1+ cos)=2s incos2= 2cosin22 3223coin = 當(dāng)且僅當(dāng) 2sin2=cos2, 即 tan=, =2arctan 時(shí),s in(1+cos)取得最大值。 例 7 若 A, B, C 為 ABC 三個(gè)內(nèi)角,試求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因?yàn)?sinA+sinB=2sincos, sinC+sin 23sin23cosin23C, 又因?yàn)?3sin24cos43sin23sin2si CBACBACBA , 由,得 sinA+sinB+sinC+sin4s in, 所以 sinA+sinB+sinC3s in=, 當(dāng) A=B=C=時(shí), (s inA+sinB+sinC) max=. 注:三角函數(shù)的有界性、|s inx|1、| cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、 柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。 5換元法的使用。 例 8 求的值域。 【解】 設(shè) t=sinx+cosx= ).4sin(2cosin2xx 因?yàn)?所以 又因?yàn)?t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx=,所以 21 2ty , 所以 因?yàn)?t-1,所以,所以 y-1. 所以函數(shù)值域?yàn)?.,1, 例 9 已知 a0=1, an=(n N+),求證: an. 【證明】 由題設(shè) an0,令 an=tanan, an,則 an= .tan2tsico1tsect11 112 nnn 因?yàn)椋?an,所以 an=,所以 an= 又因?yàn)?a0=tana1=1,所以 a0=,所以。 又因?yàn)楫?dāng) 0xsinx,這是個(gè)熟知的結(jié)論,暫時(shí)不證明,學(xué)完導(dǎo)數(shù)后,證明是很 容易的。 6圖象變換: y=sinx(xR)與 y=Asin(x+)(A, , 0). 由 y=sinx 的圖象向左平移個(gè)單位,然后保持橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍,然后再 保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,得?y=Asin(x+)的圖象;也可以由 y=sinx 的圖象 先保持橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A 倍,再保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,?后向左平移個(gè)單位,得到 y=Asin(x+)的圖象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin(x+)(0, 0)是 R 上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且 在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),求和的值。 【解】 由 f(x)是偶函數(shù),所以 f(-x)=f(x),所以 sin(+)=sin(-x+),所以 cossinx=0,對(duì) 任意 xR 成立。 又 0,解得=, 因?yàn)?f(x)圖象關(guān)于對(duì)稱,所以=0。 取 x=0,得=0,所以 sin 所以( kZ),即=(2 k+1) (kZ). 又0,取 k=0 時(shí),此時(shí) f(x)=sin(2x+)在0,上是減函數(shù); 取 k=1 時(shí),=2,此時(shí) f(x)=sin(2x+)在0,上是減函數(shù); 取 k=2 時(shí),此時(shí) f(x)=sin(x+)在0,上不是單調(diào)函數(shù), 綜上,=或 2。 7三角公式的應(yīng)用。 例 11 已知 sin(-)=, sin(+)=- ,且 -,+,求 sin2, cos2 的 值。 【解】 因?yàn)?-,所以 cos(-)=- 又因?yàn)?+,所以 cos(+)= 所以 sin2= sin(+)+(-)= sin(+) cos(-)+ cos(+) sin(-)=, cos2= cos(+)-(-)= cos(+) cos(-)+ sin(+) sin(-)=-1. 例 12 已知 ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A, B, C 成等差數(shù)列,且,試求的值。 【解】 因?yàn)?A=1200-C,所以 cos=cos(600-C), 又由于 )120cos(cos112cos(cos10 C = )2(6)206(00 , 所以 32coscos4CA=0。 解得或。 又0,所以。 例 13 求證: tan20+4cos70. 【解】 tan20+4cos70=+4sin20 20cos4ini20cosin4si s13i.20cos6in20cos4i8in 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1已知銳角 x 的終邊上一點(diǎn) A 的坐標(biāo)為(2 sin3, -2cos3),則 x 的弧度數(shù)為_。 2適合 xcos1cs-2cscx 的角的集合為_。 3給出下列命題:(1)若 ,則 sin sin;(2)若 sin sin,則 ;(3)若 sin0,則 為第一或第二象限角;(4)若 為第一或第二象限角,則 sin0. 上 述四個(gè)命題中,正確的命題有_個(gè)。 4已知 sinx+cosx=(x(0, ),則 cotx=_。 5簡諧振動(dòng) x1=Asin 和 x2=Bsin 疊加后得到的合振動(dòng)是 x=_。 6已知 3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4),則 1, 2, 3, 4分別是第 _象限角。 7滿足 sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角 x 共有_個(gè)。 8已知,則=_。 9 40cos1sintan3540co=_。 10 cot15cos25cot35cot85=_。 11已知 ,(0, ), tan, sin(+)=,求 cos 的值。 12已知函數(shù) f(x)=在區(qū)間上單調(diào)遞減,試求實(shí)數(shù) m 的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1已知一扇形中心角是 a,所在圓半徑為 R,若其周長為定值 c(c0),當(dāng)扇形面積最大時(shí), a=_. 2. 函數(shù) f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調(diào)遞減區(qū)間是_. 3. 函數(shù)的值域?yàn)開. 4. 方程=0 的實(shí)根個(gè)數(shù)為_. 5. 若 sina+cosa=tana, a, 則_ a(填大小關(guān)系). 6. (1+tan1)(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_. 7. 若 00cosa, 且 sincos,則的取值范圍是_. 7方程 tan5x+tan3x=0 在0,中有_個(gè)解. 8若 x, yR, 則 M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_. 9若 00)在一個(gè)最小正周期長的區(qū)間上的 圖象與函數(shù) g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_. 2若,則 y=tan-tan+cos 的最大值是_. 3在 ABC 中,記 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2-19c2=0,則=_. 4設(shè) f(x)=x2- x, = arcsin, = arctan, = arccos, = arccot, 將 f(), f(), f(), f()從小到大排列為_. 5 logsin1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將 a, b, c, d 從小到大 排列為_. 6在銳角 ABC 中, cosA=cos sin, cosB=cos sin, cosC=cos sin,則 tan tan tan=_. 7已知矩形的兩邊長分別為 tan 和 1+cos(0. 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1已知 x0, y0, 且 x+y0(wR). 2. 已知 a 為銳角, n2, nN +,求證:2 n-2+1. 3. 設(shè) x1, x2, xn, y1, y2, yn,滿足 x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=,求證: 2xnyn3(n2). 4已知 , 為銳角,且 cos2+ cos2+ cos2=1,求證;+m,求證:對(duì)一切 x 都有 2|sinnx-cosnx|3| sinnx-cosnx|. 7在 ABC 中,求 sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC 的最大值。 8求的有的實(shí)數(shù) a, 使 cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)。 9已知 i, tan1tan2tann=2, nN +, 若對(duì)任意一組滿足上述條件的 1, 2, n都有 cos1+cos2+cosn,求 的最小值。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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