趙樹嫄-《微積分(第四版)》第七章 無窮級(jí)數(shù)

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1、1 第 七 章 無 窮 級(jí) 數(shù) 2 齊 諾 悖 論 阿 基 里 斯 與 烏 龜 公 元 前 五 世 紀(jì) ， 以 詭 辯 著 稱 的 古 希 臘 哲 學(xué) 家 齊諾 (Zeno)用 他 的 無 窮 、 連 續(xù) 以 及 部 分 和 的 知 識(shí) ，引 發(fā) 出 以 下 著 名 的 悖 論 ： 如 果 讓 阿 基 里 斯 (Achilles， 古 希 臘 神 話 中 善 跑 的 英 雄 )和 烏 龜之 間 舉 行 一 場(chǎng) 賽 跑 ， 讓 烏 龜 在 阿 基 里 斯 前 頭 1000米 開 始 ， 假 定阿 基 里 斯 能 夠 跑 得 比 烏 龜 快 10倍 ， 也 永 遠(yuǎn) 也 追 不 上 烏 龜 .齊 諾

2、 的理 論 依 據(jù) 是 ： 當(dāng) 比 賽 開 始 的 時(shí) 候 ， 阿 基 里 斯 跑 了 1000米 ， 此 時(shí)烏 龜 仍 然 前 于 他 100米 ； 當(dāng) 阿 基 里 斯 跑 了 下 一 個(gè) 100米 時(shí) ， 烏 龜仍 然 前 于 他 10米 ， ， 如 此 分 析 下 去 ， 顯 然 阿 基 里 斯 離 烏 龜 越 來 越 近 ， 但 卻 是 永 遠(yuǎn)也 追 不 上 烏 龜 的 .這 個(gè) 結(jié) 論 顯 然 是 荒 謬 的 ， 但 奇 怪 的 是 ， 這 種 推 理 在 邏 輯 上 卻 沒 有 任 何 毛 病 .那 么 ， 問 題 究 竟 出 在 哪 兒 呢 ？ 3 第 一 節(jié) 無 窮 級(jí) 數(shù) 的

3、 概 念 無 窮 級(jí) 數(shù) 是 高 等 數(shù) 學(xué) 的 一 個(gè) 重 要 組 成 部 分 ，它 是 表 示 函 數(shù) 、 研 究 函 數(shù) 的 性 質(zhì) 以 及 進(jìn) 行 數(shù) 值計(jì) 算 的 一 種 工 具 。計(jì) 算 圓 的 面 積 R正 六 邊 形 的 面 積正 十 二 邊 形 的 面 積 1a 21 aa 正 形 的 面 積n23 naaa 21 naaaA 21即 4 1、 級(jí) 數(shù) 的 定 義 ： nn n uuuuu 3211 (常 數(shù) 項(xiàng) )無 窮 級(jí) 數(shù) ni inn uuuuS 121 ,11 uS ,212 uuS ,3213 uuuS ,21 nn uuuS 通 項(xiàng)級(jí) 數(shù) 的 前 n 項(xiàng) 部

4、分 和 數(shù) 列 nS 5 2、 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 與 發(fā) 散 ：對(duì) 于 級(jí) 數(shù) 1n nu ,如 果 它 的 前 n 項(xiàng) 部 分 和 數(shù) 列 nS 收 斂 如 果 數(shù) 列 nS 沒 有 極 限 ,則 稱 該 無 窮 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 . 即 SSnn lim , Sun n 1定 義(設(shè) 極 限 為 S ) ， 則 稱 該 無 窮 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 且 稱 S 為 該 級(jí) 數(shù) 的 和 ， 并 記 為 6 解 )1( 1 nnun ,111 nn )1(1321211 nnSn )111()3121()211( nn111 n ,)(1 n例 1 討 論 無 窮 級(jí) 數(shù) )1(1321211

5、nn的 收 斂 性 . 所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 且 和 為 1。 7 討 論 級(jí) 數(shù) 1 )11ln(n n 的 斂 散 性 . 解例 2 )11ln( nun )1ln( n nnSn ln)1ln(2ln3ln1ln2ln n所 以 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 . ,ln)1ln( nn 所 以 8 解 ，如 果 1q 12 nn aqaqaqaS ，qqaa n 1,1| 時(shí)當(dāng) q 0lim nn q qaSnn 1lim,1| 時(shí)當(dāng) q nn qlim nn Slim 收 斂發(fā) 散 例 3 討 論 等 比 級(jí) 數(shù) (幾 何 級(jí) 數(shù) ) 121 1 nn n aqaqaqaaq )0( a的 收

6、 斂 性 . 9 ，如 果 1| q ,1時(shí)當(dāng) q ,1時(shí)當(dāng) q anSn 發(fā) 散 aaaa級(jí) 數(shù) 變 為 ,lim 不 存 在 nn S 發(fā) 散綜 上 所 述 ， qa1 發(fā) 散當(dāng) 收 斂當(dāng) 時(shí)時(shí) ,1| ,1|1 1 qqaqn n 121 1 nn n aqaqaqaaq )0( a，為 偶 數(shù)為 奇 數(shù) nnaS n ,0 , 10 齊 諾 悖 論 阿 基 里 斯 與 烏 龜 阿 基 里 斯 是 希 臘 傳 說 中 跑 得 最 快 的 人 。一 天 他 正 在 散 步 ， 忽 然 發(fā) 現(xiàn) 在 他 前 面 一千 米 遠(yuǎn) 的 地 方 有 一 只 大 烏 龜 正 在 緩 慢 地 向 前 爬

7、。 烏 龜 說 ： “ 阿基 里 斯 ， 誰 說 你 跑 得 最 快 ？ 你 連 我 都 追 不 上 ！ ” 阿 基 里 斯 說 ：“ 胡 說 ！ 我 的 速 度 比 你 快 何 止 上 百 倍 ！ 就 算 剛 好 是 你 的 十 倍 ，我 也 馬 上 就 可 以 超 過 你 ！ ” 烏 龜 說 ： “ 就 照 你 說 的 ， 咱 們 來 試一 試 吧 ！ 當(dāng) 你 跑 到 我 現(xiàn) 在 這 個(gè) 地 方 ， 我 已 經(jīng) 向 前 跑 了 一 百 米 。當(dāng) 你 向 前 跑 過 這 一 百 米 時(shí) ， 我 又 爬 到 前 面 去 了 。 每 次 你 追 到 我剛 剛 爬 過 的 地 方 ， 我 都 又

8、向 前 爬 了 一 段 距 離 。 你 只 能 離 我 越 來越 近 ， 卻 永 遠(yuǎn) 也 追 不 上 我 ！ ” 阿 基 里 斯 說 ： “ 哎 呀 ， 我 明 明 知道 能 追 上 你 ， 可 是 你 說 的 好 像 也 有 道 理 耶 。 這 到 底 是 怎 么 回 事 呢 ？ 11A B 假 定 阿 基 里 斯 現(xiàn) 在 A處 ， 烏 龜 現(xiàn) 在 B處 . 為 了 趕 上 烏 龜 ， 阿基 里 斯 先 跑 到 烏 龜 的 出 發(fā) 點(diǎn) B， 當(dāng) 他 到 達(dá) B點(diǎn) 時(shí) ， 烏 龜 已 前進(jìn) 到 B1點(diǎn) ； 當(dāng) 他 到 達(dá) B1點(diǎn) 時(shí) ， 烏 龜 又 已 前 進(jìn) 到 B2點(diǎn) ， 如 此 等等 。

9、 當(dāng) 阿 基 里 斯 到 達(dá) 烏 龜 前 次 到 達(dá) 過 的 地 方 ， 烏 龜 已 又 向 前爬 動(dòng) 了 一 段 距 離 .因 此 ， 阿 基 里 斯 是 永 遠(yuǎn) 追 不 上 烏 龜 的 ！B B 1B1 B2 12 如 果 我 們 從 級(jí) 數(shù) 的 角 度 來 分 析 這 個(gè) 問 題 ， 齊 諾 的 這個(gè) 悖 論 就 會(huì) 不 攻 自 破 。 101001000 這 是 一 個(gè) 公 比 為 110 1 q 的 幾 何 級(jí) 數(shù) ,易 求 得 它 的 和 為 ，91111191000010111000 設(shè) 阿 基 里 斯 的 速 度 為 烏 龜 速 度 的 10倍 ， 則 他 跑 完1000米 時(shí)

10、 ， 烏 龜 又 爬 了 100米 ； 等 阿 基 里 斯 跑 完 這 段 路 ，烏 龜 又 向 前 爬 了 10米 ， 依 次 類 推 ， 阿 基 里 斯 需 要追 趕 的 全 部 路 程 為 13 也 就 是 說 ,如 果 賽 程 比 這 個(gè) 距 離 短 ,則 烏 龜 勝 ； 如 果 賽程 恰 好 等 于 這 個(gè) 距 離 ,則 雙 方 平 分 秋 色 ； 否 則 ,阿 基 里 斯 就 要 在 距 離 起 點(diǎn) 911111 處 追 上 并 超 過 烏 龜 . ，91111191000010111000 思 考 題 ： 還 有 沒 有 其 他 方 法 解 此 題 ？ ,100010 tt ,9

11、1000t .91000010 ts這 里 已 經(jīng) 假 定 可 以 追 上 。 14 研 究 課 題 1： 無 限 循 環(huán) 小 數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 分 數(shù)1999.0 999.0 009.009.09.0 n109109109109 32 1011 109109lim 1 nn .1 15 把 循 環(huán) 小 數(shù) 232323.0 表 示 成 分 數(shù) 解例 4 232323.0 32 100231002310023 (公 比 為 1001 的 等 比 級(jí) 數(shù) ,收 斂 ) 10011 10023 .9923小 課 題 ： 請(qǐng) 編 寫 一 套 把 循 環(huán) 小 數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 分 數(shù) 的 方 法 。324

12、.0 9904423 .990419 16 循 環(huán) 小 數(shù) 轉(zhuǎn) 化 為 分 數(shù) 的 方 法 ：第 一 型 ： naaa 21.0 n nn n aaaaaa 22121 1010 nn naaa 1011 1021 11021 n naaa .99921 個(gè)n naaa 個(gè)n nn aaaaaa 999.0 2121 17,9 770. ,9923320. .9994577540. 例 如 ： 個(gè)n nn aaaaaa 999.0 2121 18 第 二 型 ： nm aaabbb 2121.0 nm nnm nm m aaaaaabbb 2212121 101010 nnm nm m aaa

13、bbb 10111010 2121 mn nm m aaabbb 10111010 2121 個(gè)個(gè) mn nnm aaabbb 000999 )110( 2121 .000999 212121 個(gè)個(gè) mn mnm bbbaaabbb 19 例 如 ： 個(gè)個(gè) mn mnmnm bbbaaabbbaaabbb 000999.0 2121212121 124.0 ,9904179904421 38756.0 ,9990056727999005656783 612045.0 .999000451719990004545216 20 第 二 節(jié) 無 窮 級(jí) 數(shù) 的 基 本 性 質(zhì) 設(shè) 級(jí) 數(shù) 1n nu

14、 、 1n nv 及 1 )(n nn vu 的 部 分 和 分 別 為nnn BA 及, ， 如 果 級(jí) 數(shù) 1n nu 、 1n nv 都 收 斂 ,則 1 )(n nn vu .)( 111 n nn nn nn vuvu也 收 斂 ， 且 有性 質(zhì) 1證 且 ,lim,lim BBAA nnnn ni iin vu1 )( ni ini i vu 11nn lim )(lim nnn BA ,limlim BABA nnnn .)( 111 n nn nn nn vuvu此 即 ,nn BA 21 說 明 ：(1) 不 能 由 1 )(n nn vu 收 斂 推 出 1n nu 、 1

15、n nv 收 斂 ； (2) 若 1n nu 收 斂 ,而 1n nv 發(fā) 散 ,則 1 )(n nn vu 必 發(fā) 散 . 證 假 設(shè) 1 )(n nn vu 收 斂 , 由 nnnn uvuv )( , 而 已 知 1n nu 收 斂 , 由 上 述 性 質(zhì) 得 1n nv 收 斂 , 矛 盾 . 所 以 1 )(n nn vu 發(fā) 散 . 22 設(shè) k 是 非 零 常 數(shù) , 則 級(jí) 數(shù) 1n nu 與 級(jí) 數(shù) 1n nuk 具 有 相 同 的 斂 散 性 ， 且 當(dāng) 1n nu 收 斂 時(shí) ， 等 式 11 n nn n ukuk 成 立 性 質(zhì) 2證 設(shè) 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂

16、, 且 Sun n 1 , 又 設(shè) 1n nu 與 1n nuk 的 部 分 和 分 別 為 nnS 及 ， ni in uk1 ni iuk 1 ,nSknnnn Sk limlim ,lim SkSk nn 23 ni in uk1 ni iuk 1 ,nSknnnn Sk limlim ,lim SkSk nn 所 以 級(jí) 數(shù) 1n nuk 收 斂 ， 且 11 n nn n ukuk 反 之 ， 若 1n nuk 收 斂 （ 0k ） ， 則 11 1 n nn n uukk 也 收 斂 24 性 質(zhì) 3 去 掉 、 添 加 或 改 變 級(jí) 數(shù) 中 的 有 限 項(xiàng) ， 不 會(huì) 影響 它

17、 的 斂 散 性 . 這 是 因 為 ， 去 掉 、 添 加 或 改 變 級(jí) 數(shù) 中 的 有 限 項(xiàng) 后 所得 數(shù) 列 的 部 分 和 數(shù) 列 與 原 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 數(shù) 列 只 相 差一 個(gè) 常 數(shù) ， 所 以 具 有 相 同 的 斂 散 性 。注 意 ： 原 級(jí) 數(shù) 若 收 斂 ， 則 改 變 級(jí) 數(shù) 中 的 有 限 項(xiàng) 后 ， 一般 要 改 變 它 的 和 . 25 性 質(zhì) 4 收 斂 級(jí) 數(shù) 任 意 加 括 號(hào) 后 仍 收 斂 ， 且 其 和 不 變 .證 記 級(jí) 數(shù) 1n nu 的 部 分 和 數(shù) 列 為 nk kn uS 1 , 加 括 號(hào) 后 的 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和

18、數(shù) 列 記 為 nA , )()()( 987654321 uuuuuuuuu,21 SA ,52 SA ,93 SA 例 如 ， , 26 證 則 nA 實(shí) 際 上 是 nS 的 一 個(gè) 子 數(shù) 列 , 故 由 nS 的 收 斂 性 可 知 nA 的 收 斂 性 ,且 其 極 限 不 變 . 記 級(jí) 數(shù) 1n nu 的 部 分 和 數(shù) 列 為 nk kn uS 1 , 加 括 號(hào) 后 的 級(jí) 數(shù) 的 部 分 和 數(shù) 列 記 為 nA , 性 質(zhì) 4 收 斂 級(jí) 數(shù) 任 意 加 括 號(hào) 后 仍 收 斂 ， 且 其 和 不 變 .注 收 斂 級(jí) 數(shù) 去 括 弧 后 所 成 的 級(jí) 數(shù) 不 一 定

19、 收 斂 . )11()11(推 論 發(fā) 散 級(jí) 數(shù) 去 括 號(hào) 仍 發(fā) 散 。例 如 27 性 質(zhì) 5 (級(jí) 數(shù) 收 斂 的 必 要 條 件 )若 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂 ,則 必 有 0lim nn u . 證 , 1 nnn SSu )(limlim 1 nnnnn SSu SS .01limlim nnnn SS設(shè) 1n nu 的 部 分 和 數(shù) 列 為 nS ， 且 SSnn lim ， 此 定 理 說 明 ， 0lim nn u 是 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂 的 必 要 條 件 . 28 說 明 ：1、 如 果 級(jí) 數(shù) 的 一 般 項(xiàng) 不 趨 于 零 ， 則 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散

20、； 1)1(433221 1 nnn例 如 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ；,0nu所 以,1| nu n2cos8cos4cos2cos ，再 如 ,012coslim n 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 若 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂 , 則 必 有 0lim nn u . ?1)1( 1 nnn 29 2、 必 要 條 件 不 充 分 ：若 0lim nn u ,級(jí) 數(shù) 卻 不 一 定 收 斂 . 再 舉 一 個(gè) 重 要 例 子 ： 1 1312111n nn , 01lim nn ,但 級(jí) 數(shù) 是 否 收 斂 ? 如 1 )11ln(n n ： ,)(0)11ln( nn 但 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 調(diào) 和 級(jí) 數(shù)

21、 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 增 加 的 速 度 非 常 緩 慢 ， 例 如 ,3011010 10 110 n nS ,3001100100 10 110 n nS那 么 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 到 底 的 收 斂 還 是 發(fā) 散 ？ 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 1 1312111n nn 31 證 明 ： 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。nn SS 2 nn2）（ nnn SS 2lim SS 0于 是 矛 盾 ， 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) ,21假 設(shè) 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 其 和 為 S ，所 以 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 nnn 212111 1 1312111n nn ,21證因 為 進(jìn) 一 步 的 研 究 可 以 發(fā) 現(xiàn) ，

22、雖 然 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 到 正 無窮 大 ， 但 其 發(fā) 散 的 速 度 卻 是 驚 人 的 緩 慢 。 這 說 明 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 到 正 無 窮 大 實(shí) 在 不 是 直 接 的 計(jì)算 所 能 得 到 的 ， 由 于 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 到 正 無 窮 大 的 緩 慢性 ， 我 們 也 可 形 象 地 稱 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 為 一 “ 堅(jiān) 韌 不 拔 ” 的級(jí) 數(shù) ， 另 一 方 面 它 又 提 醒 我 們 ： 人 不 可 “ 貌 相 ” ， 級(jí)數(shù) 的 斂 散 性 不 可 憑 “ 想 象 ” ， 需 要 嚴(yán) 格 的 證 明 。調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 1 1312111n nn 33

23、 1. 0 )4531(n nn 649 . 例 1 判 斷 下 列 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 ： 因 為 ,310n n 0 41n n 都 收 斂 ， 故 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 ，解且 和 為 0 )4531(n nn 00 41531 n nn n411 5311 1 34 2. 1100 5110321 n n 3. n21614121 1 121 n n 收 斂 ；發(fā) 散 。例 1 判 斷 下 列 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 ： 35 第 三 節(jié) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù)1、 定 義 ： ，中 各 項(xiàng) 均 有如 果 級(jí) 數(shù) 01 nn n uu這 種 級(jí) 數(shù) 稱 為 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 。2、 正 項(xiàng) 級(jí)

24、 數(shù) 收 斂 的 充 要 條 件 ：定 理(一 ) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 問 題 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 收 斂 的 充 分 必 要 條 件 是 它 的 部 分 和 數(shù) 列 nS 有 上 界 . 這 是 因 為 0nu ,所 以 nS 單 調(diào) 不 減 ,因 此 它 有 極 限 當(dāng) 且 僅 當(dāng) 它 有 上 界 . 36 (二 )比 較 判 別 法 且 ),2,1( nvu nn , 證 明 , 1 nk kn uS設(shè) , nn vu .1 也 收 斂從 而 n nu 均 為 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ，和設(shè) 11 n nn n vu則 (1) 若 1n nv 收 斂 ,則 1n nu 收 斂 ； (2) 若

25、 1n nu 發(fā) 散 ， 則 1n nv 發(fā) 散 . 定 理 , 1 nk kn vT, nn TS (1) ),2,1( n 因 為 1n nv 收 斂 ， 所 以 nT 有 上 界 M， , MTS nn 所 以 nS 也 有 上 界 M， 37 (一 )比 較 判 別 法證 明 則 (1) 若 1n nv 收 斂 ,則 1n nu 收 斂 ； (2) 若 1n nu 發(fā) 散 ， 則 1n nv 發(fā) 散 . (2)是 (1)的 等 價(jià) 命 題 。 從 某 項(xiàng) 起 ,恒 有 nn vku , )0( k . 注 ： 定 理 的 條 件 可 放 寬 為 ： 均 為 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ，和設(shè) 11

26、 n nn n vu 且 ),2,1( nvu nn , 定 理 38 判 斷 級(jí) 數(shù) 1 21sinn n 的 收 斂 性 . 因 為 nn 2 121sin0 , 而 1 21n n 收 斂 , 解例 1所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 . ,|sin| xx Rx 39 討 論 p-級(jí) 數(shù) 1 1n pn 的 收 斂 性 ( 0p ). oy x)1(1 pxy p1 2 3 4 當(dāng) 1p 時(shí) , 而 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 1 1n n 發(fā) 散 , 當(dāng) 1p 時(shí) ,用 積 分 判 別 法 ： 當(dāng) nxn 1 時(shí) , pp xn 11 , nn pp nxn 1 d1 nn pxx1 d 解例 2 ，

27、nnp 11 故 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ； 于 是 有 40故 當(dāng) 1p 時(shí) ,1 1n pn 收 斂 . nn pp nxn 1 d1 nn pxx1 d 所 以 nk kk pnk p xxk 2 12 d11 xxn p d11)11(11 1 pnp ,11 p于 是 ,1111 1 pkS nk pn 即 nS 有 上 界 ， 41 總 結(jié) : 發(fā) 散收 斂 10 1 11 ppnn p 重 要 參 考 級(jí) 數(shù) ： 幾 何 級(jí) 數(shù) ， p - 級(jí) 數(shù) ， 調(diào) 和 級(jí) 數(shù) 。比 較 ： 發(fā) 散收 斂，10 1 d11 ppxxp 42 因 為 nn 111 , 而 2 1n n 發(fā) 散

28、, （ 但 2 11n n 如 何 ？ ） 因 為 22 111 nn , 而 1 21n n 收 斂 , （ 但 2 2 11n n 如 何 ？ ） 解例 3 2 11n n例 4 1 2 11n n解所 以 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 43 設(shè) N ， 當(dāng) Nn 時(shí) ， 恒 有 0nu 、 0nv ， 則 (1) 若 0lim lvunnn ， 則 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1n nu 與 1n nv 同 斂 散 ； (2) 若 0lim nnn vu ， 則 當(dāng) 1n nv 收 斂 時(shí) ， 1n nu 也 收 斂 ； (3) 若 nnn vulim ， 則 當(dāng) 1n nv

29、 發(fā) 散 時(shí) ， 1n nu 也 發(fā) 散 . 比 較 判 別 法 的 極 限 形 式 ： 44 證 明 ,0lim )1( lvunnn由 ,02 l取,N ,時(shí)當(dāng) Nn ，有 2| llvunn ,22 llvull nn )(232 Nnvluvl nnn 即 45 )(232 Nnvluvl nnn 即可 知 兩 級(jí) 數(shù) 有 相 同 的 斂 散 性 。)(23 Nnvlu nn 由 )(2 Nnuvl nn 由則 由 1n nv 收 斂 ， 可 推 出 1n nu 也 收 斂 ； 則 由 1n nu 收 斂 ， 可 推 出 1n nv 也 收 斂 ； 46 由 極 限 定 義 ,取 1

30、,存 在 自 然 數(shù) N, 當(dāng) Nn 時(shí) ,恒 有 1n nvu , 即 nn vu , 當(dāng) 1n nv 收 斂 時(shí) , 1n nu 也 收 斂 。 證 明 ,0lim )2( nnn vu若由 比 較 判 別 法 可 知 ， (注 意 ： 單 向 ) ,lim )3( nnn vu若 ,0lim nnn uv則由 (2)即 得 結(jié) 論 。 47 而 2 1n n 發(fā) 散 , 例 5 1 11n n ，1111lim nnn例 6 2 2 11n n ，1111lim 22 nnn所 以 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 而 1 21n n 收 斂 , 所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 解解 48 例 7

31、 1 2 11n nn ，1111lim 2 nnnn例 8 1 2 )11ln(n n ，11)11ln(lim 22 nnn 發(fā) 散解 而 2 1n n 發(fā) 散 , 所 以 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。解 而 1 21n n 收 斂 , 所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。?)11ln(1 n n 49 常 用 等 價(jià) 無 窮 小 ： ,0時(shí)當(dāng) x,sin xx ,)1ln( xx ,tan xx )0(1)1( xx ,1e xx ,21cos1 2xx ,arcsin xx ,arctan xx 50 判 斷 級(jí) 數(shù) 1 21sinn n 的 收 斂 性 . 因 為 121/21sinlim nn

32、n , 而 1 21n n 收 斂 , 解例 1所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 . 51 例 9解 設(shè) 常 數(shù) 0p ,試 判 別 級(jí) 數(shù) 1 1lnn ppnn 的 斂 散 性 。 11)11ln(lim ppn nn 原 級(jí) 數(shù) 與 1 1n pn 同 斂 散 ， 0,)1ln( xxx 所 以 原 級(jí) 數(shù) 當(dāng) 1p 時(shí) 收 斂 ， 當(dāng) 10 p 時(shí) 發(fā) 散 。 52 例 10 1 )cos1(n n 21)cos1(lim nnn 22 1)(21lim nnn ,22收 斂 ，解 0,21cos1 2 xxx 1 21n n 所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 53 而 1 31n n 收 斂

33、 , 例 11 1 3 1n n n ，1313 1lim nnn n nnn n 313 1lim nn nn 3 3lim nn n31 1lim nn n3lim xx x3lim 3ln3 1lim xx .0 .1 所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 54 討 論 2 1n nan 的 斂 散 性 )0( a . (1) 當(dāng) 1a 時(shí) , 而 2 1n na 收 斂 , (2) 當(dāng) 10 a 時(shí) , 例 12解 ，111lim nnn aan ,111lim nan nn所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。所 以 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 55 試 證 ：均 收 斂與設(shè) 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ,11

34、n nn n vu證 11 均 收 斂 ，與 n nn n vu ,)1( 21 2nunu nn ,)(21 nnnn vuvu 。收 斂 1 n nnu 例 13 ， 收 斂 1 1 2n n由 基 本 不 等 式 ，收 斂且 已 知 1n nu . 1 收 斂n nnvu , )( 1 收 斂 n nn vu也 收 斂 。收 斂 ， 11 n nn nn nuvu 56 (三 )比 值 判 別 法 (達(dá) 朗 貝 爾 比 值 判 別 法 ) 設(shè) 1n nu 是 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) , 若 nnn uu 1lim ,則 （ 1） 當(dāng) 1 時(shí) ， 級(jí) 數(shù) 收 斂 ； （ 2） 當(dāng) 1 時(shí) ， 級(jí)

35、數(shù) 發(fā) 散 ； （ 3） 當(dāng) 1 時(shí) ， 此 法 不 能 確 定 級(jí) 數(shù) 收 斂 性 . ,11 發(fā) 散級(jí) 數(shù) n n ,11 2 收 斂級(jí) 數(shù) n n 1 證 略 57 nnn uu 1lim 因 為 11lim nn 0例 14 判 別 級(jí) 數(shù) 下 列 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 1 ! 1 )1( n n1 2 )2( n nn nnn uu 1lim 因 為 nnn 1lim21 所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 解解 ,121 ,1所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 !1 !)1( 1lim nnn nn n nn 22 1lim 1 58 nnnnnnnn nnn nuu ! 3)1( ! )1(3

36、limlim 111 因 為 nnn n n )1( 3lim e31 ! 3 )3( n nnnn解 nn n)11( 3lim nnnnnnnn nnn nuu ! 2)1( ! )1(2limlim 111 因 為 nnn n n )1( 2lim e21 ! 2 )4( n nnnn解 nn n)11( 2lim ,1 所 以 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 .,1 所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 . ? ! e1n nnnn nnn nn! 3lim 0! 2lim nnn nn 59 解練 習(xí) ： 1 1 !)1(n nnn 12 !)1()1( !)2(lim nnn nnnnnnn uu 1lim e

37、1所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 ,11)11(12lim nn nnn )11()11( nn n 60實(shí) 際 上 ,且 和 為 21S . 1 )12)(12( 1 )5( n nn解 )32)(12( )12)(12(limlim 1 nn nnaa nnnn所 以 用 比 值 法 無 法 判 斷 .用 比 較 法 ， ，411)12)(12( 1lim 2 nnnn ,1而 級(jí) 數(shù) 1 21n n 收 斂 ， 所 以 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 61 假 設(shè) 0 ,討 論 1 1n p nn 的 收 斂 性 . （ 1） 若 1 ,則 級(jí) 數(shù) 收 斂 ； （ 2） 若 1 ,則 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散

38、 ； （ 3） 若 1 , 原 級(jí) 數(shù) 為 1 11n pn , 所 以 1p 時(shí) 收 斂 , 1p 時(shí) 發(fā) 散 . 例 15解 nppnnnnn nnuu 11)1(limlim 11 1)1( 1lim ppn nn ， ,11 11lim ppn nn 62 (四 )根 值 判 別 法 (柯 西 根 值 判 別 法 ) 設(shè) 1n nu 是 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) , 如 果 n nn ulim ,則 （ 1） 當(dāng) 1 時(shí) ， 級(jí) 數(shù) 收 斂 ； （ 2） 當(dāng) 1 時(shí) ， 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ； （ 3） 當(dāng) 1 時(shí) ， 此 法 不 能 確 定 級(jí) 數(shù) 收 斂 性 . 證 略 63 例 16解 12l

39、imlim nnu nn nn 21 1 )12(n nnn ，1所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 . 例 17 1 12)13(n nnn解 nnnn nn nnu 12)13(limlim 91 ，1所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 . 64 解例 18 )0( )1(1 annan n 所 以 當(dāng) 10 a 時(shí) 級(jí) 數(shù) 收 斂 , 當(dāng) 1a 時(shí) 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ； 當(dāng) 1a 時(shí) ， nnnn nnu )1(limlim 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 。 e)11(lim nn nn nn ulim 1lim nnan ,a ,0e1 nn n)11( 1lim 65 第 四 節(jié) 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ， 絕 對(duì) 收 斂定

40、義 ： 正 、 負(fù) 項(xiàng) 相 間 的 級(jí) 數(shù) 稱 為 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 。nn n u 1 1)1(定 理 (萊 布 尼 茨 判 別 法 ) )0( nu其 中 （ 1） 1 nn uu ,即 nu 單 調(diào) 減 少 ； （ 2） 0lim nn u , 則 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 1 1)1(n nn u 收 斂 , 且 其 和 1uS ， 級(jí) 數(shù) 的 稱 萊 布 尼 茨型 級(jí) 數(shù) 如 果 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 滿 足 條 件nn n u 1 1)1( 余 項(xiàng) nR 的 絕 對(duì) 值 1| nn uR 4321 uuuu(一 )交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 即 2mS 有 上 界 , 故 2mS 收 斂 , 記 SS mm 2

41、lim , 顯 然 有 1uS . 而 12212 mmm uSS , 所 以 SSnn lim , 且 其 和 1uS . ,)()()( 21243212 mmm uuuuuuS 證 所 以 2mS 單 調(diào) 不 減 ； 另 一 方 面 ， mmmm uuuuuuuuS 21222543212 )()()( ,1u由 條 件 (2)可 知 ， ,lim 12 SS mm 即 原 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 而 余 項(xiàng) nR 仍 是 一 個(gè) 萊 布 尼 茨 型 級(jí) 數(shù) ， 所 以 有 1| nn uR 由 條 件 (1)可 知 ， ,212 kk uu 67 注 意 ： 萊 布 尼 茲 判 別 法 所

42、 給 的 條 件 只 是 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 收 斂 的充 分 條 件 ， 而 非 必 要 條 件 。nn n u 1 1)1( )0( nu定 理 (萊 布 尼 茨 判 別 法 )（ 1） 1 nn uu ,即 nu 單 調(diào) 減 少 ； （ 2） 0lim nn u , 則 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 1 1)1(n nn u 收 斂 , 且 其 和 1uS ， 級(jí) 數(shù) 的 如 果 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 滿 足 條 件nn n u 1 1)1( 余 項(xiàng) nR 的 絕 對(duì) 值 1| nn uR 4321 uuuu 68 n1 單 調(diào) 減 少 , 且 01lim nn , 1 1 1)1(n pn n 例 19解 這

43、 是 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) ， 由 萊 布 尼 茨 定 理 知 ， 級(jí) 數(shù) 收 斂 。一 般 地 ， 稱 為 交 錯(cuò) p - 級(jí) 數(shù) . 當(dāng) 0p 時(shí) ， ,0 1lim1 pnp nn 單 調(diào) 減 少 且所 以 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 1 1 1)1(n n n證 明 級(jí) 數(shù) 收 斂 。 69 判 別 級(jí) 數(shù) 2 1)1(n nn n的 收 斂 性 。 解 ,1)( x xxf設(shè) )2( x,1)( 單 調(diào) 減 少故 函 數(shù) x xxf 1limlim n nu nnn又 ,0 由 萊 布 尼 茨 定 理 知 級(jí) 數(shù) 收 斂 。所 以 數(shù) 列 1n n 單 調(diào) 減 少 , 練 習(xí) 2)1(2 )1()

44、( xx xxf則 ,0 70 (二 )任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 絕 對(duì) 收 斂 與 條 件 收 斂正 項(xiàng) 和 負(fù) 項(xiàng) 任 意 出 現(xiàn) 的 級(jí) 數(shù) 稱 為 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 。 定 義 若 1 |n nu 收 斂 ,則 稱 1n nu 絕 對(duì) 收 斂 ； 若 1n nu 絕 對(duì) 收 斂 ,則 1n nu 本 身 也 收 斂 . 定 理 ：絕 對(duì) 收 斂 必 收 斂 。 71 若 1n nu 絕 對(duì) 收 斂 ,則 1n nu 本 身 也 收 斂 . 證 明定 理 ： ,|2|0 nnn uuu 如 果 級(jí) 數(shù) 1n nu 絕 對(duì) 收 斂 ， 即 1 |n nu 收 斂 ， 則 1 |2n nu

45、也 收 斂 ， 由 比 較 判 別 法 得 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 1 )|(n nn uu 收 斂 ,|)|( nnnn uuuu 而 由 級(jí) 數(shù) 性 質(zhì) 知 ， 級(jí) 數(shù) 1n nu 收 斂 72例 如 , 1 21 1)1(n n n 絕 對(duì) 收 斂 , 而 1 1 1)1(n n n 條 件 收 斂 . 定 義 若 1 |n nu 發(fā) 散 , 但 1n nu 收 斂 ,則 稱 1n nu 條 件 收 斂 . 說 明 ：(1) 定 理 不 可 逆 ： 級(jí) 數(shù) 收 斂 ， 未 必 絕 對(duì) 收 斂 ；如 1 1 1)1(n n n 收 斂 , 但 1 1n n 發(fā) 散 . 73 (2) 若 1 |n

46、nu 發(fā) 散 , 不 能 推 出 1n nu 發(fā) 散 . 但 如 果 是 用 比 值 判 別 法 或 根 值 判 別 法 判 定 1 |n nu 發(fā) 散 , 則 立 刻 可 以 斷 定 1n nu 發(fā) 散 ， 從 而 nu 也 不 趨 向 于 零 . 一 般 項(xiàng) | nu 不 趨 向 于 零 , 這 是 因 為 它 們 的 依 據(jù) 是 說 明 ： 但 1 1 1)1(n n n 收 斂 。 1 1n n 發(fā) 散 , 74 因 為 22 1sin nnn , 而 1 21n n 收 斂 , 例 20 判 定 下 列 級(jí) 數(shù) 是 絕 對(duì) 收 斂 、 條 件 收 斂 或 發(fā) 散 . 1 2sin )

47、1( n nn解 故 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 . 1 2)11(31)1( )2( n nnn n解 n nn a |lim 3e ，1故 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 . nn n)11(31lim 75 1 2)11(21)1( )3( n nnn n解 nnn nn na )11(21lim|lim 2e ，1 故 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 . 解所 以 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 。 所 以 1 10n nn 收 斂 , nn nnn 1010 1lim 1 1 310 )5(cos )4( n nnn ,1101 因 為 nn nnn 1010 )5(cos 3 , ? 101n nn 76 例

48、 21 若 1 ,則 原 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ； 若 1 ,原 級(jí) 數(shù) 為 1 )1(n p nn , 因 此 當(dāng) 1p 時(shí) 絕 對(duì) 收 斂 ； 當(dāng) 10 p 時(shí) 條 件 收 斂 . 設(shè) 0,0 p ,討 論 1 )(n p nn 的 收 斂 性 . 若 1 ,則 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 ； 解 nnn aa 1lim ppnnn nn )1(lim 1 , 77 ？條 件 收 斂 還 是 絕 對(duì) 收 斂 斂 ？ 如 果 收 斂 ， 是是 否 收判 斷 級(jí) 數(shù) 1 ln)1( n nnn例 22解 ,11 發(fā) 散而 n n ,ln1ln)1( 11 發(fā) 散 nn n nnnn即 原 級(jí) 數(shù) 非

49、 絕 對(duì) 收 斂 ; x xnn xn lnlimlnlim ,01lim xxnnnn 1ln1lim nnn ln1 1lim ,1 78 ,ln)1(1 級(jí) 數(shù)是 交 錯(cuò) n nnn nnn ln1lim ,)0(ln)( xxxxf令 ,)1(011)( xxxf則nnnn ln1 1lim ,0,),1()( 上 單 增在 xf ,1ln1 時(shí) 單 減當(dāng)故 數(shù) 列 nnn由 萊 布 尼 茨 定 理 ， 此 交 錯(cuò) 級(jí) 數(shù) 收 斂 ，故 原 級(jí) 數(shù) 條 件 收 斂 79 判 斷 1 )12()1(n n nn 的 斂 散 性 ； 若 收斂 ， 指 出 是 絕 對(duì) 收 斂 還 是 條 件

50、 收 斂 。 例 23解 原 級(jí) 數(shù) 改 寫 為 1 12 )1(n nnn ， 1 12 1n nn 與 1 1n n 同 斂 散 ， 即 發(fā) 散 ， 而 原 級(jí) 數(shù) 為 萊 布 尼 茲 級(jí) 數(shù) ， 故 收 斂 ， 即 條 件 收 斂 。 ,211/12 1lim nnnn 80 討 論 級(jí) 數(shù) )1( 1 11 xxn n 的 收 斂 范 圍 . 若 1| x , 則 011 1lim nn x , 若 1| x , 則 11 1 1limlim nnnnnn xxuu 最 后 ,若 1x ,則 2 1nu ,發(fā) 散 . 所 以 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 范 圍 為 1| x . 例 24解 |

51、 1x ，1所 以 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ；故 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 ； 81 小 結(jié) ： 判 定 數(shù) 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 斂 散 性 的 思 路 ：正 項(xiàng) ？Y比 較 判 別 法比 值 判 別 法 N絕 對(duì) 收 斂 ？YEND N若 用 比 值法 ， 發(fā) 散 若 用 比 較 法 ，萊 布 尼 茨 定 理?0lim nn u N 發(fā) 散Y 82 第 五 節(jié) 冪 級(jí) 數(shù) (一 )冪 級(jí) 數(shù) 及 其 收 斂 半 徑 和 收 斂 域1、 冪 級(jí) 數(shù) 的 定 義 其 中 na 稱 為 冪 級(jí) 數(shù) 系 數(shù) . nn n xxa )(0 0 nn xxaxxaa )()( 0010 010 n nnnn xaxaxa

52、a 級(jí) 數(shù)稱 為 關(guān) 于 0 xx 的 冪 級(jí) 數(shù) ； 特 別 ， 取 00 x ， 稱 為 關(guān) 于 x 的 冪 級(jí) 數(shù) 。 83 2、 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 和 收 斂 域 ,1 20 xxxn n例 如 級(jí) 數(shù) ;,1| 收 斂時(shí)當(dāng) x ;,1| 發(fā) 散時(shí)當(dāng) x.)1,1(收 斂 域 為 顯 然 ， 任 何 冪 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 在 0 x 處 收 斂 ； 下 面 證 明 ， 在 不 考 慮 端 點(diǎn) 的 情 況 下 ， 0n nnxa 的 收斂 域 關(guān) 于 原 點(diǎn) 對(duì) 稱 。 84 (1) 如 果 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 在 )0( 11 xxx 處 收 斂 , (2) 如

53、 果 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 在 )0( 22 xxx 處 發(fā) 散 ,則 它 在 滿 足 不 等 式 | 2xx 的 一 切 x 處 發(fā) 散 . 證 ,0lim 1 nnn xa , )1( 0 1 收 斂n nnxa O 定 理 (阿 貝 爾 Abel定 理 ) 則 它 在 滿 足 不 等 式 | 1xx 的 一 切 x處 絕 對(duì) 收 斂 ； 1x 85 ),2,1,0(| 1 nMxa nn使 得,0M | nnxa nnn xxxa | 11 nxxM | 1|,| 1xx ,| 0 1 收 斂等 比 級(jí) 數(shù) n nxxM , |0 收 斂n nn xa;)(0 收 斂絕 對(duì)因 此 級(jí)

54、數(shù) n nnxa由 正 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) 的 比 較 判 別 法 知 , 證 ,0lim 1 nnn xa, )1( 0 1 收 斂n nnxa | 11 nnnn xxxa 86 , )2( 2時(shí) 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散設(shè) 當(dāng) xx 假 如 有 一 點(diǎn) 0 x 適 合 | 20 xx 使 級(jí) 數(shù) 收 斂 , 則 級(jí) 數(shù) 當(dāng) 2xx 時(shí) 應(yīng) 收 斂 , 由 (1)結(jié) 論 , x R R幾 何 說 明 ： 收 斂 區(qū) 域 發(fā) 散 區(qū) 域發(fā) 散 區(qū) 域這 與 所 設(shè) 矛 盾 . O 87 冪 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 的 收 斂 情 況 必 為 以 下 三 種 情 形 之 一 ： （ 1） 僅 在 0 x 處 收

55、 斂 ； （ 3） 0R ,在 Rx | 處 絕 對(duì) 收 斂 ,在 Rx | 處 發(fā)散 ,在 Rx | 處 可 能 收 斂 也 可 能 發(fā) 散 . 此 時(shí) 正 數(shù) R 稱 為 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 . ;0R規(guī) 定 ,R 收 斂 域 ),( . (1) 冪 級(jí) 數(shù) 只 在 0 x 處 收 斂 : (2) 冪 級(jí) 數(shù) 對(duì) 一 切 x 都 收 斂 : 問 題 ： 如 何 求 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 ? （ 2） 在 整 個(gè) 數(shù) 軸 上 收 斂 ； 88 如 果 冪 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 的 所 有 系 數(shù) 0na , 則 冪 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 的 收 斂 半 徑 為 設(shè)

56、|lim 1nnn aa (或 n nn a |lim ) 定 理 , 0 0 , 0 , 1/R .|lim 1 nnn aaR直 接 地 講 ， 就 是 89 證 | |lim 11 nn nnn xa xa |lim 1 xaa nnn ,| x (1) 如 果 0 當(dāng) 1| x 時(shí) , 0n nnxa 發(fā) 散 ； 當(dāng) 1| x 時(shí) ,0n nnxa 絕 對(duì) 收 斂 ； 故 0 時(shí) , 1R ； |lim 1nnn aa對(duì) 級(jí) 數(shù) 0 |n nnxa 應(yīng) 用 比 值 判 別 法 ， 90 ,0 )2( 如 果 .)(0 收 斂絕 對(duì)級(jí) 數(shù) n nnxa ;R收 斂 半 徑, )3( 如

57、果 .0R收 斂 半 徑 證 畢 . 則 對(duì) 0 x , 則 對(duì) 0 x , 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 發(fā) 散 ， ,10 ,| |lim 11 nn nnn xa xa |lim 1 xaa nnn | |lim 1 1 nn nnn xa xa |lim 1 xaa nnn |lim 1nnn aa 91 求 下 列 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 和 收 斂 域 。例 1 1n nnx1x 時(shí) , 級(jí) 數(shù) 為 1 1n n , 1x 時(shí) , 級(jí) 數(shù) 為 1 )1(n nn , 所 以 收 斂 域 為 )1,1 . 解 |lim 1 nnn aaR 111lim nnn 發(fā) 散 ；收 斂 。

58、 ，11lim nnn 92 求 下 列 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 半 徑 和 收 斂 域 。例 1 一 般 ， ,1n pnnx ，1)1(lim p pn nn 若 1p , 收 斂 域 為 1,1 ； 若 10 p , 收 斂 域 為 )1,1 ； 若 0p , 收 斂 域 為 )1,1( . |lim 1 nnn aaR1x 時(shí) , 級(jí) 數(shù) 為 1 1n pn ； 1x 時(shí) , 級(jí) 數(shù) 為 1 )1(n p nn , 93 解 1x , 1 1)1(n nn nx收 斂 半 徑 ,11limlim 1 nnaaR nnnn端 點(diǎn) 處 ： 1 1)1(n nn 收 斂 ；1x , 1 1n

59、 n 發(fā) 散 ； 所 以 收 斂 域 為 1,1( . 例 2 94 解 1 11)1(n nn x收 斂 半 徑 ,1lim 1 nnn aaR端 點(diǎn) 處 明 顯 發(fā) 散 ， 所 以 收 斂 域 為 )1,1( . 例 3 95 即 收 斂 域 為 ),( . 僅 在 0 x 處 收 斂 . 例 4解 0n nnnx 1)1( 11lim nnn nnR例 5 nn xn ! 0解 ，!)1( !lim nnR n ,011lim nn )1()11(lim nn nn 96 12 12lim nnn nn ，2,2|1| 收 斂即 x ,)3,1( 收 斂x .)1(2)1(1 nnn n

60、 xn ,1時(shí)當(dāng) x ,1n n級(jí) 數(shù) 為,3時(shí)當(dāng) x ,)1( 1 n n n級(jí) 數(shù) 為 發(fā) 散 ；發(fā) 散 ，故 收 斂 域 為 (-1, 3) . 例 6解 |lim 1 nnn aaR 97 求 冪 級(jí) 數(shù) 1 21 3)1(n nnn nx 的 收 斂 域 。 ,327293 642 xxx級(jí) 數(shù) 為 缺 少 偶 次 冪 的 項(xiàng)|)( )(|lim 1 xu xu nnn | 2221 3/13lim nxn x nnnnn ,3 2x級(jí) 數(shù) 收 斂 ；,13 2 x當(dāng) ,31| 時(shí)即 x 例 7解直 接 應(yīng) 用 比 值 判 別 法 ， 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ； ,13 2 x當(dāng) ,31|

61、時(shí)即 x 98 ,31 時(shí)當(dāng) x ,1)1(1 1 n n n級(jí) 數(shù) 為 級(jí) 數(shù) 收 斂 ，所 以 原 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 域 為 .31,31 1 21 3)1(n nnn nx級(jí) 數(shù) 收 斂 ；,13 2 x當(dāng) ,31| 時(shí)即 x 級(jí) 數(shù) 發(fā) 散 ；,13 2 x當(dāng) ,31| 時(shí)即 x 99 (二 )冪 級(jí) 數(shù) 的 性 質(zhì)冪 級(jí) 數(shù) 的 加 減 法 ： .,min 21 RRR收 斂 半 徑 為 ,2100 RRxbxa n nnn nn 和的 收 斂 半 徑 分 別 為和設(shè) 加 法 ： 0 .)(n nnn xba 00 n nnn nn xbxa減 法 ： 0 .)(n nnn xba

62、 00 n nnn nn xbxa 100 冪 級(jí) 數(shù) 和 函 數(shù) 的 分 析 性 質(zhì) 設(shè) 冪 級(jí) 數(shù) 0n nnxa 的 收 斂 半 徑 為 R, 收 斂 域 為 I，且 和 函 數(shù) 為 )(xS .下 面 介 紹 )(xS 的 三 個(gè) 性 質(zhì) . 性 質(zhì) 1 )(xS 在 0n nnxa 的 收 斂 域 I 內(nèi) 連 續(xù) . IxxaxS n nn ,)( 0在 收 斂 域 上 ， 冪 級(jí) 數(shù) 的 和 是 x 的 函 數(shù) S(x)， 稱S(x)為 冪 級(jí) 數(shù) 的 和 函 數(shù) 。 101 性 質(zhì) 2 )(xS 在 ),( RR 內(nèi) 可 導(dǎo) ,且 有 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 公 式 ： 且 收 斂 半

63、徑 仍 為 R. 0 )()( n nnxaxS 0 )(n nnxa ， 1 1n nnxna IxxaxS n nn ,)( 0 注 ： (1) 實(shí) 際 上 ， )(xS 在 ),( RR 內(nèi) 任 意 階 可 導(dǎo) ； (2) 逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 后 ， 原 來 收 斂 的 端 點(diǎn) 可 能 變 發(fā) 散 。 102注 ： 逐 項(xiàng) 積 分 后 ， 原 來 發(fā) 散 的 端 點(diǎn) 可 能 變 收 斂 。 性 質(zhì) 3 )(xS 在 0n nnxa 的 收 斂 域 I 內(nèi) 可 積 ,且 有 逐 項(xiàng)積 分 公 式 ： x xxS0 d)( 0 0 dn x nn xxa，1 0 1 nn n xna 且 收 斂

64、 半 徑 仍 為 R. x n nn xxa0 0 d)( IxxaxS n nn ,)( 0 103 解 求 冪 級(jí) 數(shù) 1 1n nxn 的 收 斂 域 及 和 函 數(shù) ， 并 求 級(jí) 數(shù) 例 81 2n nn 的 和 。 收 斂 半 徑 ,11limlim 1 nnaaR nnnn端 點(diǎn) 處 明 顯 發(fā) 散 ， 所 以 收 斂 域 為 )1,1( . 104 解 求 冪 級(jí) 數(shù) 1 1n nxn 的 收 斂 域 及 和 函 數(shù) ， 并 求 級(jí) 數(shù) 例 81 2n nn 的 和 。 ,)1( 1 2xx xxS0 d)( )11 1()( xxS ,)( 1 1 n nxnxS設(shè) 1n n

65、x xx 1所 以 )1,1(x ,11 1 x 取 21x , 得 4)211( 12 21 1 n nn , 所 以 221 n nn 。 兩 邊 從 0 到 x 積 分 , 105 收 斂 半 徑 為 1R , (1)解 )1,1x逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) , ,)( 1 n nnxxS設(shè) 1 1)( n nxxS ,1 1x 1| x收 斂 域 為 )1,1 , x xxS0 d)( 所 以 ,)1ln( x,0)0( S ,)1ln()( xxS 例 9 求 下 列 冪 級(jí) 數(shù) 的 收 斂 域 及 和 函 數(shù) ： 32 321 xxxnxn n )0()( SxS x xx0 d1 1 106

66、 (2)解 收 斂 半 徑 1 3n nnnx ,3R 收 斂 域 為 )3,3 . 設(shè) 1 3)( n nnnxxS ,逐 項(xiàng) 求 導(dǎo) 得 1 1)3(31)( n nxxS 3/1 131 x ,3 1 x )3,3(x)0(d)()( 0 SxxSxS x .)3 ,3x03d0 x xxxx 0)3ln( ,3ln)3ln( x 107 (3)解 收 斂 半 徑 為 1R , 收 斂 域 為 )1,1( , )1,1(x ,)1ln(21 2x,1 2xx 1 122n nnx ,21 2 n nnxx 1 122n nnx ,2)( 1 2 n nnxxS設(shè) 1 12)( n nxxS則 )0(d1)( 0 2 SxxxxS x 于 是 )1,1(x ,)1ln(212 2 1 12 xxnxn n 所 以 108)1,1(x x n n xxx 0 1 12 d,)1ln(21 2xx x xxxx 0 2 d1 1 122n nnx 1 22n nnxx 簡(jiǎn) 便 寫 法 ：解 收 斂 半 徑 為 1R , 收 斂 域 為 )1,1( , (3) 1 122n nnx 10