2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題22 隨機(jī)變量及其分布列 理（含解析）.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強(qiáng)化練 專題22 隨機(jī)變量及其分布列 理（含解析） 一、解答題 1．(xx安徽理，17)甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完 5 局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立． (1)求甲在 4 局以內(nèi)(含 4 局)贏得比賽的概率； (2)記 X 為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)． [分析] ①甲在四局內(nèi)贏得比賽，即甲前兩局勝，或第一局?jǐn)?，二、三局勝，或第一局勝，第二局?jǐn)?，第三、四局勝? ②比賽總局?jǐn)?shù)最少2局，最多5局，求概率時(shí)，既要考慮甲勝結(jié)束，又要考慮乙勝結(jié)束． ③由于各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故按獨(dú)立事件公式計(jì)算積事件的概率． [解析] 用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5. (1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝()2＋()2＋()2＝. (2)X的可能取值為2,3,4,5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2) ＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝， P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3) ＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝， P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4) ＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝， P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝. 故X的分布列為 X 2 3 4 5 P [方法點(diǎn)撥] 1.求復(fù)雜事件的概率的一般步驟： 1列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示； 2理清各事件之間的關(guān)系，列出關(guān)系式； 3根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算． 2．直接計(jì)算符合條件的事件的概率較繁時(shí)，可先間接地計(jì)算對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率． 3．要準(zhǔn)確理解隨機(jī)變量取值的意義，準(zhǔn)確把握每一個(gè)事件所包含的基本事件，然后依據(jù)類型代入概率公式進(jìn)行計(jì)算． 4．概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)結(jié)合的問(wèn)題，先依據(jù)統(tǒng)計(jì)知識(shí)明確條件，求出有關(guān)統(tǒng)計(jì)的結(jié)論，再將所求問(wèn)題簡(jiǎn)化為純概率及其分布的問(wèn)題，依據(jù)概率及其分布列、期望、方差的知識(shí)求解． 5．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)： 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則①pi≥0，i＝1,2，…，n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1. 2．(xx重慶理，17)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個(gè)粽子，其中豆沙粽2個(gè)，肉粽3個(gè)，白粽5個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個(gè)． (1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率； (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望． [分析] 考查了古典概型的概率以及分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于簡(jiǎn)單題型．(1)由古典概型概率公式計(jì)算；(2)從含有2個(gè)豆沙粽的10個(gè)粽子中取3個(gè)，據(jù)此可得出X的可能取值及其概率，列出分布列求得期望． [解析] (1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個(gè)”，由古典概型的概率計(jì)算公式有 P(A)＝＝. (2)X的可能取值為0,1,2，且 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝ 綜上知，X的分布列為： X 0 1 2 P 故E(X)＝0＋1＋2＝(個(gè)) [方法點(diǎn)撥] 如果題目條件是從含A類物品M件，總數(shù)為N的A、B兩類物品中，抽取n件，其中含有A類物品件數(shù)X為隨機(jī)變量，則按超幾何分布公式直接計(jì)算． 請(qǐng)練習(xí)下題： 一盒中有12個(gè)零件，其中有3個(gè)次品，從盒中每一次取出一個(gè)零件，取后不放回，求在取到正品前已取次數(shù)X的分布列和期望． [分析] 由于題設(shè)中要求取出次品不再放回，故應(yīng)仔細(xì)分析每一個(gè)X所對(duì)應(yīng)的事件的準(zhǔn)確含義．據(jù)此正確地計(jì)算概率p. [解析] X可能的取值為0、1、2、3這四個(gè)數(shù)，而X＝k表示，共取了k＋1次零件，前k次取得的是次品，第k＋1次取得正品，其中k＝0、1、2、3. (1)當(dāng)X＝0時(shí)，第1次取到正品，試驗(yàn)中止，此時(shí) P(X＝0)＝＝. (2)當(dāng)X＝1時(shí)，第1次取到次品，第2次取到正品， P(X＝1)＝＝. (3)當(dāng)X＝2時(shí)，前2次取到次品，第3次取到正品， P(X＝2)＝＝. 當(dāng)X＝3時(shí)，前3次將次品全部取出， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 3．(xx石家莊質(zhì)檢)某商場(chǎng)為了了解顧客的購(gòu)物信息，隨機(jī)的在商場(chǎng)收集了100位顧客購(gòu)物的相關(guān)數(shù)據(jù)，整理如下： 一次購(gòu)物款 (單位：元) [0,50) [50,100) [100,150) [150,200) [200，＋∞) 顧客人數(shù) m 20 30 n 10 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示：100位顧客中購(gòu)物款不低于100元的顧客占60%.據(jù)統(tǒng)計(jì)該商場(chǎng)每日大約有5000名顧客，為了增加商場(chǎng)銷售額度，對(duì)一次性購(gòu)物不低于100元的顧客發(fā)放紀(jì)念品(每人一件)．(注：視頻率為概率) (1)試確定m、n的值，并估計(jì)該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量； (2)現(xiàn)有4人去該商場(chǎng)購(gòu)物，求獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望． [解析] (1)由已知，100位顧客中購(gòu)物款不低于100元的顧客有n＋40＝10060%， n＝20； m＝100－(20＋30＋20＋10)＝20. 該商場(chǎng)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量大約為5000＝3000件． (2)由(1)可知1人購(gòu)物獲得紀(jì)念品的頻率即為概率 p＝＝. 故4人購(gòu)物獲得紀(jì)念品的人數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布B(4，)． P(ξ＝0)＝C()0()4＝， P(ξ＝1)＝C()1()3＝， P(ξ＝2)＝C()2()2＝， P(ξ＝3)＝C()3()1＝， P(ξ＝4)＝C()4()0＝， ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P ξ數(shù)學(xué)期望為E(ξ)＝0＋1＋2＋3＋4＝. 或由E(ξ)＝4＝. [方法點(diǎn)撥] 1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 一般地，如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．稱事件A發(fā)生的次數(shù)X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布． 若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 2．離散型隨機(jī)變量的期望：設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 則E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn. 3．準(zhǔn)確辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征(①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同)，牢記公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，并深刻理解其含義，是解二項(xiàng)分布問(wèn)題的關(guān)鍵． 4．對(duì)于復(fù)雜事件，要先辨析其構(gòu)成，依據(jù)互斥事件，或者相互獨(dú)立事件按事件的和或積的概率公式求解，還要注意含“至多”，“至少”類詞語(yǔ)的事件可轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率求解． 請(qǐng)練習(xí)下題： 為了了解今年某校高三畢業(yè)班準(zhǔn)備報(bào)考飛行員學(xué)生的身體素質(zhì)，學(xué)校對(duì)他們的體重進(jìn)行了測(cè)量，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫(huà)出了頻率分布直方圖(如圖)，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為123，其中第2小組的頻數(shù)為12. (1)求該校報(bào)考飛行員的總?cè)藬?shù)； (2)以這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)全省的總體數(shù)據(jù)，若從全省報(bào)考飛行員的學(xué)生中(人數(shù)很多)任選3人，設(shè)X表示體重超過(guò)60kg的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． [分析] 先由頻率直方圖中前三組頻率的比及第2小組頻數(shù)及頻率分布直方圖的性質(zhì)求出n的值和任取一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60kg的概率．再由從報(bào)考飛行員的學(xué)生中任選3人知，這是三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故X服從二項(xiàng)分布． [解析] (1)設(shè)報(bào)考飛行員的人數(shù)為n，前3個(gè)小組的頻率分別為p1，p2，p3，則由條件可得： 解得p1＝0.125，p2＝0.25，p3＝0.375. 又因?yàn)閜2＝0.25＝，故n＝48. (2)由(1)可得，一個(gè)報(bào)考學(xué)生體重超過(guò)60kg的概率為 P＝p3＋(0.037＋0.013)5＝， 由題意知X服從二項(xiàng)分布B(3，)， P(x＝k)＝C()k()3－k(k＝0,1,2,3)， 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 4．(xx江西省質(zhì)量監(jiān)測(cè))一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示： 老板根據(jù)銷售量給予店員獎(jiǎng)勵(lì)，具體獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)定如下表 銷售量X個(gè) X<100 100≤X<150 150≤X<200 X≥200 獎(jiǎng)勵(lì)金額(元) 0 50 100 150 (1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，店員共獲得獎(jiǎng)勵(lì)150元的概率； (2)記未來(lái)連續(xù)2天，店員獲得獎(jiǎng)勵(lì)X元，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． [解析] (1)由頻率分布直方圖得店員一天獲得50元、100元、150元的概率分別是0.3,0.2,0.1，不得獎(jiǎng)勵(lì)的概率是0.4， 所以未來(lái)連續(xù)3天里，店員共獲得獎(jiǎng)勵(lì)150元的概率 P＝0.33＋A0.30.20.4＋C0.420.1＝0.219； (2)X可能取值有0,50,100,150,200,250,300. P(X＝0)＝0.42＝0.16，P(X＝50)＝20.40.3＝0.24. P(X＝100)＝0.32＋20.40.2＝0.25，P(X＝150)＝20.40.1＋20.30.2＝0.20. P(X＝200)＝0.22＋20.30.1＝0.10， P(X＝250)＝20.20.1＝0.04， P(X＝300)＝0.12＝0.01， 所以隨機(jī)變量X的分布列是： X 0 50 100 150 200 250 300 P(X) 0.16 0.24 0.25 0.20 0.10 0.04 0.01 E(X)＝00.16＋500.24＋1000.25＋1500.20＋2000.10＋2500.04＋3000.01＝100(或E(X)＝2(00.4＋500.3＋1000.2＋1500.1)＝100) [方法點(diǎn)撥] 概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)相結(jié)合是高考主要命題方式之一．一般先解答統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，最后依據(jù)條件確定隨機(jī)變量的取值及其概率，再列出分布列求期望．請(qǐng)練習(xí)下題： (xx江西上饒市三模)對(duì)某校高二年級(jí)學(xué)生暑期參加社會(huì)實(shí)踐次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖如下： 分組 頻數(shù) 頻率 [10,15) 20 0.25 [15,20) 48 n [20,25) m p [25,30) 4 0.05 合計(jì) M 1 (1)求出表中M，p及圖中a的值； (2)在所取樣本中，從參加社會(huì)實(shí)踐的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選3人，記參加社會(huì)實(shí)踐次數(shù)在區(qū)間[25,30)內(nèi)的人數(shù)為X，求X的分布列和期望． [解析] (1)由頻率分布表和頻率分布直方圖的知識(shí)與性質(zhì)知，＝0.25，＝n,0.25＋n＋p＋0.05＝1，＝a，解之可得M＝80，p＝0.1，a＝0.12. (2)參加社會(huì)實(shí)踐次數(shù)分別在[20,25]和[25,30)的人數(shù)依次為0.180＝8人，0.0580＝4人，從這12人中隨機(jī)抽取3人，隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝， P(X＝3)＝＝＝. 分布列如下： X 0 1 2 3 P 可得E(X)＝1. 5．(xx河南八市質(zhì)量監(jiān)測(cè))某市在xx年2月份的高三期末考試中對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10000名學(xué)生的成績(jī)服從正態(tài)分布N(115,25)，現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績(jī)?nèi)拷橛?0分到140分之間．現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[80,90)，第二組[90,100)，……，第六組[130,140]，得到如下圖所示的頻率分布直方圖． (1)試估計(jì)該校數(shù)學(xué)的平均成績(jī)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (2)這50名學(xué)生中成績(jī)?cè)?20分(含120分)以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望． 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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