2019-2020年高考數(shù)學復習 不等式問題的題型與方法教案 蘇教版.doc
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2019-2020年高考數(shù)學復習 不等式問題的題型與方法教案 蘇教版 一．復習目標： 1．在熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法基礎上，掌握其它的一些簡單不等式的解法．通過不等式解法的復習，提高學生分析問題、解決問題的能力以及計算能力； 2．掌握解不等式的基本思路，即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組)，會用分類、換元、數(shù)形結合的方法解不等式； 3．通過復習不等式的性質及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等)，使學生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關問題； 4．通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結合、函數(shù)等基本數(shù)學思想方法證明不等式的能力； 5．能較靈活的應用不等式的基本知識、基本方法，解決有關不等式的問題． 6．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應用，深化數(shù)學知識間的融匯貫通，從而提高分析問題解決問題的能力．在應用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學生數(shù)學素質及創(chuàng)新意識．． 二．考試要求： 1．理解不等式的性質及其證明。 2．掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應用。 3．掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。 4．掌握簡單不等式的解法。 5．理解不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|。。 三．教學過程： （Ⅰ）基礎知識詳析 1．解不等式的核心問題是不等式的同解變形，不等式的性質則是不等式變形的理論依據，方 程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解法密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，互相轉化．在解不等式中，換元法和圖解法是常用的技巧之一．通過換元，可將較復雜的不等式化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數(shù)、數(shù)形結合，則可將不等式的解化歸為直觀、形象的圖形關系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法可以使得分類標準明晰． 2．整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基礎，利用不等式的性質及函 數(shù)的單調性，將分式不等式、絕對值不等式等化歸為整式不等式(組)是解不等式的基本思想，分類、換元、數(shù)形結合是解不等式的常用方法．方程的根、函數(shù)的性質和圖象都與不等式的解密切相關，要善于把它們有機地聯(lián)系起來，相互轉化和相互變用． 3．在不等式的求解中，換元法和圖解法是常用的技巧之一，通過換元，可將較復雜的不等式 化歸為較簡單的或基本不等式，通過構造函數(shù)，將不等式的解化歸為直觀、形象的圖象關系，對含有參數(shù)的不等式，運用圖解法，可以使分類標準更加明晰．通過復習，感悟到不等式的核心問題是不等式的同解變形，能否正確的得到不等式的解集，不等式同解變形的理論起了重要的作用． 4．比較法是不等式證明中最基本、也是最常用的方法，比較法的一般步驟是：作差(商)→變形 →判斷符號(值)． 5．證明不等式的方法靈活多樣，內容豐富、技巧性較強，這對發(fā)展分析綜合能力、正逆思維 等，將會起到很好的促進作用．在證明不等式前，要依據題設和待證不等式的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法．通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因導果”，為溝通聯(lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的． 6．證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法和數(shù)學歸納法仍是證明不等式的 基本方法．要依據題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟，技巧和語言特點． 7．不等式這部分知識，滲透在中學數(shù)學各個分支中，有著十分廣泛的應用．因此不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性、靈活多樣性，這對同學們將所學數(shù)學各部分知識融會貫通，起到了很好的促進作用．在解決問題時，要依據題設、題斷的結構特點、內在聯(lián)系、選擇適當?shù)慕鉀Q方案，最終歸結為不等式的求解或證明．不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數(shù)學之中．諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。 8．不等式應用問題體現(xiàn)了一定的綜合性．這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數(shù)式求最大值或最小值．利用平均值不等式求函數(shù)的最值時，要特別注意“正數(shù)、定值和相等”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件．利用不等式解應用題的基本步驟：10審題，20建立不等式模型，30解數(shù)學問題，40作答。 9．注意事項： ⑴解不等式的基本思想是轉化、化歸，一般都轉化為最簡單的一元一次不等式（組）或一元二次不等式（組）來求解，。 ⑵解含參數(shù)不等式時，要特別注意數(shù)形結合思想，函數(shù)與方程思想，分類討論思想的錄活運用。 ⑶不等式證明方法有多種，既要注意到各種證法的適用范圍，又要注意在掌握常規(guī)證法的基礎上，選用一些特殊技巧。如運用放縮法證明不等式時要注意調整放縮的度。 ⑷根據題目結構特點，執(zhí)果索因，往往是有效的思維方法。 （Ⅱ）范例分析 b)∈M，且對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a，則a=____． 分析：讀懂并能揭示問題中的數(shù)學實質，將是解決該問題的突破口．怎樣理解“對M中的其它元素(c，d)，總有c≥a”？M中的元素又有什么特點？ 解：依題可知，本題等價于求函數(shù)x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3) (2)當1≤y≤3時， 所以當y=1時，xmin=4． 說明：題設條件中出現(xiàn)集合的形式，因此要認清集合元素的本質屬性，然后結合條件，揭示其數(shù)學實質．即求集合M中的元素滿足關系式 例2．解關于的不等式： 分析：本例主要復習含絕對值不等式的解法，分類討論的思想。本題的關鍵不是對參數(shù)進行討論，而是去絕對值時必須對末知數(shù)進行討論，得到兩個不等式組，最后對兩個不等式組的解集求并集，得出原不等式的解集。 解：當 。 例3． 己知三個不等式：① ② ③ (1)若同時滿足①、②的值也滿足③，求m的取值范圍； (2)若滿足的③值至少滿足①和②中的一個，求m的取值范圍。 分析：本例主要綜合復習整式、分式不等式和含絕對值不等的解法，以及數(shù)形結合思想，解本題的關鍵弄清同時滿足①、②的值的滿足③的充要條件是：③對應的方程的兩根分別在和內。不等式和與之對應的方程及函數(shù)圖象有著密不可分的內在聯(lián)系，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內在關系。 解：記①的解集為A，②的解集為B，③的解集為C。 解①得A=（-1，3）；解②得B= （1） 因同時滿足①、②的值也滿足③，ABC 設，由的圖象可知：方程的小根小于0，大根大于或等于3時，即可滿足 （2） 因滿足③的值至少滿足①和②中的一個，因 此小根大于或等于-1，大根小于或等于4，因而 說明：同時滿足①②的x值滿足③的充要條件是：③對應的方程2x+mx-1=0的兩根分別在(-∞，0)和[3，+∞)內，因此有f(0)＜0且f(3)≤0，否則不能對A∩B中的所有x值滿足條件．不等式和與之對應的方程及圖象是有著密不可分的內在聯(lián)系的，在解決問題的過程中，要適時地聯(lián)系它們之間的內在關系． 例4.已知對于自然數(shù)a，存在一個以a為首項系數(shù)的整系數(shù)二次三項式，它有兩個小于1的正根，求證：a≥5． 分析：回憶二次函數(shù)的幾種特殊形式．設f(x)=ax+bx+c(a≠0)．① 頂點式．f(x)=a(x-x)+f(x)(a≠0)．這里(x，f(x))是二次函數(shù)的頂點，x= ))、(x，f(x))、(x，f(x))是二次函數(shù)圖象上的不同三點，則系數(shù)a，b，c可由 證明：設二次三項式為：f(x)=a(x-x)(x-x)，a∈N． 依題意知：0＜x＜1，0＜x＜1，且x≠x．于是有 f(0)＞0，f(1)＞0． 又f(x)=ax-a(x+x)x+axx為整系數(shù)二次三項式， 所以f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)為正整數(shù)．故f(0)≥1，f(1)≥1． 從而 f(0)f(1)≥1． ① 另一方面， 且由x≠x知等號不同時成立，所以 由①、②得，a＞16．又a∈N，所以a≥5． 說明：二次函數(shù)是一類被廣泛應用的函數(shù)，用它構造的不等式證明問題，往往比較靈活．根據題設條件恰當選擇二次函數(shù)的表達形式，是解決這類問題的關鍵． 例5.設等差數(shù)列{a}的首項a1＞0且Sm=Sn(m≠n)．問：它的前多少項的和最大？ 分析:要求前n項和的最大值，首先要分析此數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列． 解:設等差數(shù)列{a}的公差為d，由Sm=Sn得 ak≥0，且ak+1＜0． (k∈N)． 說明：諸多數(shù)學問題可歸結為解某一不等式(組)．正確列出不等式(組)，并分析其解在具體問題的意義，是得到合理結論的關鍵． 例6．若二次函數(shù)y=f(x)的圖象經過原點，且1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(-2)的范圍． 分析：要求f(-2)的取值范圍，只需找到含人f(-2)的不等式(組)．由于y=f(x)是二次函數(shù)，所以應先將f(x)的表達形式寫出來．即可求得f(-2)的表達式，然后依題設條件列出含有f(-2)的不等式(組)，即可求解． 解：因為y=f(x)的圖象經過原點，所以可設y=f(x)=ax2+bx．于是 解法一(利用基本不等式的性質) 不等式組(Ⅰ)變形得 (Ⅰ)所以f(-2)的取值范圍是[6，10]． 解法二(數(shù)形結合) 建立直角坐標系aob，作出不等式組(Ⅰ)所表示的區(qū)域，如圖6中的陰影部分．因為f(-2)=4a-2b，所以4a-2b-f(-2)=0表示斜率為2的直線系．如圖6，當直線4a-2b-f(-2)=0過點A(2，1)，B(3，1)時，分別取得f(-2)的最小值6，最大值10．即f(-2)的取值范圍是：6≤f(-2)≤10． 解法三(利用方程的思想) 又f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1)，而 1≤f(-1)≤2，3≤f(1)≤4， ① 所以 3≤3f(-1)≤6． ② ①+②得4≤3f(-1)+f(1)≤10，即6≤f(-2)≤10． 說明：(1)在解不等式時，要求作同解變形．要避免出現(xiàn)以下一種錯解： 2b，8≤4a≤12，-3≤-2b≤-1，所以 5≤f(-2)≤11． (2)對這類問題的求解關鍵一步是，找到f(-2)的數(shù)學結構，然后依其數(shù)學結構特征，揭示其代數(shù)的、幾何的本質，利用不等式的基本性質、數(shù)形結合、方程等數(shù)學思想方法，從不同角度去解決同一問題．若長期這樣思考問題，數(shù)學的素養(yǎng)一定會迅速提高． 例7．( 江蘇)己知， （1） （2），證明：對任意，的充要條件是； （3）討論：對任意，的充要條件。 證明：（1）依題意，對任意，都有 （2）充分性： 必要性：對任意 （3） 即 而當 例8．若a＞0，b＞0，a3+b3=2．求證a+b≤2，ab≤1． 分析：由條件a3+b3=2及待證的結論a+b≤2的結構入手，聯(lián)想它們之間的內在聯(lián)系，不妨用作差比較法或均值不等式或構造方程等等方法，架起溝通二者的“橋梁”． 證法一 (作差比較法) 因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 (a＋b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6 =3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0， 即 (a+b)3≤23． 證法二 (平均值不等式—綜合法) 因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 所以a+b≤2，ab≤1． 說明：充分發(fā)揮“1”的作用，使其證明路徑顯得格外簡捷、漂亮． 證法三 (構造方程) 設a，b為方程x2-mx+n=0的兩根．則 因為a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0且Δ=m2-4n≥0．① 因此2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m[m2-3n]，所以 所以a+b≤2． 由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，即n≤1．所以 ab≤1． 說明：認真觀察不等式的結構，從中發(fā)現(xiàn)與已學知識的內在聯(lián)系，就能較順利地找到解決問題的切入點． 證法四 (恰當?shù)呐錅? 因為a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以 2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)， 于是有6≥3ab(a+b)，從而 8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3， 所以a+b≤2．(以下略) 即a+b≤2．(以下略) 證法六 (反證法) 假設a+b＞2，則 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]＞2(22-3ab)． 因為a3+b3=2，所以2＞2(4-3ab)，因此ab＞1． ① 另一方面，2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab＞2ab， 所以ab＜1． ② 于是①與②矛盾，故a+b≤2．(以下略) 說明：此題用了六種不同的方法證明，這幾種證法都是證明不等式的常用方法． 例9．設函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與兩直線y=x，y=-x，均不相 分析：因為x∈R，故|f(x)|的最小值若存在，則最小值由頂點確定，故設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)． 證明：由題意知，a≠0．設f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，則 又二次方程ax2+bx+c=x無實根，故 Δ1=(b+1)2-4ac＜0， Δ2=(b-1)2-4ac＜0． 所以(b+1)2+(b-1)2-8ac＜0，即2b2+2-8ac＜0，即 b2-4ac＜-1，所以|b2-4ac|＞1． 說明：從上述幾個例子可以看出，在證明與二次函數(shù)有關的不等式問題時，如果針對題設條件，合理采取二次函數(shù)的不同形式，那么我們就找到了一種有效的證明途徑． 例10．某城市xx年末汽車保有量為30萬輛，預計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同。為了保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應超過多少輛？ 解：設xx年末的汽車保有量為，以后每年末的汽車保有量依次為，每年新增汽車萬輛。 由題意得 例11．已知奇函數(shù) 知函數(shù) 分析：這是一道比較綜合的問題，考查很多函數(shù)知識，通過恰當換元，使問題轉化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。 令 要使 10 當 30當 綜上： 例12．如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀。 （1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬，才能使半個橢圓形隧道的土方工程最小？ （半個橢圓的面積公式為s=柱體體積為：底面積乘以高，，本題結果均精確到0.1米） 分析：本題為xx年上海高考題，考查運用幾何、不等式等解決應用題的能力及運算能力。 解：1)建立如圖所示直角坐標系，則P（11，4.5） 橢圓方程為： 將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程得 故隧道拱寬約為33.3米 2)由橢圓方程 故當拱高約為6.4米,拱寬約為31.1米時,土方工程量最小. 例13．已知n∈N，n＞1．求證 分析:雖然待證不等式是關于自然數(shù)的命題，但不一定選用數(shù)學歸納法，觀其“形”，它具有較好規(guī)律，因此不妨采用構造數(shù)列的方法進行解． 則 說明：因為數(shù)列是特殊的函數(shù)，所以可以因問題的數(shù)學結構，利用函數(shù)的思想解決． 例14．已知函數(shù) 分析：本例主要復習函數(shù)、不等式的基礎知識，絕對值不等式及函數(shù)不等式的證明技巧?；舅悸废葘⒑瘮?shù)不等式轉化為代數(shù)不等式，利用絕對值不等式的性質及函數(shù)的性質。證明（1）再利用二項展開式及基本不等式的證明（2）。 證明：（1） 當且僅當時，上式取等號。 （2）時，結論顯然成立 當時， 例15．己知 （1） （2） 證明：（1） 同理 （2）由二項式定理有 因此 。 （Ⅲ）、強化訓練 1．已知非負實數(shù)，滿足且，則的最大值是（ ） A． B． C． D． 2．已知命題p：函數(shù)的值域為R，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 （ ） A．a≤1 B．a<2 C．1
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