高中數(shù)學(xué)必修四任意角與弧度制 知識(shí)點(diǎn)匯總(教師版)

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1、 任意角與弧度制 知識(shí)梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推廣 定義：一條射線OA由原來的位置，繞著它的端點(diǎn)O按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成了角，記作：角或 可以簡記成。 注意： （1）“旋轉(zhuǎn)”形成角，突出“旋轉(zhuǎn)” （2）“頂點(diǎn)”“始邊”“終邊”“始邊”往往合于軸正半軸 （3）“正角”與“負(fù)角”——這是由旋轉(zhuǎn)的方向所決定的。 例1、若，求和的范圍。（0,45） （180,270） 2、角的分類： 由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了?？梢詫⒔欠譃檎恰⒘憬呛拓?fù)角。 正角：按照逆時(shí)針方

2、向轉(zhuǎn)定的角。 零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。 負(fù)角：按照順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角。 例2、（1）時(shí)針走過2小時(shí)40分，則分針轉(zhuǎn)過的角度是 -960 （2）將分針撥快10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是 ． 3、 “象限角” 為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角，角的頂點(diǎn)合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊合于軸的正半軸。 角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角 角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限，稱為軸線角。 例1、30 ；390 ；-330是第 象限角 300 ； -60是第 象限角 5

3、85 ； 1180是第 象限角 -2000是第 象限角。 例2、（1）A={小于90的角}，B={第一象限的角}，則A∩B= ④ （填序號(hào)）. ①{小于90的角} ②{0～90的角} ③ {第一象限的角} ④以上都不對(duì) （2）已知A={第一象限角}，B={銳角}，C={小于90的角}，那么A、B、C關(guān)系是（B） A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C 例3、寫出各個(gè)象限角的集合： 例4、若是第二象限的角，試分別確定2, 的終邊所在位置. 解 ∵是第二象限的角，

4、∴k360+90＜＜k360+180（k∈Z）. （1）∵2k360+180＜2＜2k360+360（k∈Z）， ∴2是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上. （2）∵k180+45＜ ＜k180+90（k∈Z）， 當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)， n360+45＜＜n360+90； 當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時(shí)， n360+225＜＜n360+270. ∴是第一或第三象限的角. 拓展：已知是第三象限角，問是哪個(gè)象限的角？ ∵是第三象限角，∴180+k360＜＜270+k360（k∈Z）， 60+k120＜＜90+k120. ①當(dāng)k=3m(m∈Z)時(shí)，可得 60+m

5、360＜＜90+m360（m∈Z）. 故的終邊在第一象限. ②當(dāng)k=3m+1 (m∈Z)時(shí)，可得 180+m360＜＜210+m360（m∈Z). 故的終邊在第三象限. ③當(dāng)k=3m+2 （m∈Z）時(shí)，可得 300+m360＜＜330+m360（m∈Z）. 故的終邊在第四象限. 綜上可知，是第一、第三或第四象限的角. 4、常用的角的集合表示方法 1、終邊相同的角： （1）終邊相同的角都可以表示成一個(gè)0到360的角與個(gè)周角的和。 （2）所有與a終邊相同的角連同a在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合 即：任何一個(gè)與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數(shù)個(gè)周角的和

6、 注意： 1、 2、是任意角 3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差360的整數(shù)倍。 4、一般的，終邊相同的角的表達(dá)形式不唯一。 例1、（1）若角的終邊與角的終邊相同，則在上終邊與的角終邊相同的角為 。 若θ角的終邊與8π/5的終邊相同 則有：θ=2kπ+8π/5 (k為整數(shù)) 所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5 當(dāng)：0≤kπ/2+2π/5≤2π 有：k=0 時(shí)，有2π/5 與θ/4角的終邊相同的角 k=1 時(shí)，有9π/10 與θ/4角的終

7、邊相同的角 （2）若是終邊相同的角。那么在 X軸正半軸上 例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負(fù)角： （1）； （2）． 例3、求，使與角的終邊相同，且． 2、終邊在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)： 終邊在x軸上的角的集合： 終邊在y軸上的角的集合： 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： 3、終邊共線且反向的角： 終邊在y=x軸上的角的集合： 終邊在軸上的角的集合： 4、終邊互相對(duì)稱的角： 若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系： 若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系

8、： 若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系： 角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系： 例1、若，則角與角的中變得位置關(guān)系是（ ）。 A.重合 B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C.關(guān)于x軸對(duì)稱 D.有關(guān)于y軸對(duì)稱 例2、將下列各角化成0到的角加上的形式 （1） （2） 例3、設(shè)集合, ,求,. 二、弧度與弧度制 1、弧度與弧度制： 弧度制—另一種度量角的單位制， 它的單位是rad 讀作弧度 定義：長度等于 的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角。 o r C 2rad 1rad r

9、 l=2r o A A B 如圖：AOB=1rad ，AOC=2rad ， 周角=2prad 注意： 1、正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0 2、角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值 （為弧長，為半徑） 3、用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是0） 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。 4、在同一個(gè)式子中角度、弧度不可以混用。

10、2、角度制與弧度制的換算 弧度定義：對(duì)應(yīng)弧長等于半徑所對(duì)應(yīng)的圓心角大小叫一弧度 角度與弧度的互換關(guān)系：∵ 360= rad 180= rad ∴ 1= 注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零. 例1、 把化成弧度 解： ∴ 例2、 把化成度 解： 例2、將下列各角從弧度化成角度 （1） rad （2）2.1 rad （3） 例3、用弧度制表示：

11、1終邊在軸上的角的集合 2終邊在軸上的角的集合 3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 解：1終邊在軸上的角的集合 2終邊在軸上的角的集合 3終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合 三、弧長公式和扇形面積公式 ； 例1、已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，則扇形的中心角的弧度數(shù)是 1或4 . 例2、若兩個(gè)角的差為1弧度，它們的和為，求這連個(gè)角的大小分別為 。 例3、 直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對(duì)的弧長 ⑴ ⑵ 解： ⑴：

12、 ⑵： ∴ 例4、（1）一個(gè)半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇 形的面積是多少？ （2）一扇形的周長為20 cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？ 解 （1）設(shè)扇形的圓心角是rad，因?yàn)樯刃蔚幕￠L是r, 所以扇形的周長是2r+r. 依題意，得2r+r=r, ∴=-2=(-2) ≈1.14257.30≈65.44≈6526′, ∴扇形的面積為S=r2=（-2）r2. （2）設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l+2r=20, 即l=20-2r (0＜r＜10) ① 扇

13、形的面積S=lr，將①代入，得 S=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25, 所以當(dāng)且僅當(dāng)r=5時(shí)，S有最大值25.此時(shí) l=20-25=10,==2. 所以當(dāng)=2 rad時(shí)，扇形的面積取最大值. 例5、（1）已知扇形的周長為10，面積為4，求扇形中心角的弧度數(shù)； （2）已知扇形的周長為40，當(dāng)它的半徑和中心角取何值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？ 解 設(shè)扇形半徑為R，中心角為，所對(duì)的弧長為l. （1）依題意，得 ∴22-17+8=0,∴=8或. ∵8＞2π,舍去,∴=. (2)扇形的周長為40,∴R+2R=40， S=lR=R2=R2R≤.

14、 當(dāng)且僅當(dāng)R =2R,即R=10, =2時(shí)面積取得最大值，最大值為100. （七）任意角的三角函數(shù)（定義） 1． 設(shè)a是一個(gè)任意角，在a的終邊上任?。ó愑谠c(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y），則P與原點(diǎn)的距離 2．比值叫做a的正弦 記作： ；比值叫做a的余弦 記作： 比值叫做a的正切 記作： ；比值叫做a的余切 記作： 比值叫做a的正割 記作： ；比值叫做a的余割 記作： 注意突出幾個(gè)問題：①角是“任意角”，當(dāng)b=2kp+a(kZ)時(shí)，b與a的同名三角函數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。 ②實(shí)際上，如果終邊在坐

15、標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。③三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù) ④，而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號(hào)應(yīng)由象限確定 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)： ⑤定義域： 4. 是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點(diǎn)，且cos=,則sin= . . 已知角的終邊落在直線y=-3x (x＜0)上，則 2 .

16、 例8、 已知a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3)，求a的六個(gè)三角函數(shù)值 x o y P(2,-3) 解： ∴sina=- cosa= tana=- cota=- seca= csca=- 例9、 求下列各角的六個(gè)三角函數(shù)值 ⑴ 0 ⑵ p ⑶ ⑷

17、 解：⑴ ⑵ ⑶的解答見P16-17 ⑷ 當(dāng)a=時(shí) ∴sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0 sec不存在 csc=1 例10、 ⑴ 已知角a的終邊經(jīng)過P(4,-3),求2sina+cosa的值 ⑵已知角a的終邊經(jīng)過P(4a,-3a),(a0)求2sina+cosa的值 解：⑴由定義 ： sina=- cosa= ∴2sina+cosa=- ⑵若 則sina=- cosa= ∴2sina+cosa=- 若 則sina= cosa=- ∴2sina+cosa=