高考真題解析分類匯編(文科數(shù)學)9：圓錐曲線

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1、 世紀金榜 圓您夢想 2013年高考解析分類匯編9：圓錐曲線 一、選擇題 ．（2013年高考湖北卷（文））已知,則雙曲線:與:的 （　?。? A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】本題考查雙曲線的方程以及的計算。雙曲線中，，所以，離心率為。中，，所以。所以兩個雙曲線有相同的焦距，選D. ．（2013年高考四川卷（文9））從橢圓上一點向軸作垂線,垂足恰為左焦點,是橢圓與軸正半軸的交點,是橢圓與軸正半軸的交點,且(是坐標原點),則該橢圓

2、的離心率是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知得，點在橢圓上，代入橢圓的方程，得，因為AB∥OP，所以，，，所以，，選C. ．（2013年高考課標Ⅱ卷（文10））設拋物線的焦點為，直線過且與交于，兩點。若，則的方程為（ ） （A）或 （B）或 （C）或 （D）或 【答案】C 【解析】拋物線y2=4x的焦點坐標為（1，0），準線方程為x=-1，設A（x1，y1），B（x2，y2），則因為|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2。因為|y1|=3|y2|，x1=

3、9x2，所以x1=3，x2=，當x1=3時，，所以此時，若，則,此時,此時直線方程為。若，則,此時,此時直線方程為。所以的方程是或，選C. ．（2013年高考課標Ⅰ卷（文8））為坐標原點,為拋物線的焦點,為上一點,若,則的面積為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】拋物線的焦點,準線方程為。因為，所以，即，所以,即。所以的面積為，選C. 【規(guī)律總結】與拋物線有關的試題，更多的是考查拋物線的定義，利用到焦點的距離和到準線的距離相等，實現(xiàn)轉化。 ．（2013年高考課標Ⅰ卷（文4））已知雙曲線的離心率為,則的漸近線方程為 （　　） A． B． C． D． 【

4、答案】C 【解析】雙曲線的離心率為，即，所以。即，所以，即，所以。所以雙曲線的漸近線為，選C. ．（ 2013年高考福建卷（文））雙曲線的頂點到其漸近線的距離等于 （　?。? A． B． C．1 D． 【答案】B 【解析】本題考查的是雙曲線的性質．因為雙曲線的兩個頂點到兩條漸近線的距離都相等，故可取雙曲線的一個頂點為，取一條漸近線為，所以點到直線的距離為． ．（2013年高考廣東卷（文））已知中心在原點的橢圓C的右焦點為,離心率等于,則C的方程是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由橢圓C的右焦點為，可知，又離心率等于，所以，解得，所以，即橢圓的

5、方程為，選D. ．（2013年高考四川卷（文5））拋物線的焦點到直線的距離是 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的焦點為(2,0)，到的距離為，選D. 【知識拓展】拋物線的焦點弦：拋物線的過焦點的弦，若，則，弦長．同樣可得拋物線，類似的性質． ．（2013年高考課標Ⅱ卷（文5））設橢圓的左、右焦點分別為，是上的點，，，則的離心率為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】因為,所以。又，所以，即橢圓的離心率為，選D. ．（2013年高考大綱卷（文8））已

6、知且垂直于軸的直線交于且則的方程為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【解析】設橢圓方程為，則，① 當時，，所以， ② 解①②得，.故所求的方程為，選C. ．（2013年高考遼寧卷（文11））已知橢圓的左焦點為F兩點,連接了,若,則的離心率為 （　?。? A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理，AF=6，所以，又，所以,選B. ．（2013年高考重慶卷（文10））設雙曲線的中心為點,若有且只有一對相較于點、所成的角為的直線和,使,其中、和、分別是這對直線與雙曲線的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是zhangwlx （　?。? A．

7、B． C． D． 【答案】A 【解析】本題考查雙曲線的性質與方程。因為,所以根據(jù)對稱性可知，直線,關于軸對稱，因為直線,所成的角為。所以直線的傾斜角為或，即斜率為或，要使直線與雙曲線相交，則雙曲線漸近線的斜率，當時，，所以，，即，所以。當時，有，即，所以，即，即，所以綜上，即雙曲線離心率的范圍時，選A. ．（2013年高考大綱卷（文12））已知拋物線與點,過的焦點且斜率為的直線與交于兩點,若,則 （　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的焦點為(2,0)，所以，所以，即，，. 又設，，， ，即， 所以， ， 解得，故選D. ．（2013年高考北京卷

8、（文7））雙曲線的離心率大于的充分必要條件是 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，，則. ．（2013年上海高考數(shù)學試題（文科18））記橢圓圍成的區(qū)域(含邊界)為,當點分別在上時,的最大值分別是,則 （　?。? A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】 選D ．（2013年高考江西卷（文9））已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準線相交于點N,則|FM|:|MN|= （　?。? A．2:5 B．1:2 C．1:5 D．1:3 【答案】C 【解析】本題考查拋物線的定義及應用。拋

9、物線的焦點坐標為，準線方程為，過點M，做準線的垂線，交準線于B。則，所以設射線的傾斜角為，則，即，所以，所以|FM|：|MN|，選C。 ．（2013年高考山東卷（文11））拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點M,若在點M處的切線平行于的一條漸近線,則= （　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題設知：拋物線的焦點F，雙曲線的焦點F2(2,0)，所以直線FF2：.由得，即，雙曲線C2的漸近線方程為，又由得，解得，所以，故. ．（2013年高考浙江卷（文9））如圖F1.F2是橢圓C1:+y2=1與雙曲線C2的公共焦點 （　?。? A．B分別是C1.C2

10、在第二.四象限的公共點,若四邊形AF1BF2為矩形,則C2的離心率是 （第9題圖） （　　） A． B． C． D． 【答案】 D． 【解析】由已知得設雙曲線實半軸為，由橢圓及雙曲線的定義和已知得到,解得，。所以雙曲線的離心率為，所以選D 二、填空題 ．（2013年高考湖南（文14））設F1,F2是雙曲線C, (a>0,b>0)的兩個焦點.若在C上存在一點P.使PF1⊥PF2,且∠PF1F2=30,則C的離心率為___________. 【答案】 【解析】本題考查雙曲線的方程和性質。不妨設點P位于雙曲線的右支上,因為，PF1⊥PF2，所以。由雙曲線的定

11、義可知，，即，所以，即C的離心率為。 ．（2013年高考卷（文11））雙曲線的離心率為________. 【答案】 【解析】 ．（2013年高考遼寧卷（文15））已知為雙曲線的左焦點, 為上的點,若的長等于虛軸長的2倍,點 在線段上,則的周長為____________. 【答案】44 【解析】兩式相加，所以并利用雙曲線的定義得，所以周長為. ．（2013年上海高考數(shù)學試題（文科12））設是橢圓的長軸,點在上,且.若,,則的兩個焦點之間的距離為_______. 【答案】 【解析】，代入橢圓的標準方程得。 ．（2013年高考北京卷（文9））若拋物線的

12、焦點坐標為(1,0)則=____;準線方程為_____. 【答案】2, 【解析】由題意，則. ．（2013年高考福建卷（文））橢圓的左、右焦點分別為,焦距為.若直線與橢圓的一個交點滿足,則該橢圓的離心率等于__________ 【答案】 【解析】本題考查的是圓錐曲線的離心率．由題意可知，中，，所以有，整理得，故答案為． ．（2013年高考天津卷（文11））已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點, 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為______. 【答案】 【解析】拋物線的準線方程為，因為雙曲線的一個焦點在準線上，所以，即，且雙曲線的焦點在軸上。又

13、雙曲線的離心率為2，即，解得，所以，所以雙曲線的方程為。 三、解答題 ．（2013年高考浙江卷（文））已知拋物線C的頂點為O(0,0),焦點F(0,1) (Ⅰ)求拋物線C的方程; (Ⅱ) 過點F作直線交拋物線C于A.B兩點.若直線AO.BO分別交直線l:y=x-2于M.N兩點, 求|MN|的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)由已知可得拋物線的方程為:,且,所以拋物線方程是: ; (Ⅱ)設,所以所以的方程是:, 由,同理由 所以① 設,由, 且,代入①得到: , 設, ① 當時 ,所

14、以此時的最小值是; ② 當時, ,所以此時的最小值是,此時,; 綜上所述:的最小值是; ．（2013年高考山東卷（文））在平面直角坐標系中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在軸上,短軸長為2,離心率為 (I)求橢圓C的方程 (II)A,B為橢圓C上滿足的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C與點P,設,求實數(shù)的值. 【答案】 將代入橢圓方程,得 ．（2013年高考廣東卷（文））已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點. (1) 求拋物線的方程; (2) 當點為直線上的定點時

15、,求直線的方程; (3) 當點在直線上移動時,求的最小值. 【答案】(1)依題意,解得(負根舍去) 拋物線的方程為; (2)設點,,, 由,即得. ∴拋物線在點處的切線的方程為, 即. ∵, ∴ . ∵點在切線上, ∴. ① 同理, . ② 綜合①、②得,點的坐標都滿足方程 . ∵經(jīng)過兩點的直線是唯一的, ∴直線 的方程為,即; (3)由拋物線的定義可知, 所以 聯(lián)立,消去得, 當時,取得最小值為 ．（2013年上海高考數(shù)學試題（文科））本題共有3個小題.第1小題滿

16、分3分,第2小題滿分6分,第3小題滿分9分. 如圖,已知雙曲線:,曲線:.是平面內(nèi)一點,若存在過點的直線與、都有公共點,則稱為“型點”. (1)在正確證明的左焦點是“型點”時,要使用一條過該焦點的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗證); (2)設直線與有公共點,求證,進而證明原點不是“型點; (3)求證:圓內(nèi)的點都不是“型點”. 【答案】 ．（2013年高考福建卷（文））如圖,在拋物線的焦點為,準線與軸的交點為.點在拋物線上,以為圓心為半徑作圓,設圓與準線的交于不同的兩點. (1)若點的縱坐標為2,求; (2)若,求圓的半徑. 【答案】解:(

17、Ⅰ)拋物線的準線的方程為, 由點的縱坐標為,得點的坐標為 所以點到準線的距離,又. 所以. (Ⅱ)設,則圓的方程為, 即. 由,得 設,,則: 由,得 所以,解得,此時 所以圓心的坐標為或 從而,,即圓的半徑為 ．（2013年高考北京卷（文））直線():相交于,兩點, 是坐標原點 (1)當點的坐標為,且四邊形為菱形時,求的長. (2)當點在上且不是的頂點時,證明四邊形不可能為菱形. 【答案】解:(I)因為四邊形OABC為菱形,所以AC與OB相互垂直平分. 所以可設,代入橢圓方程得,即. 所以|AC|=. (II)假設四邊形O

18、ABC為菱形. 因為點B不是的頂點,且AC⊥OB,所以. 由,消去并整理得. 設A,C,則,. 所以AC的中點為M(,). 因為M為AC和OB的交點,且,,所以直線OB的斜率為. 因為,所以AC與OB不垂直. 所以OABC不是菱形,與假設矛盾. 所以當點B不是W的頂點時,四邊形OABC不可能是菱形. ．（2013年高考課標Ⅰ卷（文））已知圓,圓,動圓與圓外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線. (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)是與圓,圓都相切的一條直線,與曲線交于,兩點,當圓的半徑最長是,求. 請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答.注意:只能

19、做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的 方框涂黑. 【答案】解:由已知得圓M的圓心為M(-1,0),半徑;圓N的圓心為N(1,0),半徑. 設知P的圓心為P(x,y),半徑為R. (I) 因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切,所以 . 有橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左.右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左定點除外),其方程為. (II) 對于曲線C上任意一點,由于,所以R2,當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2,所以當圓P的半徑最長時,其方程為; 若l的傾斜角為90,則l與y軸重合,可得. 若l的

20、傾斜角不為90,則知l不平行于x軸,設l與x軸的交點為Q, 則,可求得Q(-4,0),所以可設l:y=k(x+4).由l于圓M相切得, 解得k=. 當k=時,將y=x+代入,并整理得, 解得. 當k=. 綜上,. ．（2013年高考陜西卷（文））已知動點M(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. (Ⅰ) 求動點M的軌跡C的方程; (Ⅱ) 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線m的斜率. 【答案】解: (Ⅰ) 點M(x,y)到直線x=4的距離,是到點N(1,0)的距離的2倍,則 .

21、 所以,動點M的軌跡為 橢圓,方程為 (Ⅱ) P(0, 3), 設 橢圓經(jīng)檢驗直線m不經(jīng)過這2點,即直線m斜率k存在..聯(lián)立橢圓和直線方程,整理得: 所以,直線m的斜率 ．（2013年高考大綱卷（文））已知雙曲線離心率為直線 (I)求; (II)證明:成等比數(shù)列 【答案】(Ⅰ)由題設知,即,故. 所以C的方程為. 將y=2代入上式,求得,. 由題設知,,解得,. 所以. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,C的方程為. ① 由題意可設的方程為,,代入①并化簡得, . 設,,則 ,,,. 于是 , 由得,,即.

22、 故,解得,從而. 由于, , 故, . 因而,所以、、成等比數(shù)列. ．（2013年高考天津卷（文））設橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. (Ⅰ) 求橢圓的方程; (Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值. 【答案】 ．（2013年高考遼寧卷（文））如圖,拋物線,點在拋物線上,過作的切線,切點為(為原點時,重合于),切線的斜率為. (I)求的值; (II)當在上運動時,求線段中點的軌跡方程. 【答案】 ．（2013年

23、高考課標Ⅱ卷（文））在平面直角坐標系中，已知圓在軸上截得線段長為，在軸上截得線段長為。 （Ⅰ）求圓心的軌跡方程； （Ⅱ）若點到直線的距離為，求圓的方程。 【答案】 ．（2013年高考湖北卷（文））如圖,已知橢圓與的中心在坐標原點,長軸均為且在軸上,短軸長分別 為,,過原點且不與軸重合的直線與,的四個交點按縱坐標從 大到小依次為A,B,C,D.記,△和△的面積分別為和. (Ⅰ)當直線與軸重合時,若,求的值; (Ⅱ)當變化時,是否存在與坐標軸不重合的直線l,使得?并說明理由. 第22題圖 2013年普通高等學

24、校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷 【答案】依題意可設橢圓和的方程分別為 :,:. 其中, (Ⅰ)解法1:如圖1,若直線與軸重合,即直線的方程為,則 ,,所以. 在C1和C2的方程中分別令,可得,,, 于是. 若,則,化簡得. 由,可解得. 故當直線與軸重合時,若,則. 解法2:如圖1,若直線與軸重合,則 ,; ,. 所以. 若,則,化簡得. 由,可解得. 故當直線與軸重合時,若,則. 第22題解答圖1 第22題解答圖2

25、 (Ⅱ)解法1:如圖2,若存在與坐標軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對稱性, 不妨設直線:, 點,到直線的距離分別為,,則 因為,,所以. 又,,所以,即. 由對稱性可知,所以, ,于是 . ① 將的方程分別與C1,C2的方程聯(lián)立,可求得 ,. 根據(jù)對稱性可知,,于是 . ② 從而由①和②式可得 . ③ 令,則由,可得,于是由③可解得. 因為,所以

26、. 于是③式關于有解,當且僅當, 等價于. 由,可解得, 即,由,解得,所以 當時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得; 當時,存在與坐標軸不重合的直線l使得. 解法2:如圖2,若存在與坐標軸不重合的直線l,使得. 根據(jù)對稱性, 不妨設直線:, 點,到直線的距離分別為,,則 因為,,所以. 又,,所以. 因為,所以. 由點,分別在C1,C2上,可得 ,,兩式相減可得, 依題意,所以. 所以由上式解得. 因為,所以由,可解得. 從而,解得,所以 當時,不存在與坐標軸不重合的直線l,使得; 當時,存在與

27、坐標軸不重合的直線l使得. ．（2013年高考重慶卷（文））(本小題滿分12分,(Ⅰ)小問4分,(Ⅱ)小問8分) 如題(21)圖,橢圓的中心為原點,長軸在軸上,離心率,過左焦點作軸的垂線交橢圓于、兩點,. (Ⅰ)求該橢圓的標準方程;zhangwlx (Ⅱ)取平行于軸的直線與橢圓相較于不同的兩點、,過、作圓心為的圓,使橢圓上的其余點均在圓外.求的面積的最大值,并寫出對應的圓的標準方程. 【答案】 ．（2013年高考湖南（文））已知,分別是橢圓的左、右焦點,關于直線的對稱點是圓的一條直徑的兩個端點. (Ⅰ)求圓的方程; (Ⅱ)設過點的直

28、線被橢圓和圓所截得的弦長分別為,.當最大時,求直線的方程. 【答案】解: (Ⅰ) 先求圓C關于直線x + y – 2 = 0對稱的圓D,由題知圓D的直徑為直線對稱. (Ⅱ)由(Ⅰ)知(2,0), ,據(jù)題可設直線方程為: x = my +2,m∈R. 這時直線可被圓和橢圓截得2條弦,符合題意. 圓C:到直線的距離. . 由橢圓的焦半徑公式得: . 所以當 ．（2013年高考安徽（文））已知橢圓的焦距為4,且過點. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)設為橢圓上一點,過點作軸的垂線,垂足為.取點,連接,過點作的垂線交軸于點.點是點關于軸的對稱點,

29、作直線,問這樣作出的直線是否與橢圓C一定有唯一的公共點?并說明理由 【答案】解: (1)因為橢圓過點 且 橢圓C的方程是 (2) 由題意,各點的坐標如上圖所示, 則的直線方程: 化簡得 又, 所以帶入 求得最后 所以直線與橢圓只有一個公共點. ．（2013年高考江西卷（文））橢圓C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e=32,a+b=3 (1) 求橢圓C的方程; (2) 如圖,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂點外的任意點,直線DP交x軸于點N直線AD交BP于點M,設BP的斜率為k,MN的斜率為m,證明2m-k為定值. 【答案】解: 所以再由a+b=3得a=2,b=1, ① 將①代入,解得 又直線AD的方程為 ② ①與②聯(lián)立解得 由三點共線可角得 所以MN的分斜率為m=,則(定值) 第29頁（共29頁） 山東世紀金榜科教文化股份有限公司