2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第四章 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式4本講整合課件 新人教A版選修4-5.ppt
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本講整合,答案：①證明整除問題②證明幾何問題③伯努利不等式,專題一,專題二,專題一:對數(shù)學(xué)歸納法原理及步驟的理解1.數(shù)學(xué)歸納法的證明過程共有兩步,缺一不可,其中,第一步是奠基,第二步是假設(shè)與遞推.2.第一步是證明n取第一個可取值時命題成立,但不一定就是n=1.3.第二步證明過程中,必須用上歸納假設(shè),否則就不是用數(shù)學(xué)歸納法證明.,專題一,專題二,例1用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于任意x>0的實數(shù),以及正整數(shù)n,都有xn+xn-2+xn-4+…+≥n+1”時,需驗證的使命題成立的最小正整數(shù)值n0應(yīng)為()A.n0=1B.n0=2C.n0=1,2D.以上答案均不正確分析：根據(jù)n的取值條件以及不等式是否成立進行確定.解析：由于n∈N+,則n的最小值為n0=1.答案：A,專題一,專題二,變式訓(xùn)練1某個命題與正整數(shù)有關(guān),如果當(dāng)n=k時,該命題不成立,那么可推得當(dāng)n=k+1時命題也不成立,現(xiàn)在當(dāng)n=5時,該命題成立,那么可推得()A.當(dāng)n=6時該命題不成立B.當(dāng)n=6時該命題成立C.當(dāng)n=4時該命題不成立D.當(dāng)n=4時該命題成立解析：依題意當(dāng)n=4時該命題不成立,則當(dāng)n=5時,該命題也不成立.而當(dāng)n=5時,該命題成立卻無法判斷n=6時該命題是不是成立,故選D.答案：D,專題一,專題二,專題二:數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用分析：注意到這是與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明.,專題一,專題二,專題一,專題二,變式訓(xùn)練2求證:2n+2>n2,n∈N+.證明：(1)當(dāng)n=1時,左邊=21+2=4;右邊=1,左邊>右邊;當(dāng)n=2時,左邊=22+2=6,右邊=22=4,所以左邊>右邊;當(dāng)n=3時,左邊=23+2=10,右邊=32=9,所以左邊>右邊.因此當(dāng)n=1,2,3時,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時不等式成立,即2k+2>k2.當(dāng)n=k+1時,2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-2>2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3=(k2+2k+1)+(k+1)(k-3)≥k2+2k+1=(k+1)2.所以2k+1+2>(k+1)2.故當(dāng)n=k+1時,不等式成立.由(1)(2)可知,不等式2n+2>n2對于任何n∈N+都成立.,專題一,專題二,例3已知y=f(x)滿足f(n-1)=f(n)-lgan-1(n≥2,n∈N),且f(1)=-lga,是否存在實數(shù)α,β,使f(n)=(αn2+βn-1)lga,對任意n∈N+都成立?證明你的結(jié)論.分析：可先根據(jù)f(1),f(2)的值,建立關(guān)于α,β的方程組,求得α,β的值,然后再利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論.解：由已知得f(n)=f(n-1)+lgan-1.令n=2,f(2)=f(1)+lga=-lga+lga=0.又f(1)=(-1)lga,,專題一,專題二,專題一,專題二,變式訓(xùn)練3設(shè)Pn=(1+x)n,Qn=1+nx+x2,n∈N+,x∈(-1,+∞),試比較Pn與Qn的大小,并加以證明.,解：(1)當(dāng)n=1,2時,Pn=Qn.(2)當(dāng)n≥3時,①若x∈(0,+∞),顯然有Pn>Qn;②若x=0,則Pn=Qn;③若x∈(-1,0),則P3-Q3=x3<0,所以P3下載提示(請認真閱讀)
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