2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教A版選修2-2.ppt
第二章,推理與證明,22直接證明與間接證明,22.2反證法,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,1反證法的定義一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正確的推理,最后得出_,因此說(shuō)明假設(shè)_,從而證明了原命題_,這樣的證明方法叫做反證法反證法是間接證明的一種基本方法2反證法證題的原理(1)反證法的原理是“否定之否定等于肯定”(2)用反證法解題的實(shí)質(zhì)就是否定結(jié)論,導(dǎo)出矛盾,從而說(shuō)明原結(jié)論正確,矛盾,成立,錯(cuò)誤,1應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過(guò)程中,要把下列哪些作為條件使用()原結(jié)論的相反判斷,即假設(shè)原命題的結(jié)論公理、定理、定義等原命題的條件ABCD解析由反證法的規(guī)則可知都可作為條件使用,故應(yīng)選C,C,2用反證法證明某命題時(shí),對(duì)其結(jié)論:“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為()Aa、b、c都是奇數(shù)Ba、b、c都是偶數(shù)Ca、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)Da、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)解析“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”即a、b、c中有兩奇一偶,故其反面應(yīng)為都是奇數(shù)或兩偶一奇或都是偶數(shù),故選D,D,3如果兩個(gè)實(shí)數(shù)之和為正數(shù),則這兩個(gè)數(shù)()A一個(gè)是正數(shù),一個(gè)是負(fù)數(shù)B兩個(gè)都是正數(shù)C至少有一個(gè)正數(shù)D兩個(gè)都是負(fù)數(shù)解析假設(shè)兩個(gè)數(shù)分別為x1、x2,且x10,x20,則x1x20,這與兩個(gè)數(shù)之和為正數(shù)矛盾,所以兩個(gè)實(shí)數(shù)至少有一個(gè)正數(shù),故應(yīng)選C4“任何三角形的外角都至少有兩個(gè)鈍角”的否定應(yīng)是_解析全稱命題的否定形式為特稱命題,而“至少有兩個(gè)”的否定形式為“至多有一個(gè)”故該命題的否定為“存在一個(gè)三角形,其外角最多有一個(gè)鈍角”,C,存在一個(gè)三角形,其外角最多有一個(gè)鈍角,互動(dòng)探究學(xué)案,命題方向1用反證法證明否(肯)定性命題,典例1,(1)(2017武漢高二檢測(cè))用反證法證明命題“如果a>b,那么a3>b3”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容是()Aa3b3Ba3<b3Ca3b3Da3180,這與三角形內(nèi)角和為180相矛盾,則AB90不成立;所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角;假設(shè)A、B、C中有兩個(gè)角是直角,不妨設(shè)AB90正確順序的序號(hào)排列為_(kāi)解析(1)假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為結(jié)論“a3>b3”的否定“a3b3”,故選C(2)根據(jù)反證法證題的三步驟:否定結(jié)論、導(dǎo)出矛盾、得出結(jié)論,規(guī)律總結(jié)1用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題稱為否定性命題,此類問(wèn)題的正面比較模糊,而反面比較具體,適合使用反證法2用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟,特別提醒:(1)用反證法證題時(shí),首先要搞清反證法證題的思路步驟,其次注意反證法是在條件較少,直接證明不易入手時(shí)常用的方法(2)結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“沒(méi)有”等詞語(yǔ)的否定性命題,結(jié)論的反面比較具體,適于應(yīng)用反證法(3)注意否定結(jié)論時(shí),要準(zhǔn)確無(wú)誤,命題方向2反證法證明“至多”“至少”問(wèn)題,典例2,規(guī)律總結(jié)1當(dāng)命題中出現(xiàn)“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“沒(méi)有”、“唯一”等指示性詞語(yǔ)時(shí),宜用反證法2用反證法證題,必須準(zhǔn)確寫出命題的否定,把命題所包含的所有可能情形找全,范圍既不縮小,也不擴(kuò)大常用反設(shè)詞如下:,命題方向3用反證法證明存在性、唯一性命題,已知:一點(diǎn)A和平面求證:經(jīng)過(guò)點(diǎn)A只能有一條直線和平面垂直思路分析,典例3,規(guī)律總結(jié)1證明“有且只有一個(gè)”的問(wèn)題,需要證明兩個(gè)命題,即存在性和唯一性當(dāng)證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個(gè)”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時(shí),由于反設(shè)結(jié)論易于導(dǎo)出矛盾,所以宜用反證法證明2若結(jié)論的反面情況有多種,則必須將所有的反面情況一一駁倒,才能推斷結(jié)論成立,跟蹤練習(xí)3若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的圖象連續(xù),且f(a)0,f(x)在a,b上單調(diào)遞增,求證:f(x)在(a,b)內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),正難則反是運(yùn)用反證法的原則,有一些基礎(chǔ)命題都是我們?cè)跀?shù)學(xué)中常運(yùn)用的明顯事實(shí),它們的判定方法極少,宜用反證法證明這些題型有:(1)一些基本命題、基本定理;(2)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題;(3)“否定性”命題;(4)“唯一性”命題;(5)“必然性”命題;(6)“至多”“至少”類命題;(7)涉及“無(wú)限”結(jié)論的命題,適宜運(yùn)用反證法證明的命題,已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù),求證:由y1ax22bxc,y2bx22cxa和y3cx22axb確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),典例4,規(guī)律總結(jié)1反證法的“歸謬”是反證法的核心,其含義是從假設(shè)(即把“反設(shè)”作為一個(gè)新的已知條件)及原命題的條件出發(fā),引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理,推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果2反證法中引出矛盾的結(jié)論,不是推理本身的錯(cuò)誤,而是開(kāi)始假定的“結(jié)論的反面”是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的,跟蹤練習(xí)4證明:對(duì)于直線l:ykx1,不存在這樣的實(shí)數(shù)k,使得l與雙曲線C:3x2y21的交點(diǎn)A,B關(guān)于直線yax(a為常數(shù))對(duì)稱,已知abc>0,abbcca>0,abc>0,求證:a>0,b>0,c>0錯(cuò)解假設(shè)a0,b0,c0,則abc0,abc0與題設(shè)條件abc>0,abc>0矛盾假設(shè)不成立,原命題成立辨析錯(cuò)解沒(méi)有弄清原題待證的結(jié)論是什么?導(dǎo)致反設(shè)錯(cuò)誤“求證:a>0,b>0,c>0”的含義是“求證a、b、c三數(shù)都是正數(shù)”,故反設(shè)應(yīng)為“假設(shè)a、b、c中至少有一個(gè)不大于0”,結(jié)論反設(shè)不當(dāng)致誤,典例5,正解證法1:假設(shè)a、b、c中至少有一個(gè)不大于0,不妨設(shè)a0,若a0,得bc0得,bc>a>0,abbcaca(bc)bc0矛盾又若a0,則abc0與abc>0矛盾故“a0”不成立,a>0,同理可證b>0,c>0證法2:假設(shè)a、b、c是不全為正的實(shí)數(shù),由于abc>0,所以a、b、c中只能是兩負(fù)一正,不妨設(shè)a0,abbcac>0,a(bc)bc>0,bc0,a0矛盾,故假設(shè)不成立,原結(jié)論成立即a,b,c全為正實(shí)數(shù),點(diǎn)評(píng)含“至多”、“至少”、“唯一”等的結(jié)論,或以否定形式給出的結(jié)論,常用反證法證明證明的第一步是寫出結(jié)論的否定,否定一定要準(zhǔn)確,證明時(shí)要將全部可能情形一一推證,1命題“ABC中,若A>B,則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是()Aab”的對(duì)立面為“ab”2“實(shí)數(shù)a,b,c不全為0”等價(jià)于()Aa,b,c均不為0Ba,b,c中至多有一個(gè)為0Ca,b,c中至少有一個(gè)為0Da,b,c中至少有一個(gè)不為0解析“不全為0”的對(duì)立面為“全為0”,故“不全為0”的含義為“至少有一個(gè)不為0”,B,D,B,