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第二章,推理與證明,2．2直接證明與間接證明,2．2.2反證法,自主預習學案,,,1．反證法的定義一般地，假設原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出______，因此說明假設______，從而證明了原命題_______，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法．2．反證法證題的原理(1)反證法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反證法解題的實質(zhì)就是否定結(jié)論，導出矛盾，從而說明原結(jié)論正確．,矛盾,成立,錯誤,1．應用反證法推出矛盾的推導過程中，要把下列哪些作為條件使用()①原結(jié)論的相反判斷，即假設②原命題的結(jié)論③公理、定理、定義等④原命題的條件A．①④B．①②③C．①③④D．②③[解析]由反證法的規(guī)則可知①③④都可作為條件使用，故應選C．,C,2．用反證法證明某命題時，對其結(jié)論：“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設為()A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)B．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)C．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)[解析]“自然數(shù)a、b、c中恰有一個偶數(shù)”即a、b、c中有兩奇一偶，故其反面應為都是奇數(shù)或兩偶一奇或都是偶數(shù)，故選D．,D,3．如果兩個實數(shù)之和為正數(shù)，則這兩個數(shù)()A．一個是正數(shù)，一個是負數(shù)B．兩個都是正數(shù)C．至少有一個正數(shù)D．兩個都是負數(shù)[解析]假設兩個數(shù)分別為x1、x2，且x1≤0，x2≤0，則x1＋x2≤0，這與兩個數(shù)之和為正數(shù)矛盾，所以兩個實數(shù)至少有一個正數(shù)，故應選C．4．“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應是_______________________________________．[解析]全稱命題的否定形式為特稱命題，而“至少有兩個”的否定形式為“至多有一個”．故該命題的否定為“存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角”．,C,存在一個三角形，其外角最多有一個鈍角,互動探究學案,命題方向1?用反證法證明否(肯)定性命題,典例1,(1)(2017武漢高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b，那么a3>b3”時，假設的內(nèi)容是()A．a(chǎn)3＝b3B．a(chǎn)3
b3”的否定“a3≤b3”，故選C．(2)根據(jù)反證法證題的三步驟：否定結(jié)論、導出矛盾、得出結(jié)論．,③①②,『規(guī)律總結(jié)』1．用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．2．用反證法證明數(shù)學命題的步驟,,特別提醒：(1)用反證法證題時，首先要搞清反證法證題的思路步驟，其次注意反證法是在條件較少，直接證明不易入手時常用的方法．(2)結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“沒有”等詞語的否定性命題，結(jié)論的反面比較具體，適于應用反證法．(3)注意否定結(jié)論時，要準確無誤．,命題方向2?反證法證明“至多”“至少”問題,典例2,『規(guī)律總結(jié)』1．當命題中出現(xiàn)“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“沒有……”、“唯一”等指示性詞語時，宜用反證法．2．用反證法證題，必須準確寫出命題的否定，把命題所包含的所有可能情形找全，范圍既不縮小，也不擴大．常用反設詞如下：,命題方向3?用反證法證明存在性、唯一性命題,已知：一點A和平面α．求證：經(jīng)過點A只能有一條直線和平面α垂直．[思路分析],典例3,,『規(guī)律總結(jié)』1．證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性．當證明結(jié)論以“有且只有”、“只有一個”、“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結(jié)論易于導出矛盾，所以宜用反證法證明．2．若結(jié)論的反面情況有多種，則必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷結(jié)論成立．,〔跟蹤練習3〕若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)，且f(a)0，f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點．,正難則反是運用反證法的原則，有一些基礎命題都是我們在數(shù)學中常運用的明顯事實，它們的判定方法極少，宜用反證法證明．這些題型有：(1)一些基本命題、基本定理；(2)易導出與已知矛盾的命題；(3)“否定性”命題；(4)“唯一性”命題；(5)“必然性”命題；(6)“至多”“至少”類命題；(7)涉及“無限”結(jié)論的命題．,適宜運用反證法證明的命題,已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．,典例4,『規(guī)律總結(jié)』1．反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是從假設(即把“反設”作為一個新的已知條件)及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果．2．反證法中引出矛盾的結(jié)論，不是推理本身的錯誤，而是開始假定的“結(jié)論的反面”是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的．,〔跟蹤練習4〕證明：對于直線l：y＝kx＋1，不存在這樣的實數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x2－y2＝1的交點A，B關于直線y＝ax(a為常數(shù))對稱．,已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0．[錯解]假設a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0，abc≤0與題設條件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假設不成立，∴原命題成立．[辨析]錯解沒有弄清原題待證的結(jié)論是什么？導致反設錯誤．“求證：a>0，b>0，c>0”的含義是“求證a、b、c三數(shù)都是正數(shù)”，故反設應為“假設a、b、c中至少有一個不大于0．”,結(jié)論反設不當致誤,典例5,,[正解]證法1：假設a、b、c中至少有一個不大于0，不妨設a≤0，若a0，得bc0得，b＋c>－a>0，∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc0矛盾．又若a＝0，則abc＝0與abc>0矛盾．故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可證b>0，c>0．證法2：假設a、b、c是不全為正的實數(shù)，由于abc>0，所以a、b、c中只能是兩負一正，不妨設a0，∵ab＋bc＋ac>0，∴a(b＋c)＋bc>0，∵bc0，∵a0矛盾，故假設不成立，原結(jié)論成立．即a，b，c全為正實數(shù)．,[點評]含“至多”、“至少”、“唯一”等的結(jié)論，或以否定形式給出的結(jié)論，常用反證法證明．證明的第一步是寫出結(jié)論的否定，否定一定要準確，證明時要將全部可能情形一一推證．,1．命題“△ABC中，若∠A>∠B，則a>b”的結(jié)論的否定應該是()A．a(chǎn)b”的對立面為“a≤b”．2．“實數(shù)a，b，c不全為0”等價于()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個不為0[解析]“不全為0”的對立面為“全為0”，故“不全為0”的含義為“至少有一個不為0”．,B,D,B,
2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.2.2 反證法課件 新人教A版選修2-2.ppt
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