2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第5節(jié) 橢圓 理（含解析）.doc

2019-2020年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第5節(jié) 橢圓 理（含解析）1（xx安徽，5分）若F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x21(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若|AF1|3|F1B|，AF2x軸，則橢圓E的方程為_(kāi)解析：設(shè)點(diǎn)A在點(diǎn)B上方，F(xiàn)1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，其中c，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0)，由|AF1|3|F1B|，可得3，故即代入橢圓方程可得b21，得b2，故橢圓方程為x21.答案：x212（xx遼寧，5分）已知橢圓C：1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|BN|_.解析：設(shè)MN交橢圓于點(diǎn)P，連接F1P和F2P(其中F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn))，利用中位線定理可得|AN|BN|2|F1P|2|F2P|22a4a12.答案：123（xx新課標(biāo)全國(guó)，12分）已知點(diǎn)A(0，2)，橢圓E：1(a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn)當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程解：(1)設(shè)F(c,0)，由條件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程為y21.(2)當(dāng)lx軸時(shí)不合題意，故設(shè)l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)將ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.當(dāng)16(4k23)>0，即k2>時(shí)，x1,2.從而|PQ|x1x2|.又點(diǎn)O到直線PQ的距離d.所以O(shè)PQ的面積SOPQd|PQ|.設(shè) t，則t>0，SOPQ.因?yàn)閠4，當(dāng)且僅當(dāng)t2，即k時(shí)等號(hào)成立，且滿足>0.所以，當(dāng)OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為yx2或yx2.4（xx江蘇，14分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，b)，連結(jié)BF2并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)F1C.(1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且BF2，求橢圓的方程；(2)若F1CAB，求橢圓離心率e的值解：設(shè)橢圓的焦距為2c，則F1(c，0)，F(xiàn)2(c,0)(1)因?yàn)锽(0，b)，所以BF2a.又BF2，故a.因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上，所以1.解得b21.故所求橢圓的方程為y21.(2)因?yàn)锽(0，b)，F(xiàn)2(c,0)在直線AB上，所以直線AB的方程為1.解方程組得或所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為.又AC垂直于x軸，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為.因?yàn)橹本€F1C的斜率為，直線AB的斜率為，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2.故e2.因此e.5（xx福建，14分）設(shè)P，Q分別為圓x2(y6)22和橢圓y21上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是()A5 B.C7 D6解析：選D設(shè)圓的圓心為C，則C(0,6)，半徑為r，點(diǎn)C到橢圓上的點(diǎn)Q(cos ，sin )的距離|CQ|5，當(dāng)且僅當(dāng)sin 時(shí)取等號(hào)，所以|PQ|CQ|r56，即P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是6，故選D.6（xx江西，14分）過(guò)點(diǎn)M(1,1)作斜率為的直線與橢圓C：1(a>b>0)相交于A，B兩點(diǎn)，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率等于_解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程相減得0，根據(jù)題意有x1x2212，y1y2212，且，所以0，得a22b2，所以a22(a2c2)，整理得a22c2得，所以e.答案：.7（xx天津，14分）設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知|AB|F1F2|.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的直線l與該圓相切求直線的斜率解析：(1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0)由|AB|F1F2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則.所以橢圓的離心率e.(2)由(1)知a22c2，b2c2.故橢圓方程為1.設(shè)P(x0，y0)，由F1(c,0)，B(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0.又c0，故有x0y0c0.又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故1.由和可得3x4cx00.而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0c，代入得y0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)圓的圓心為T(mén)(x1，y1)，則x1c，y1c，進(jìn)而圓的半徑rc.設(shè)直線l的斜率為k，依題意，直線l的方程為ykx.由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4.所以直線l的斜率為4或4.8（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）已知橢圓E：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則E的方程為()A.1B.1C.1 D.1解析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系、斜率公式、焦點(diǎn)弦和中點(diǎn)弦問(wèn)題，意在考查考生通過(guò)解方程組求解弦的中點(diǎn)的能力運(yùn)用兩點(diǎn)式得到直線的方程，代入橢圓方程，消去y，由根與系數(shù)的關(guān)系得到a，b之間的關(guān)系，并由a，b，c之間的關(guān)系確定橢圓方程因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)F(3,0)和點(diǎn)(1，1)，所以直線AB的方程為y(x3)，代入橢圓方程1消去y，得x2a2xa2a2b20，所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，即a22b2，又a2b2c2，所以bc3，選擇D.答案：D9（xx廣東，5分）已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0)，離心率等于，則C的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：本題主要考查橢圓的圖像、方程、性質(zhì)等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的抽象概括能力、運(yùn)算求解能力依題意，設(shè)橢圓方程為1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：D10（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）設(shè)橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為()A.B.C. D.解析：本題主要考查橢圓離心率的計(jì)算，涉及橢圓的定義、方程與幾何性質(zhì)等知識(shí)，意在考查考生的運(yùn)算求解能力法一：由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m，故離心率e.法二：由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將xc代入橢圓方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案：D11（xx遼寧，5分）已知橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cosABF，則C的離心率為()A. B.C. D.解析：本題主要考查圓錐曲線的定義、離心率，解三角形等知識(shí)，意在考查考生對(duì)圓錐曲線的求解能力以及數(shù)據(jù)處理能力由余弦定理得，|AF|6，所以2a6814，又2c10，所以e.答案：B12（xx四川，5分）從橢圓1(ab0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且ABOP(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該橢圓的離心率是()A. B.C. D.解析：本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，意在考查曲線和方程這一解析幾何的基本思想由已知，點(diǎn)P(c，y)在橢圓上，代入橢圓方程，得P.ABOP，kABkOP，即，則bc，a2b2c22c2，則，即該橢圓的離心率是.答案：C13（xx天津，13分）設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，離心率為，過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點(diǎn)若8，求k的值解：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)，考查考生的運(yùn)算求解能力以及運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題的能力(1)設(shè)F(c,0)，由，知ac.過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線的方程為xc，代入橢圓方程有1，解得y，于是，解得b，又a2c2b2，從而a，c1，所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(1,0)得直線CD的方程為yk(x1)，由方程組消去y，整理得(23k2)x26k2x3k260.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2，x1x2.因?yàn)锳(，0)，B(，0)所以(x1，y1)(x2，y2)(x2，y2)(x1，y1)62x1x22y1y262x1x22k2(x11)(x21)6(22k2)x1x22k2(x1x2)2k26.由已知得68，解得k.14（xx山東，5分）已知橢圓C：1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2y21的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解析：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e，c2a2，c2a2a2b2，所以b2a2，即a24b2.雙曲線的漸近線方程為yx，代入橢圓方程得1，即1，所以x2b2，xb，y2b2，y b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(b，b)，所以四邊形的面積為4 b bb216，所以b25，所以橢圓方程為1.答案：D15（xx新課標(biāo)全國(guó)，5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線x上一點(diǎn)，F(xiàn)2PF1是底角為30的等腰三角形，則E的離心率為()A. B.C. D.解析：由題意可得|PF2|F1F2|，所以2(ac)2c，所以3a4c，所以e.答案：C16（2011浙江，5分）已知橢圓C1：1(ab0)與雙曲線C2：x21有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)若C1恰好將線段AB三等分，則()Aa2Ba213Cb2 Db22解析：對(duì)于直線與橢圓、圓的關(guān)系，如圖所示，設(shè)直線AB與橢圓C1的一個(gè)交點(diǎn)為C(靠近A的交點(diǎn))，則|OC|，因tanCOx2，sinCOx，cosCOx，則C的坐標(biāo)為(，)，代入橢圓方程得1，a211b2.5a2b2，b2.答案：C17（2011新課標(biāo)全國(guó)，5分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為_(kāi)解析：根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上，可設(shè)橢圓方程為1(a>b>0)，e，.根據(jù)ABF2的周長(zhǎng)為16得4a16，因此a4，b2，所以橢圓方程為1.答案：118（xx陜西，13分）已知橢圓C1：y21，橢圓C2以C1的長(zhǎng)軸為短軸，且與C1有相同的離心率(1)求橢圓C2的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C1和C2上，2，求直線AB的方程解：(1)由已知可設(shè)橢圓C2的方程為1(a>2)，其離心率為，故，則a4，故橢圓C2的方程為1.(2)法一：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，將ykx代入1中，得(4k2)x216，所以x，又由2，得x4x，即，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.法二：A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由2及(1)知，O，A，B三點(diǎn)共線且點(diǎn)A，B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為ykx.將ykx代入y21中，得(14k2)x24，所以x，由2，得x，y，將x，y代入1中，得1，即4k214k2，解得k1，故直線AB的方程為yx或yx.19(xx天津，12分)已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0)，點(diǎn)Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且4，求y0的值解：(1)由e，得3a24c2，再由c2a2b2，得a2b.由題意可知2a2b4，即ab2.解方程組得a2，b1.所以橢圓的方程為y21.(2)由(1)可知A(2,0)，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x2)于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由2x1，得x1，從而y1.設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為(，)以下分兩種情況：當(dāng)k0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是(2，y0)，(2，y0)由4，得y02.當(dāng)k0時(shí)，線段AB的垂直平分線的方程為y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k，所以y0.綜上，y02或y0.