2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)48 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型（含解析）.doc

2019年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)匯總 考點(diǎn)48 隨機(jī)事件的概率、古典概型、幾何概型（含解析）一、選擇題1. (xx湖北高考文科T5)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則()A.p1<p2<p3B.p2<p1<p3C.p1<p3<p2D.p3<p1<p2【解題提示】考查古典概型及其概率計(jì)算公式.首先列表,然后根據(jù)表格點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5,點(diǎn)數(shù)之和大于5,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)情況,再根據(jù)概率公式求解即可.【解析】選C.列表得:(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)所以一共有36種等可能的結(jié)果,兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的有10種情況,點(diǎn)數(shù)之和大于5的有26種情況,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的有18種情況,所以向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過(guò)5的概率p1=,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率p2=,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3= =.2. （xx湖北高考理科7）由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為（ ）A. B. C. D.【解題提示】 首先根據(jù)給出的不等式組表示出平面區(qū)域，然后利用面積型的幾何概型公式求解【解析】選D. 依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何概型概率公式知，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為.3. （xx湖南高考文科5）在區(qū)間上隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)，則的概率為（ ） 【解題提示】利用幾何概型的知識(shí)解決. 【解析】選B. 基本事件空間為區(qū)間它的度量是長(zhǎng)度5，的度量是3，所以所求概率為。4. （xx遼寧高考文科6）將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形中，則質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是【解題提示】 求出陰影部分面積，利用幾何概型求概率【解析】選B.陰影部分為半圓，其面積，正方形面積所以由幾何概型知質(zhì)點(diǎn)落在以為直徑的半圓內(nèi)的概率是5.(xx陜西高考文科T6同理科)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中,任取2個(gè)點(diǎn),則這2個(gè)點(diǎn)的距離小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為()A. B. C. D.【解題指南】根據(jù)古典概型的概率公式分別進(jìn)行計(jì)算即可得到結(jié)論.【解析】選B.從邊長(zhǎng)為1的正方形的中心和頂點(diǎn)這五點(diǎn)中,隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),共有=10條線(xiàn)段,滿(mǎn)足該兩點(diǎn)間的距離小于1的有AO,BO,CO,DO共6條線(xiàn)段,則根據(jù)古典概型的概率公式可知隨機(jī)(等可能)取兩點(diǎn),則該兩點(diǎn)間的距離小于1的概率P=.6. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)T5)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45【解題提示】設(shè)出所求概率為p,然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于p的方程,求得p.【解析】選A.設(shè)某天空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良,則隨后一天空氣質(zhì)量也優(yōu)良的概率為p,則據(jù)題有0.6=0.75p,解得p=0.8,故選A.二、填空題7.(xx廣東高考文科T12)從字母a,b,c,d,e中任取兩個(gè)不同字母,則取到字母a的概率為.【解析】因?yàn)閺淖帜竌,b,c,d,e中任取兩個(gè)不同字母,不考慮先后順序共有10種取法,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),其中取到字母a的有4種:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),所求概率為P=.答案: 【誤區(qū)警示】有無(wú)順序是最容易出錯(cuò)的,列10種取法部分同學(xué)會(huì)遺漏或重復(fù).8.(xx廣東高考理科)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取7個(gè)不同的數(shù),則這7個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為.【解析】6之前6個(gè)數(shù)中取3個(gè),6之后3個(gè)數(shù)中取3個(gè),所求概率為p=.答案: 【誤區(qū)警示】考慮中位數(shù)是6時(shí),7,8,9是必選的,再?gòu)?5中選3個(gè)數(shù)字從小到大排在6的左邊即可.9. （xx上海高考理科10）為強(qiáng)化安全意識(shí)，某商場(chǎng)擬在未來(lái)的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【解題提示】選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法，而總的選法為,根據(jù)古典概率公式易得.【解析】基本事件總數(shù)為，3天恰好連續(xù)共有8種選法，所以所求的概率為10. （xx上海高考文科13）為強(qiáng)化安全意識(shí)，某商場(chǎng)擬在未來(lái)的連續(xù)10天中隨機(jī)選擇3天進(jìn)行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率是_（結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.【解題提示】選擇的3天恰好為連續(xù)的3天共有8種選法，而總的選法為,根據(jù)古典概率公式易得.【解析】基本事件總數(shù)為，3天恰好連續(xù)共有8種選法，所以所求的概率為11.（xx福建高考文科13）13如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，隨機(jī)撒1000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_(kāi)【解題指南】 由幾何概型概率公式求解【解析】由幾何概型可知，所以答案：12. （xx浙江高考文科14）在3張獎(jiǎng)券中有一、二等獎(jiǎng)各1張，另1張無(wú)獎(jiǎng)，甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎(jiǎng)的概率是_；【解析】基本事件總數(shù)是，甲、乙兩人各一張，兩人中獎(jiǎng)只有兩種情況，由古典概型的公式知，所求的概率答案：13. （xx遼寧高考理科1）正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在拋物線(xiàn)和上，如圖所示，若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是【解析】陰影部分面積等于正方形面積減去其內(nèi)部的非陰影部分的面積，由對(duì)稱(chēng)性可知，根據(jù)幾何概型知，質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是答案：【誤區(qū)警示】結(jié)合對(duì)稱(chēng)性，正方形內(nèi)部的非陰影部分的面積的計(jì)算，要防止復(fù)雜化，導(dǎo)致增加計(jì)算量計(jì)算14.(xx江西高考理科T12)10件產(chǎn)品中有7件正品,3件次品,從中任取4件,則恰好取到1件次品的概率是.【解題指南】根據(jù)組合的知識(shí)及古典概型概率公式求解.【解析】從10件產(chǎn)品中取4件所包含的所有結(jié)果為種,恰好取到1件次品所包含的結(jié)果有種,故所求概率為,計(jì)算得.答案: 15. (xx新課標(biāo)全國(guó)卷高考文科數(shù)學(xué)T13) 甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各自等可能地從紅、白、藍(lán)3種顏色的運(yùn)動(dòng)服中選擇1種,則他們選擇相同顏色運(yùn)動(dòng)服的概率為.【解題提示】將“相同顏色”的情況分清楚,利用獨(dú)立事件的概率求法求解.【解析】先求出基本事件的個(gè)數(shù)，再利用古典概型概率公式求解.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員選擇運(yùn)動(dòng)服顏色有（紅，紅），（紅，白），（紅，藍(lán)），（白，白），（白，紅），（白，藍(lán)），（藍(lán)，藍(lán)），（藍(lán)，白），（藍(lán)，紅），共9種.而同色的有（紅，紅），（白，白），（藍(lán)，藍(lán)），共3種.所以所求概率P.答案: 16. （xx重慶高考文科15）某校早上8:00開(kāi)始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:307:50之間到校,且每人在該時(shí)間段內(nèi)的任何時(shí)刻到校是等可能的,則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為 .(用數(shù)字作答)【解題提示】可設(shè)出兩人到校的時(shí)刻,列出兩人到校時(shí)刻滿(mǎn)足的關(guān)系式,再根據(jù)幾何概型的概率公式進(jìn)行求解.【解析】設(shè)小張與小王到校的時(shí)刻分別為7：30之后分鐘，則由題意知小張比小王至少早5分鐘到校需滿(mǎn)足 ，其中 所有的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)邊長(zhǎng)為20的正方形，隨機(jī)事件“小張比小王至少早5分鐘到?！睒?gòu)成的區(qū)域?yàn)殛幱安糠?由幾何概型的概率公式可知，其概率為 答案：三、解答題17. （xx湖南高考文科17）（本小題滿(mǎn)分12分）某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，為了比較他們的研發(fā)水平，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩個(gè)小組往年研發(fā)新產(chǎn)品的結(jié)果如下：其中分別表示甲組研發(fā)成功和失敗；分別表示乙組研發(fā)成功和失敗.（1）若某組成功研發(fā)一種新產(chǎn)品，則給改組記1分，否記0分，試計(jì)算甲、乙兩組研 發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)的平均數(shù)和方差，并比較甲、乙兩組的研發(fā)水平； （2）若該企業(yè)安排甲、乙兩組各自研發(fā)一種新產(chǎn)品，試估算恰有一組研發(fā)成功的概率.【解題提示】（1）利用平均數(shù)，方差公式計(jì)算；（2）利用古典概型的計(jì)算公式計(jì)算?！窘馕觥浚?）甲組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1其平均數(shù)為方差為乙組研發(fā)新產(chǎn)品的成績(jī)?yōu)?,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均數(shù)為方差為因?yàn)?，所以甲組的研發(fā)水平優(yōu)于乙組（2）記E=恰有一組研發(fā)成功在所抽得的15個(gè)結(jié)果中，恰有一組研發(fā)成功的結(jié)果是共7個(gè)，故事件E發(fā)生的頻率為將頻率視為概率，即得所求概率為18. （xx山東高考文科16）海關(guān)對(duì)同時(shí)從三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量（單位：件）如右表所示，工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè).地區(qū)ABC數(shù)量50150100（）求這6件樣品中來(lái)自各地區(qū)樣品的數(shù)量；（）若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.【解題指南】(1)本題考查了分層抽樣，利用比例求出求這6件樣品中來(lái)自各地區(qū)樣品的數(shù)量；（2）本問(wèn)考查了古典概型，先將基本事件全部列出，再求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率.【解析】：（）因?yàn)楣ぷ魅藛T是按分層抽樣抽取商品，所以各地區(qū)抽取商品比例為： 所以各地區(qū)抽取商品數(shù)為：，；（）設(shè)各地區(qū)商品分別為： 基本時(shí)間空間為：，共15個(gè).樣本時(shí)間空間為：所以這兩件商品來(lái)自同一地區(qū)的概率為：.19.(xx陜西高考文科T19)某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法,對(duì)投保車(chē)輛進(jìn)行抽樣,樣本車(chē)輛中每輛車(chē)的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下:賠付金額(元)01 0002 0003 0004 000車(chē)輛數(shù)(輛)500130100150120(1)若每輛車(chē)的投保金額均為2800元,估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率.(2)在樣本車(chē)輛中,車(chē)主是新司機(jī)的占10%,在賠付金額為4000元的樣本車(chē)輛中,車(chē)主是新司機(jī)的占20%,估計(jì)在已投保車(chē)輛中,新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率.【解題指南】(1)首先由已知計(jì)算賠付金額為3000元及4000元得出頻率,利用頻率估計(jì)概率,求和即得所求.(2)利用已知樣本車(chē)輛中車(chē)主為新司機(jī)的輛數(shù),再利用圖求得賠付金額為4000元的車(chē)輛中車(chē)主為新司機(jī)的輛數(shù),由頻率估計(jì)概率得值.【解析】(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”,B表示事件“賠付金額為4000元”,以頻率估計(jì)概率得P(A)=0.15,P(B)=0.12.由于投保金額為2800元,賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3000元和4000元,所以其概率為P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車(chē)輛中新司機(jī)獲賠金額為4000元”,由題意知,樣本車(chē)輛中車(chē)主為新司機(jī)的有0.11000=100輛,而賠付金額為4000元的車(chē)輛中,車(chē)主為新司機(jī)的有0.2120=24輛.所以樣本車(chē)輛中新司機(jī)車(chē)主獲賠金額為4000元的頻率為=0.24,由頻率估計(jì)概率得P(C)=0.24.20. （xx天津高考文科15）（本小題滿(mǎn)分13分）某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其年級(jí)情況如下表：一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)男同學(xué)ABC女同學(xué)XYZ現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽（每人被選到的可能性相同）（1） 用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果（2） 設(shè)為事件“選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.【解析】(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為A,B,A,C,A,X,A,Y,A,Z,B,C,B,X,B,Y,B,Z,C,X,C,Y,C,Z,X,Y,X,Z,Y,Z,共15種.(2)選出的2人來(lái)自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為A,Y,A,Z,B,X,B,Z,C,X,C,Y,共6種.因此,事件M發(fā)生的概率P(M)= 21. （xx四川高考文科16）一個(gè)盒子里裝有三張卡片，分別標(biāo)記有數(shù)字，這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同隨機(jī)有放回地抽取次，每次抽取張，將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為，（1）求“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的數(shù)字，不完全相同”的概率.【解題提示】本題主要考查隨機(jī)事件的概率、古典概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查應(yīng)用意識(shí).【解析】（1）由題意，（，）所有的可能為（1，1，1），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，1），（1，2，2），（1，2，3），（1，3，1），（1，3，2），（1，3，3），（2，1，1），（2，1，2），（2，1，3），（2，2，1），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，1），（2，3，2），（2，3，3），（3，1，1），（3，1，2），（3，1，3），（3，2，1），（3，2，2），（3，2，3），（3，3，1），（3，3，2），（3，3，3），共27種設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿(mǎn)足”為事件A，則事件A包括（1，1，2），（1，2，3），（2，1，3），共3種所以P（A）=（2）設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字，不完全相同”為事件B，則事件包括（1，1，1），（2，2，2），（3，3，3），共3種，所以P（B）=1- P（）=.因此，“抽取的卡片上的數(shù)字，不完全相同”的概率為.