2019高中數(shù)學 第四章 圓與方程 4.1 圓的方程（第1課時）圓的標準方程講義（含解析）新人教A版必修2.doc

第1課時圓的標準方程核心必知1預習教材，問題導入根據(jù)以下提綱，預習教材P118P120，回答下列問題(1)圓是怎樣定義的？確定它的要素又是什么呢？各要素與圓有怎樣的關(guān)系？提示：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓定點就是圓心，定長就是半徑圓心和半徑圓心：確定圓的位置；半徑：確定圓的大小(2)求圓的標準方程時常用哪些幾何性質(zhì)？提示：求圓的標準方程，關(guān)鍵是確定圓心坐標和半徑，為此常用到圓的以下幾何性質(zhì)：弦的垂直平分線必過圓心圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點一定是圓心圓心與切點的連線長是半徑長圓心與切點的連線必與切線垂直2歸納總結(jié)，核心必記(1)圓的標準方程圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(xa)2(yb)2r2.當ab0時，方程為x2y2r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓(2)點與圓的位置關(guān)系圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設(shè)所給點為M(x0，y0)，則位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上MAr點M在圓A上點M(x0，y0)在圓上(x0a)2(y0b)2點在圓內(nèi)MA<r點M在圓A內(nèi)點M(x0，y0)在圓內(nèi)(x0a)2(y0b)2點在圓外MA>r點M在圓A外點M(x0，y0)在圓外(x0a)2(y0b)2問題思考方程(xa)2(yb)2r2(a，b，rR)表示一個圓嗎？為什么？提示：未必表示圓當r0時，表示圓心為(a，b)，半徑為|r|的圓；當r0時，表示一個點(a，b)課前反思通過以上預習，必須掌握的幾個知識點(1)圓的標準方程是什么？怎樣求解？；(2)點與圓有哪些位置關(guān)系？.“南昌之星”摩天輪2006年建成時是世界上最高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標志性建筑該摩天輪總高度為160米，轉(zhuǎn)盤直徑為153米思考1游客在摩天輪轉(zhuǎn)動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？提示：一樣圓上的點到圓心的距離都是相等的，都是圓的半徑思考2若以摩天輪中心所在位置為原點，建立平面直角坐標系，游客在任一點(x，y)的坐標滿足什么關(guān)系？提示：.思考3以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點的坐標(x，y)滿足什么關(guān)系？提示： 3.思考4確定圓的標準方程需具備哪些條件？名師指津：圓的標準方程(xa)2(yb)2r2中有三個參數(shù)，要確定圓的標準方程需要確定這三個參數(shù)，其中圓心(a，b)是圓的定位條件，半徑r是圓的定量條件講一講1求過點A(1，1)，B(1,1)且圓心在直線xy20上的圓的標準方程(鏈接教材P120例3)嘗試解答法一：設(shè)所求圓的標準方程為(xa)2(yb)2r2，由已知條件知解此方程組，得故所求圓的標準方程為(x1)2(y1)24.法二：設(shè)點C為圓心，點C在直線xy20上，可設(shè)點C的坐標為(a,2a)又該圓經(jīng)過A，B兩點，|CA|CB|.，解得a1.圓心坐標為C(1,1)，半徑長r|CA|2.故所求圓的標準方程為(x1)2(y1)24.法三：由已知可得線段AB的中點坐標為(0,0)，kAB1，弦AB的垂直平分線的斜率為k1，AB的垂直平分線的方程為y01(x0)，即yx.則圓心是直線yx與xy20的交點，由得即圓心為(1,1)，圓的半徑為2，故所求圓的標準方程為(x1)2(y1)24.求圓的標準方程的方法確定圓的標準方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：(1)待定系數(shù)法，如法一，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；(2)借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標和半徑，如法二、三一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷練一練1求下列圓的標準方程：(1)圓心是(4,0)，且過點(2,2)；(2)圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，4)；(3)過點P(2，1)和直線xy1相切，并且圓心在直線y2x上解：(1)r2(24)2(20)28，圓的標準方程為(x4)2y28.(2)設(shè)圓心為C(0，b)，則(30)2(4b)252，b0或b8，圓心為(0,0)或(0，8)，又r5，圓的標準方程為x2y225或x2(y8)225.(3)圓心在y2x上，設(shè)圓心為(a，2a)，則圓心到直線xy10的距離為r.r， 又圓過點P(2，1)，r2(2a)2(12a)2，由得或圓的標準方程為(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338.愛好運動的小華，小強，小兵三人相邀搞一場擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰的飛鏢離靶心O越近，誰獲勝，如圖A，B，C分別是他們擲一輪飛鏢的落點看圖回答下列問題：思考1點與圓的位置關(guān)系有幾種？提示：三種點在圓外、圓上、圓內(nèi)思考2如何判斷他們的勝負？提示：利用點與圓心的距離講一講2已知圓心在點C(3，4)，且經(jīng)過原點，求該圓的標準方程，并判斷點P1(1,0)，P2(1，1)，P3(3，4)和圓的位置關(guān)系(鏈接教材P119例1)嘗試解答因為圓心是C(3，4)，且經(jīng)過原點，所以圓的半徑r5，所以圓的標準方程是(x3)2(y4)225.因為|P1C|2<5，所以P1(1,0)在圓內(nèi)；因為|P2C|5，所以P2(1，1)在圓上；因為|P3C|6>5，所以P3(3，4)在圓外(1)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法只需計算該點與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的大小，并作出判斷(2)靈活運用若已知點與圓的位置關(guān)系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍練一練2已知點A(1,2)不在圓C：(xa)2(ya)22a2的內(nèi)部，求實數(shù)a的取值范圍解：由題意，點A在圓C上或圓C的外部，(1a)2(2a)22a2，2a50，a，又a0，a的取值范圍是(0，)講一講3已知x和y滿足(x1)2y2，試求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值思路點撥首先觀察x、y滿足的條件，其次觀察所求式子的幾何意義，最后結(jié)合圖形求出其最值嘗試解答(1)據(jù)題意知x2y2表示圓上的點到坐標原點距離的平方，顯然當圓上的點與坐標原點的距離取最大值和最小值時，其平方也相應取得最大值和最小值原點O(0,0)到圓心C(1,0)的距離d1，故圓上的點到坐標原點的最大距離為1，最小距離為1.因此x2y2的最大值和最小值分別為和.(2)令yxb并將其變形為yxb.問題轉(zhuǎn)化為斜率為1的直線在經(jīng)過圓上的點時在y軸上的截距的最值當直線和圓相切時在y軸上的截距取得最大值和最小值，此時有，解得b1，即最大值為1，最小值為1.數(shù)形結(jié)合思想能有效地找到解題的捷徑，解題時找到圓心和半徑，分析待求數(shù)學表達式的幾何意義，將“數(shù)”與“形”有機地結(jié)合起來是求解與圓有關(guān)的最值問題的關(guān)鍵練一練3已知圓C：(x3)2(y4)21，點A(0，1)，B(0,1)，設(shè)P是圓C上的動點，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值解：設(shè)P(x，y)，則d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2.即16x2y236.d的最小值為216234.最大值為236274.課堂歸納感悟提升1本節(jié)課的重點是會用定義推導圓的標準方程并掌握圓的標準方程的特征，能根據(jù)所給條件求圓的標準方程，掌握點與圓的位置關(guān)系難點是根據(jù)所給條件求圓的標準方程2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)求圓的標準方程的方法，見講1.(2)判斷點與圓的位置關(guān)系的方法，見講2.(3)求與圓有關(guān)的最值的方法，見講3.3本節(jié)課的易錯點是求圓的標準方程中易漏解，如練1.課下能力提升(二十二)學業(yè)水平達標練題組1圓的標準方程1圓(x2)2(y3)22的圓心和半徑分別是()A(2,3)，1 B(2，3)，3C(2,3)， D(2，3)，解析：選D由圓的標準方程可得圓心坐標為(2，3)，半徑為.2(2016洛陽高一檢測)圓心為(0,4)，且過點(3,0)的圓的方程為()Ax2(y4)225 Bx2(y4)225C(x4)2y225 D(x4)2y225解析：選A由題意，圓的半徑r5，則圓的方程為x2(y4)225.3(2016達州高一檢測)ABC的三個頂點的坐標分別為A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，則ABC的外接圓方程是()A(x2)2(y2)220B(x2)2(y2)210C(x2)2(y2)25D(x2)2(y2)2解析：選C易知ABC是直角三角形，B90，所以圓心是斜邊AC的中點(2,2)，半徑是斜邊長的一半，即r，所以外接圓的方程為(x2)2(y2)25.4經(jīng)過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑為2的圓的方程是_解析：圓心是(2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x2)2y24.答案：(x2)2y245求過點A(1,2)和B(1,10)且與直線x2y10相切的圓的方程解：圓心在線段AB的垂直平分線y6上，設(shè)圓心為(a,6)，半徑為r，則圓的方程為(xa)2(y6)2r2.將點(1,10)代入得(1a)2(106)2r2，而r，代入，得(a1)216，解得a3，r2或a7，r4.故所求圓的方程為(x3)2(y6)220或(x7)2(y6)280.題組2點與圓的位置關(guān)系6點P(m2,5)與圓x2y224的位置關(guān)系是()A在圓外 B在圓內(nèi) C在圓上 D不確定解析：選A把點P(m2,5)代入圓的方程x2y224得m425>24，故點P在圓外7點(51，)在圓(x1)2y226的內(nèi)部，則a的取值范圍是_解析：由于點在圓的內(nèi)部，所以(511)2()226，即26a26，又a0，解得0a1.答案：0,1)8已知圓M的圓心坐標為(3,4)，且A(1,1)，B(1,0)，C(2,3)三點一個在圓M內(nèi)，一個在圓M上，一個在圓M外，則圓M的方程為_解析：|MA|5，|MB|2，|MC|，|MB|MA|MC|，點B在圓M內(nèi)，點A在圓M上，點C在圓M外，圓的半徑r|MA|5，圓M的方程為(x3)2(y4)225.答案：(x3)2(y4)225題組3與圓有關(guān)的最值問題9設(shè)P是圓(x3)2(y1)24上的動點，Q是直線x3上的動點，則|PQ|的最小值為()A6B4C3 D2解析：選B由題意，知|PQ|的最小值即為圓心到直線x3的距離減去半徑長，即|PQ|的最小值為624.10已知點P(x，y)在圓x2y21上，則的最大值為_解析：的幾何意義是圓上的點P(x，y)到點(1,1)的距離，因此最大值為1.答案：1能力提升綜合練1與圓(x3)2(y2)24關(guān)于直線x1對稱的圓的方程為()A(x5)2(y2)24B(x3)2(y2)24C(x5)2(y2)24D(x3)2y24解析：選A已知圓的圓心(3，2)關(guān)于直線x1的對稱點為(5，2)，所求圓的方程為(x5)2(y2)24.2圓心為C(1,2)，且一條直徑的兩個端點落在兩坐標軸上的圓的方程是()A(x1)2(y2)25 B(x1)2(y2)220C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)220解析：選C因為直徑的兩個端點在兩坐標軸上，所以該圓一定過原點，所以半徑r，又圓心為C(1,2)，故圓的方程為(x1)2(y2)25，故選C.3方程y表示的曲線是()A一條射線 B一個圓C兩條射線 D半個圓解析：選Dy可化為x2y29(y0)，故表示的曲線為圓x2y29位于x軸及其上方的半個圓4當a為任意實數(shù)時，直線(a1)xya10恒過定點C，則以C為圓心，為半徑的圓的方程為()A(x1)2(y2)25B(x1)2(y2)25C(x1)2(y2)25D(x1)2(y2)25解析：選C直線方程變?yōu)?x1)axy10.由得C(1,2)，所求圓的方程為(x1)2(y2)25.5(2016合肥高一檢測)圓心為直線xy20與直線2xy80的交點，且過原點的圓的標準方程是_解析：由可得x2，y4，即圓心為(2,4)，從而r2，故圓的標準方程為(x2)2(y4)220.答案：(x2)2(y4)2206若圓心在x軸上，半徑為的圓C位于y軸左側(cè)，且與直線x2y0相切，則圓C的方程是_解析：如圖所示，設(shè)圓心C(a,0)，則圓心C到直線x2y0的距離為，解得a5，a5(舍去)，圓心是(5,0)故圓的方程是(x5)2y25.答案：(x5)2y257已知某圓圓心在x軸上，半徑長為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標準方程解：法一：如圖所示，由題設(shè)|AC|r5，|AB|8，|AO|4.在RtAOC中，|OC| 3.設(shè)點C坐標為(a,0)，則|OC|a|3，a3.所求圓的方程為(x3)2y225或(x3)2y225.法二：由題意設(shè)所求圓的方程為(xa)2y225.圓截y軸線段長為8，圓過點A(0,4)代入方程得a21625，a3.所求圓的方程為(x3)2y225或(x3)2y225.8(1)如果實數(shù)x，y滿足(x2)2y23，求的最大值和最小值；(2)已知實數(shù)x，y滿足方程x2(y1)2，求的取值范圍解：(1)法一：如圖，當過原點的直線l與圓(x2)2y23相切于上方時最大，過圓心A(2,0)作切線l的垂線交于B，在RtABO中，OA2，AB.切線l的傾斜角為60，的最大值為.同理可得的最小值為.法二：令n，則ynx與(x2)2y23聯(lián)立，消去y得(1n2)x24x10，(4)24(1n2)0，即n23，n，即的最大值、最小值分別為、.(2)可以看成圓上的點P(x，y)到A(2,3)的距離圓心C(0,1)到A(2,3)的距離為d2.由圖可知，圓上的點P(x，y)到A(2,3)的距離的范圍是.即 的取值范圍是2，2.